2019年數(shù)學(xué)高考真題卷-全國Ⅲ卷理數(shù)（含答案解析）

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試-全國in卷

理科數(shù)學(xué)

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的.

1.已知集合{={-1,0,1,2},戶{xlfwi},貝

A.{-1,0,1}B.{0,1}

C.{-1,1}D.{0,1,2}

2.若z(l+i)-2i,則z=

A.-l-iB.-l+i

C.1-i1).1+i

3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.

某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》

的學(xué)生共有90位,閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位,閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有

60位,則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

4.(1+2力(1+力4的展開式中f的系數(shù)為

A.12B.16C.20D.24

5.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{aj的前4項和為15,且含4色掰&,則a3=

A.16B.8C.4D.2

6.已知曲線y-ae'+x\nx在點(1,ae)處的切線方程為y=Zx+b,則

A.b=-\B.a=efb=l

C.a=e\b=lD.\b=~l

7.函數(shù)y噌言在［￡6］的圖象大致為

8.如圖，點A'為正方形4及力的中心,△血為正三角形,平面即讓平面ABCD,"是線段切的中點,則

A.BM=EN,且直線BM,￡￥是相交直線

B.B肝EN,且直線BM,‘即是相交直線

C.BM=EN,且直線BM,以，是異面直線(開始)

D.B肝EN,且直線BM,￡/是異面直線一！.

/輸入e/

9.執(zhí)行右邊的程序框圖,如果輸入的，為0.01,則輸出s的值等于

A2或

B.2-士

25

C.2-4

26

/輸出s/

D.2-4

27

io.雙曲線的右焦點為點尸在。的一條漸近線上,。為坐標(biāo)原點.若I如H/1,則△如。的面積

42K

為

A.—B.—C.2V2D.3V2

42

11.設(shè)/Xx)是定義域為R的偶函數(shù),且在(0,+8)單調(diào)遞減,則

A.Alog3i)M2'b

4

B.Alog3i)>A2'b"(2*

4

C.M2-i)>/(log3i)

4

231

D.f(2力”(20>f(loi)

g43

12.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(3外;(3〉0),已知/'(x)在［0,2n］有且僅有5個零點.下述四個結(jié)論:

①/U)在(0,2口)有且僅有3個極大值點

②f(x)在(0,2n)有且僅有2個極小值點

③f(x)在(0噌)單調(diào)遞增

④°的取值范圍是耳，第

其中所有正確結(jié)論的編號是

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.已知a,b為單位向量，且a?b=O,若c=2a^/5b,則cos<a,c>-.

14.記￡為等差數(shù)列｛a｝的前〃項和.若�,則羋^______.

15.設(shè)凡內(nèi)為橢圓。啜￡=1的兩個焦點，材為，上一點且在第一象限.若△折出為等腰三角形，則材的坐標(biāo)

3620

為.

16.學(xué)生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD-A\B6。

挖去四棱錐外夕審/后所得的幾何體,其中。為長方體的中心,￡F,G,〃分別為所在棱的中

點,46*06cm,/4Ncm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm：’.不考慮打印損耗，制作該模

型所需原料的質(zhì)量為g.

三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17題為必考題，每個試題考生都

必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題:共60分.

17.（12分）

為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗:將200只小鼠隨機分成A,B兩組，每組100

只，其中A組小鼠給服甲離子溶液,B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.

經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

?頻率/組距頻率/組距

0.30........1-

o.20

O.15

O.10

O.

05〃

1.52.53.54.55.56.57.5百分比

甲離子殘留百分比直方圖

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到夕（。的估計值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a,6的值；

（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.

18.（12分）

△/6C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知asin^^-isinA.

⑴求6；

⑵若△4外為銳角三角形,且c=l,求△力比■面積的取值范圍.

19.(12分)

圖1是由矩形ADEB,Rt△/仇7和菱形跖GC組成的一個平面圖形,其中AB=1,BE=BF之,NFBC與O°.將其沿

AB,比■折起使得BE與跖重合,連接DG,如圖2.

(1)證明：圖2中的4CG,〃四點共面,且平面平面BCGE-,

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.------<

20.(12分)

己知函數(shù)f{x)=2x-ax+b.

(1)討論/Xx)的單調(diào)性；

(2)是否存在a,6,使得f(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為-1且最大值為1?若存在，求出a,6的所有值;若不存在,

說明理由.

21.(12分)

已知曲線C:y9〃為直線上的動點,過。作C的兩條切線,切點分別為A,B.

(1)證明：直線48過定點；

(2)若以以0,鄉(xiāng)為圓心的圓與直線48相切,且切點為線段43的中點，求四邊形/口版的面積.

(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計分.

