2021北京二十二中高三（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

18/182021北京二十二中高三（上）期中數(shù)學(xué)2021年11月一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.已知集合，，則（）A. B.C D.2.設(shè)z＝1+i（i為虛數(shù)單位），則|z|＝（）A.1 B.C.2i D.i3.下面命題正確的是()A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則4.已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量，的夾角為（）A.45° B.60° C.90° D.135°5.已知函數(shù)，則A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)6.已知角頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)P，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)y=f（x）+x是偶函數(shù)，且f（2）=3，則f（-2）=（）A.-7 B.7 C.-5 D.58.已知，是不同的直線，，是不同的平面，則下列條件能使成立的是（）A.， B.， C.， D.，9.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)，則在區(qū)間上最大值的取值范圍是（）A. B. C. D.二?填空題（本大題共66小題，每小題55分，共030.分.）11.函數(shù)的定義域是__________．12.若函數(shù)，則__________.13.若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則常數(shù)的一個(gè)取值為___________.14.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值是________；的最大值____________.15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為.16.已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）＝，且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x，若在區(qū)間[﹣1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）＝f（x）﹣kx﹣k有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___三?解答題：（解答題共66小題，共080分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.）17.已知同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中三個(gè)：①；②；③；④．（1）指出這三個(gè)條件，并說明理由；（2）求出的面積．18.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求和：．19.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為中點(diǎn)，.（1）求證：BC//平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.21.已知函數(shù)，．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，求該切線方程；（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，；（3）若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的值．22.首項(xiàng)為0的無窮數(shù)列同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：①；②．（Ⅰ）請(qǐng)寫出的所有可能值：（Ⅱ）求證：對(duì)任意正整數(shù)中至少有一個(gè)小于0；（Ⅲ）對(duì)于給定的正整數(shù)k，求的最大值．

參考答案一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意利用并集的定義計(jì)算即可.詳解】由題意可得：.故選：B.2.設(shè)z＝1+i（i為虛數(shù)單位），則|z|＝（）A.1 B.C2i D.i【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)模的求法即可求解.【詳解】因?yàn)閦＝1+i，.故選：B3.下面命題正確是()A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)逐項(xiàng)求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，由可知，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，可知，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)，由，可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若，不等號(hào)兩邊同時(shí)平方，可得，故D正確.故選：D.4.已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量，的夾角為（）A.45° B.60° C.90° D.135°【答案】A【解析】【分析】設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，則，，由夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為1，由平面向量的坐標(biāo)表示可得，，設(shè)兩向量夾角為，則，又，所以.故選：A.5.已知函數(shù)，則A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)【答案】A【解析】【詳解】分析：討論函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且即函?shù)是奇函數(shù)，又在都是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)在R上是增函數(shù)．故選A.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.6.已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)P，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，利用定義求出，在直接用誘導(dǎo)公式求出.【詳解】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限的點(diǎn)P，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，所以根據(jù)三角函數(shù)的定義，得：.所以.故選：D【點(diǎn)睛】(1)三角函數(shù)值的大小與點(diǎn)P（x,y）在終邊上的位置無關(guān)，嚴(yán)格代入定義式子就可以求出對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值；(2)當(dāng)角的終邊在直線上時(shí)，或終邊上的點(diǎn)帶參數(shù)必要時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論．7.已知函數(shù)y=f（x）+x是偶函數(shù)，且f（2）=3，則f（-2）=（）A.-7 B.7 C.-5 D.5【答案】B【解析】【分析】首先設(shè)，利用，求的值.【詳解】設(shè)，，所以，所以.故選：B8.已知，是不同的直線，，是不同的平面，則下列條件能使成立的是（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】必有平行的垂線，或者垂直的平行平面，依次判定選項(xiàng)即可.【詳解】解：，，不能說明與的關(guān)系，錯(cuò)誤；，能夠推出，正確；，可以得到與平面平行、相交，所以不正確.，則與平面可能平行，所以不正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題.9.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，不是遞增數(shù)列；當(dāng)且時(shí)，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.考點(diǎn)：等比數(shù)列10.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)，則在區(qū)間上的最大值的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，進(jìn)而可知，由，可知區(qū)間，且該區(qū)間長(zhǎng)度為2，然后畫出函數(shù)的圖象，進(jìn)而可得到在上的圖象，結(jié)合圖象可求得在區(qū)間上的最大值的取值范圍.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，則，因?yàn)?，所以區(qū)間，且該區(qū)間長(zhǎng)度為2.作出函數(shù)的圖象，如圖1，進(jìn)而可得到在上的圖象，如圖2，根據(jù)圖象可知在區(qū)間上的最大值的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理論證能力，屬于中檔題.二?填空題（本大題共66小題，每小題55分，共030.