多面體與球切、接的問題(講)

縱觀近幾年高考對于組合體的考查，與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題是高考命題的熱點之高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計算能力，才能順利解答從實際教學(xué)來看，這部分知識學(xué)生掌握較為薄弱認(rèn)識較為模糊，看到就頭疼的題分析原因，除了這類題目的入手確實不易之外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心下結(jié)合近幾年考題對球與幾何體的切接問題作深入的探究以便更好地把握高考題的趨勢和高考的命題思力爭在這部分內(nèi)容不失.從近幾年全國高考命題來看,這部內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少.首先明確定義1假一個多面體的各頂點都在一個球的球面上稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體，這個球是這個多面體的外接球。定義2：假設(shè)一個多面體的各面與一個球的球面相切，則稱個面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內(nèi)切.1球柱體切接規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者外表積等相關(guān)問題.

球正體如下圖，正方體

ABCDACD11

，設(shè)正方體的棱長為a，,,,為的中點，為球的球心常組合方式有三類：一是球為正方體的內(nèi)切球，截面圖為正方形

E

和其內(nèi)切圓，則OJ

；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形

EFGH

和其外接圓，則a

；三是球為正方體的外接球，截面圖為長方形

C1

和其外接圓，則AOR

.通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問-1-

〔1〕正方體的內(nèi)切球，如圖.位關(guān)系：正方體的六個面都與一個球都相切，正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為a球的半徑為r這時有

2r

〔2〕正方體的外接球，如圖.位關(guān)系：正方體的八個頂點在同一個球面上；正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為a球的半徑為r

，這時有

r

〔3〕正方體的棱切球，如圖.位關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球-2-

心重合；數(shù)關(guān)系：設(shè)正方體棱長為

，球的半徑為r

，這時有

r

.例棱為的正方體

ABCDAC11

的頂點都在球

的外表上，

EF

分別是棱1

，

DD1

的中點，則直線EF

被球

截得的線段長為〔〕A

B1

C．1

D．

思分題意推出

11

截面所得圓面的半徑

得知直線被球截得的線段就是球的截面圓的直.球與方例自徑為的面上一點，引球的三條兩兩垂直的弦MAMB

，求2MC

2

的值．思分：題欲計算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個封閉的圖形進(jìn)行計算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)．-3-

例3〔國卷I考題〕已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4體積為16則這個球的外表積為〔〕.A.

16

B.

C.

D.

32思分：四棱柱也是長方由長方體的體積16及4可求長方體的底面邊長為2可得長方體的長、寬、高分別為2，2，4長方體內(nèi)接于球，它的體對角線正好為球的直.2

球與錐的切接規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者外表積等相關(guān)問題〔1〕正面體的內(nèi)切球，如圖4.位置關(guān)系：正四面體的四個面都與一個球相切，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為

，高為

；球的半徑為R

，這時有

以利用體積橋證明〕-4-

〔2〕正面體的外接球，如圖5.位置關(guān)系：正四面體的四個頂點都在一個球面上，正四面體的中心與球心重合；數(shù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為

，高為h；的半徑為R

，這時有

R

用正四面體高h(yuǎn)減去內(nèi)切球的半徑得到〕〔3〕正面體的棱切球，如圖6.位置關(guān)系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為

，高為h；的半徑為

，這時有h2ha-5-

例設(shè)四面體中，第一個球是它的內(nèi)切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的外表積之比及體積之比．思分：題求解的第一個關(guān)鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體關(guān)系，第二個關(guān)鍵是兩個球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的．2.2其它棱與的接題球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球-6-

面上，根據(jù)截面圖的特點，可以構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求.是球為正棱錐的內(nèi)切球，例如正三棱錐的內(nèi)切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑R

．這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體球與一些特殊的棱錐進(jìn)行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質(zhì)，可綜合利用截面法、補形法等進(jìn)行求解例如，四個面都是直角三形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點幾何特征，巧定球心位置.例三棱錐的高為，底面邊長為26，三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切．求球的外表積與體積．思分：題求解的關(guān)鍵是搞清球的半徑與正三棱錐的高及底面長的關(guān)系，由等體積法可得：

PABC

OPAB

O

O

O

，得到

23623

．-7-

例〔福建考題〕假設(shè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為

，則其外接球的外表積是.思分：題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心利用直角三角形計算球的半徑而為填空題，我們更想使用較為便捷的方.條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很快聯(lián)想到長方體的一個角，馬上構(gòu)造長方體，由側(cè)棱長均相等，所以可構(gòu)造正方體模.點評：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中計算問題，這是解決幾何體與球切接問題常用的方法．例7【2012新課標(biāo)高考卷】已知三棱錐S的有頂點都在球O的面，ABC是邊長為正三角形，

是球

的直徑，且

；則此棱錐的體積為〔〕

32D.32思分：的外接圓是球面的一個小圓，由已知可得其半徑，從而得到點到面ABC

為球

的直徑

點

到面

ABC

的距離即可求得棱錐的體.-8-

3

球與球切問題對于球與球的相切組合成復(fù)雜的幾何體問題，要根據(jù)豐富的空間想象力，通過準(zhǔn)確確定各個小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉(zhuǎn)化平面問題求.例知有半徑分別為、3球各兩個，且這四個球彼此相外切，現(xiàn)有一個球與此四個球都相外切，則此球的半徑為..思分：合圖形，分析四個球的球A的位置知ABF中可得中得EF3

，在由于對稱性可得第五個球的球在上結(jié)設(shè)第五個球的半徑為根據(jù)OE+OF=EF建立r

的方程-9-

例四個半徑都是的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離．思分：鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個球徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點且正四面體的棱長為兩球半徑之和．4

球與幾體的各條棱切問題球與幾何體的各條棱相切問題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，到達(dá)明確球心的位置為目的，然后通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：

r

例10把個皮球入如圖所示的由8根均為cm的絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的外表與根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為〔〕Al03cmB-10-

22C．

cmD．30cm思分：據(jù)題意球心在中上過作BP的垂線ON足為NON=R，由各個棱都為20到AM=10BP=20,BM=10AB=,設(shè)BPA在中由

BPBMPM,得PM在RtPAM中由PM

得PA2.Rt中sin

AB1022BP202

，在ONP中得,sin

ONRR2,而OPOPOP

，

2R

在

OAM中由OM

2

2

AM

2

建立方程R

2

)

2

100

即可得解.-11-

5

球與旋體切接問題首先畫出球及其它旋轉(zhuǎn)體的公共軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關(guān)系．例11求與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．思分：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系．例12在棱長為1的方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體內(nèi)切求球半徑之和；〔2〕球的半徑為多少時，兩球積之和最?。挤郑捍祟}的關(guān)鍵在于作截面，一個球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對角面，而兩個球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面，得如圖的截面圖，在圖中，觀察R與r和長間的關(guān)系即可．-12-

綜合上面的五種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切點，通過作截面來解決.果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把