22.［選修4Y:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

如圖，在極坐標(biāo)系念中，［⑵0),J?(V2,4),以企,？)"(2,m),弧Q,BC,曲所在圓的圓心分別是

44

(1,0),(l,y),(1,n),曲線版是弧?，曲線人是弧配，

曲線曲是弧比.

(1)分別寫出M,場弘的極坐標(biāo)方程；

⑵曲線"由軌,四跳構(gòu)成,若點尸在材上,且/在/力用,求產(chǎn)的極坐標(biāo).

23.［選修4節(jié):不等式選講］(10分)

設(shè)x,y,zeR,且戶戶z二l.

(1)求(xT)2+(戶4)2+(>1)2的最小值；

：

(2)若(才-2)2+(夕-1)2+(2-<3尸21成立,證明:aWT或心-1.

12345678910111213141516

2

ADCACDBBCACD§4(3,V15)118.8

l.A【考查目標(biāo)】本題主要考查集合的交運算與一元二次不等式的求解,考查考生的運算求解能力,考

查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.

【解析】集合B=｛x\TWxWl｝,則ADB^-1,0,1｝.

2.D【考查目標(biāo)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算,考查考生的運算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運

算.

【解析】Z*喘晶彗=l+i.

3.C【考查目標(biāo)】本題主要考查韋恩圖的應(yīng)用與概率問題，考查考生的閱讀理解能力，考查的核心素養(yǎng)

是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析.

【解析】根據(jù)題意閱讀過《紅樓夢》《西游記》的人數(shù)用韋恩圖表示如下：

所以該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為言R.7.

4.A【考查目標(biāo)】本題主要考查二項展開式通項公式的應(yīng)用，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.

【解析】展開式中含f的項可以由“1與￡”和“2。與x”的乘積組成,則f的系數(shù)為髭+2盤2+8=12.

5.C【考查目標(biāo)】本題主要考查等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用，考查方程思想與運算求解能力，考查的核心

素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.

【解析】設(shè)等比數(shù)列E,｝的公比為q,由as考金掰d得['學(xué)不得,得也,因為數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù),所

以qt、又a\+ai+aa+a\=a\(1+q+c[=a](1攵%比)=15,所以ai-1,所以as=a、(fN.

6.D【考查目標(biāo)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.

，=

【解析】因為yae+\n戶1,所以y'\x=1=ae+lt所以曲線在點(1,把)處的切線方程為yae=(ae+l)(入-

1),即尸(ae+l)xT,所以｛片上：2懈得:

7.B【考查目標(biāo)】本題主要考查函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查的核心素養(yǎng)是直觀想

象、數(shù)學(xué)運算.

【解析】因為Hx)弓蕓二所以f(-x)虧篝=V(x),且xe[-6,6],所以函數(shù)yj"為奇函數(shù),排除C;當(dāng)

2"+232"+2"2"+2以

xX時，f(x)第7和恒成立,排除D;因為f(4)-：*：*-12812魯6力97,排除A.故選B.

2"+2-"2'+2f16+—257

8.B【考查目標(biāo)】本題主要考查空間線線位置關(guān)系，考查考生的空間想象能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯

推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算.

【解析】取切的中點0,連接ON,E0,因為△反力為正三角形,所以EOVCD,又平面故小平面ABCD,平面

ECDC平面ABCD=CD,所以平面ABCD.設(shè)正方形力6(力的邊長為2,則E0=6,ONA,所以或名/+加N,得

ENN過M作切的垂線,垂足為P,連接BP,則.物當(dāng),叫,所以加引"+"=(爭。(|)2$=7,得5g廳,所以

B*EN.連接BD,BE,因為四邊形ABCD為正方形,所以N為薇的中點，即EN,,班均在平面BDE內(nèi),所以直線

BM,日￥是相交直線,選B.

9.C【考查目標(biāo)】本題主要考查程序框圖,考查考生的邏輯推理能力、運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)

是邏輯推理、數(shù)學(xué)運算.

【解析】執(zhí)行程序框圖,x=\,s=0,s4)*l=l,不滿足喘，

所以s=l+之々,x/,不滿足x<f=-i-,

所以s=i不滿足x<f=^-,

4，4OLUU

所以S=1號*泡之9,X=L,不滿足x<￡喘,

所以s=lm焉不滿足喘，

所以s=l號*彳*噎之焉x卷不滿足點￡就，

所以s=l上上=…?d=2二,x=^—,滿足x<e

2486426128100

輸出S4嘖，選C.

10.A【考查目標(biāo)】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、三角形的面積，考查數(shù)形結(jié)合思想，考

查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運算.