分.）11.函數(shù)的定義域是__________．【答案】且##【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件建立不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】要使函數(shù)有意義，則，得，即且，即函數(shù)的定義域?yàn)榍遥蚀鸢笧椋呵遥?2.若函數(shù)，則__________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合分段條件，代入逐次運(yùn)算，即可求解.【詳解】∵函數(shù)，∴.故答案為：1.13.若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則常數(shù)的一個(gè)取值為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)的概念及特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，所以，即，所以時(shí)，滿足條件，是常數(shù)的一個(gè)取值.故答案為：14.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的值是________；的最大值____________.【答案】1,1【解析】【詳解】根據(jù)平面向量的點(diǎn)乘公式,由圖可知，,因此=;,而就是向量在邊上的射影，要想讓最大，即讓射影最大，此時(shí)E點(diǎn)與B點(diǎn)重合，射影為，所以長(zhǎng)度為1.【考點(diǎn)定位】本題是平面向量問題，考查學(xué)生對(duì)于平面向量點(diǎn)乘知識(shí)的理解，其中包含動(dòng)點(diǎn)問題，考查學(xué)生最值的求法．15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為.【答案】【解析】【詳解】點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長(zhǎng)度的最小值，當(dāng)P′C⊥DE時(shí)，P′C的長(zhǎng)度最小，此時(shí)P′C＝＝.16.已知函數(shù)f（x）滿足f（x+1）＝，且f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x，若在區(qū)間[﹣1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）＝f（x）﹣kx﹣k有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是___【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意知函數(shù)是偶函數(shù)且周期是2，此題可轉(zhuǎn)為y=f（x）與y=kx+k有4個(gè)交點(diǎn)，作出圖像，結(jié)合圖像即可得到答案.【詳解】函數(shù)f（x）滿足f（x+1）＝，可得f（x+2）＝f（x），∴f（x）是周期為2的函數(shù)，令g(x)=0得f（x）=kx+k，函數(shù)g（x）＝f（x）﹣kx﹣k有4個(gè)零點(diǎn)，即y=f（x）與函數(shù)y=kx+k有4個(gè)交點(diǎn)，作出在區(qū)間[﹣1，3]內(nèi)y=f（x）與y=kx+k的圖像，直線經(jīng)過定點(diǎn)（-1,0），當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（3,1）時(shí)，直線的斜率為，轉(zhuǎn)動(dòng)直線可得直線斜率k的取值范圍為：0＜k≤.故答案為（0，]．三?解答題：（解答題共66小題，共080分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.）17.已知同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①；②；③；④．（1）指出這三個(gè)條件，并說明理由；（2）求出的面積．【答案】（1）同時(shí)滿足①③④，理由見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過三角形得內(nèi)角和可判斷不能同時(shí)滿足①②，，則可判斷能同時(shí)滿足③④，在利用大邊對(duì)大角判斷出②不能與③④同時(shí)滿足，即可得出答案；（2）利用余弦定理求出邊，再利用三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】解：（1）同時(shí)滿足①③④，若同時(shí)滿足①②，因?yàn)?，，所以，所以，與矛盾，所以①②不能同時(shí)滿足，只能同時(shí)滿足③④，又，所以，故不滿足②，所以同時(shí)滿足①③④；（2）由，得，解得或（舍去），所以，所以.18.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求和：．【答案】（1）an=2n?1.（2）【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，代入建立方程進(jìn)行求解；（Ⅱ）由是等比數(shù)列，知依然是等比數(shù)列，并且公比是，再利用等比數(shù)列求和公式求解.試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n?1.（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q.因?yàn)閎2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以從而.【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和的方法：（1）分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列+等比數(shù)列的形式；（2）裂項(xiàng)相消法求和，一般適用于，,等的形式；（3）錯(cuò)位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列等比數(shù)列的形式；（4）倒序相加法求和，一般適用于首末兩項(xiàng)的和是一個(gè)常數(shù)，這樣可以正著寫和與倒著寫和，兩式相加除以2即可得到數(shù)列求和.19.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為中點(diǎn)，.（1）求證：BC//平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理得到，進(jìn)而得到//，然后利用線面平行的判定定理證得；（2）由線面垂直的條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所?所以.因?yàn)?，所?/.因?yàn)槠矫?因?yàn)槠矫?，所以BC//平面；（2）過作的垂線交于點(diǎn).因?yàn)槠矫?，所以?如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，,于是.設(shè)直線與平面所成的角為，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.20.函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由圖象可得出的最大值和最小正周期，可求得、的值，再由結(jié)合的取值范圍可求得的值，進(jìn)而可求得函數(shù)的解析式；（2）利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為，由可求得的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值.【詳解】（1）由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，所以，，，所以，，，，，可得，因此，；（2），當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得出；（3）取特殊點(diǎn)代入函數(shù)可求得的值.21.已知函數(shù)，．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，求該切線方程；（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，；（3）若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的值．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)求出，再求出，從而可求切線方程.（2）利用導(dǎo)數(shù)求出，根據(jù)可得不等式成立.（3）就和分類討論，后者可根據(jù)極小值的符號(hào)來討論.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，故．所以．所求切線方程為，即．（2）當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以的最小值為．故時(shí)，．（3）對(duì)于函數(shù)，．（i）當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以是的極大值，是的極小值．因?yàn)?，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．由于，①若，即，在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；②若，即，在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)；③若，即，由于，所以在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)．由（2）知，當(dāng)時(shí)，，所以．故在區(qū)間上有一個(gè)