【解析】不妨設(shè)點尸在第一象限,根據(jù)題意可知所以叱=也又tanN尸外上￥，所以等腰三角形

a2

/W的高加亞所以S**X限■建

222224

11.C【考查目標(biāo)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力,

考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)抽象、直觀想象.

【解析】根據(jù)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)可知，f(log[)=F(Tog34)=F(log34),因為0<2-1②聶Rog34,且函數(shù)f(x)

4

在(0,+8)單調(diào)遞減,所以『(2備"(29)>f(log[).

12.D【考查目標(biāo)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查考生的數(shù)形結(jié)合能力，考查的核心素養(yǎng)

是數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理.

【解析】如圖,根據(jù)題意知,xW2n<XB,根據(jù)圖象可知函數(shù)f(x)在(0,2n)有且僅有3個極大值點,所以①

正確;但可能會有3個極小值點,所以②錯誤;根據(jù)X忘2n<XB,有簧W2n等,得當(dāng)W。舄,所以④正確；

當(dāng)xG(0,2)時,"⑺?與號,因為當(dāng)W3鼎所以詈號譙.所以函數(shù)f(x)在(0,2)單調(diào)遞增,所以

③正確.*y

、24f/

\>7/B

空置X

5(0

13.|【考查目標(biāo)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)

運算.

【解析】設(shè)a=(l,0),Z>=(0,1),則c=(2,75),所以cosC,:號

1XV4+53

14.4【考查目標(biāo)】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式與前”項和公式，考查考生的運算求解能力，考查

的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,由現(xiàn)學(xué)&,即以+#3團,得d2a“所以

S1010ai+^Y^d10。1+若^X2ai100.

sT5ai+^d5<h+與x2j25

15.(3,V15)【考查目標(biāo)】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及定義，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查的核心素養(yǎng)是

直觀想象、數(shù)學(xué)運算.

【解析】不妨令凡“分別為橢圓C的左、右焦點,根據(jù)題意可知cW36—204因為△/mK為等腰三角

蘭+”=1,

3620=3

形,所以易知/凡J〃=2c4,所以/&V/=2a-8N.設(shè)材(x,y),則=(%+4)2+y2=二房所以M

%>0,

y>o,

的坐標(biāo)為(3,同).

16.118.8【考查目標(biāo)】本題主要考查空間幾何體體積的計算，考查考生的空間想象能力與運算求解能

力，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運算.

【解析】由題易得長方體ABCD-A\BC隊的體積為6X6X4=144(co?),四邊形￡7瀏為平行四邊形,如圖所

示,連接GE、HR易知四邊形加第的面積為矩形式￡出面積的一半，R%X6X4=12(cm2),所以心蠅〃物;耳、3

X12=12(cm)所以該模型的體積為144T2=132(cm，),所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132X

0.9=118.8(g).

【解題關(guān)鍵】求解本題的關(guān)鍵是運用平面幾何知識求得四邊形跖第的面積.

17.【考查目標(biāo)】本題主要考查頻率分布直方圖，考查考生的識圖能力、閱讀理解能力，考查的核心素養(yǎng)

是數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算.

【解題思路】(1)根據(jù)P9的估計值為0.70及頻率之和為1可求得a,6的值；(2)根據(jù)各組區(qū)間的中點

值及頻率即可計算平均值.

解：(1)由已知得0.70=aX).200.15,故

35.

6=1-0.05-0.15-0.70-0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為

2X0.15+3X0.20MX0.30^5X0.20^6X0.10*7X0.05-1.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計值為

3X0.05^4X0.10^5X0,154)X0.35^7X0.20^8X0.15-6.00.

18.【考查目標(biāo)】本題主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化

能力、運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.

解：(1)由題設(shè)及正弦定理得sin5sinA.

因為sin所以singerinB.

由A+B心180。，可得sin等—s*故cos^sinfcosf.

因為cosg#0,故sin?』,因此B=60°.

⑵由題設(shè)及⑴知△腦的面積a*4a

「百/

由正弦定理得a_psinASn(1200-C)

sinCsinC2tanC2

由于a'為銳角三角形，故0°<4<90°,0°<290。.由⑴知A+C=120。，所以30°<C<90°,故/Q<2,從

而，0△械

o2

因此,△/仇:面積的取值范圍是(?,?).

【誤區(qū)警示】確定a的范圍時,要注意該三角形為銳角三角形,每個角均為銳角.

19.【考查目標(biāo)】本題主要考查四點共面、面面垂直的證明、二面角的求解，考查考生的推理論證能力

與空間想象能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算.

【解題思路】⑴根據(jù)/〃〃CG可證明四點共面,通過證明平面8a芯即可證明面面垂直；⑵過￡作

比的垂線，以垂足為原點,6c所在直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解二面角.

解：⑴由已知得AD//BE,CG//能所以AD//CG,

故AD,應(yīng)確定一個平面,從而A,C,G〃四點共面.

由已知得ABVBE,ABLBC,故/由L平面BCGE.

又因為46u平面ABC,所以平面4平面BCGE.

(2)作EHVBC,垂足為H.因為E3平面BCGE,平面6a花_L平面/園所以鼠L平面ABC.

由己知，菱形比面■的邊長為2,NEBC$0°,可求得BH=\,EH=?

以〃為坐標(biāo)原點，沆的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz,則

J(-l,1,0),C(1,O,0),G(2,0,V3),CG=(1,0,V3),AC=(2,-1,0).

設(shè)平面4OG〃的法向量為n=(x,y,z),則

(CG'n=0,fx+V5z=0,

1/iC-n=0,'l2x-y=0.

所以可取力=(3,6,-V3).

又平面比'8的法向量可取為加=(0,1,0),所以cos3人喂三今

因此二面角B-CG-A的大小為30°.

【解后反思】(1)證明空間線面位置關(guān)系時思路要清晰,證明過程中的條件要寫全,步驟要規(guī)范；(2)本題

沒有直接建立空間直角坐標(biāo)系的條件,需要證明垂直關(guān)系,才能建立坐標(biāo)系.

20.【考查目標(biāo)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究三次函數(shù)單調(diào)性、最值中的應(yīng)用，考查考生的運算求解能力,

考查分類討論思想,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運算.

【解題思路】(1)求出導(dǎo)函數(shù),分aX),aR,a<0討論即可；(2)根據(jù)(1)中函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合已知區(qū)間分a

WO,a23,0<a<3求解滿足題意的a,b.

解：(1)f'(x)=&x-2ax=2x(Zx-a).

令■f'(x)力,得片0或

若aX),則當(dāng)(-'o)U(泉+8)時,f'(x)；>0；當(dāng)xe(0,$時，f'(x)<0.故f(x)在(?,0),(泉+°°)單調(diào)

遞增，在(0,全單調(diào)遞減；

若a=0,F(x)在(-?>,+8)單調(diào)遞增；

若a<0,則當(dāng)xd(-8,9u(0,+8)時,『?)?；當(dāng)途停0)時，f'(*)<0.故『(王)在(-8,§,(0,+8)單調(diào)

遞增，在停0)單調(diào)遞減.

(2)滿足題設(shè)條件的a"存在.

⑴當(dāng)W0時，由(1)知,/■()在［0,1］單調(diào)遞增,所以f(>在區(qū)間［0,1］的最小值為f(ff)=b,最大值為

Al)=2~a+b.此時a,6滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b--l,2~a+b=\,即a4),b-~\.

(ii)當(dāng)心3時，由⑴知,f(x)在［0,1］單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間［0,1］的最大值為F(O)=b,最小值為

/(I)=2-a+b.此時a,6滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2-a+b=T,b=\,即a=i,b=l.

(iii)當(dāng)0。<3時，由⑴知，/U)在［0,1］的最小值為吟吟+A最大值為b或2-a+b.

若3班=-1,6=1,則a々海,與0Q<3矛盾.

若5班=-1，2-a+b=l,貝ijaTW或a=-3代或aH,與0<a<3矛盾.

綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a老b=~l或a=4,b=l時,f(x)在［0,1］的最小值為T,最大值為1.

21.【考查目標(biāo)】本題主要考查拋物線的簡單兒何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想

和化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運算.

解：⑴設(shè)。(t,T),4(%,%),則優(yōu)=2y\.

由y，=x,所以切線力的斜率為為，故出=刈

Xi-t

整理得25「2%+14).

設(shè)8(檢㈤，同理可得2t^-2%+lR.

故直線AB的方程為2U-2y+l=0.

所以直線48過定點(0,，.

y=垃+：,

⑵由(1)得直線的方程為y=txg.由22可得入2_25-14.

y若

于是X\+X?Z,XIX2=T,乂形=力(矛1以2)+1之

2

jABj力1+/jX\-X2/Rl+IXy]^+X2）-4X1X2之（/+1）.

設(shè)d\,d分別為點D,￡到直線四的距離,則d二必不工B2.

Vtz+1

因此四邊形的面積S』ABl(d\+d。=(/玲7t2+1.

設(shè)材為線段4?的中點，則材(力1號).

由于麗，近，而麗="九2),都與向量(1,力平行，所以加(d-2)力力.解得V)或t=±\.

當(dāng)t=G吐5=3;當(dāng)t=±\時，5=4V2.

因此四邊形力頌的面