2022年上海市莘莊中學(xué)高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.1777年,法國(guó)科學(xué)家蒲豐在宴請(qǐng)客人時(shí),在地上鋪了一張白紙,上面畫著一條條等距離的平行線,而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的,長(zhǎng)度等于相鄰兩平行線距離的一半的針,讓他們隨意投放.事后,蒲豐對(duì)針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)共投針2212枚,與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針,則針落地后與直線相交的概率約為()A. B. C. D.2.若直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),則()A. B. C.2 D.3.已知隨機(jī)變量滿足,,.若,則()A., B.,C., D.,4.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線垂直,直線與雙曲線的左支交于不同的兩點(diǎn),,若,則該雙曲線的離心率為().A. B. C. D.5.計(jì)算等于()A. B. C. D.6.設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為()A. B.C. D.7.已知函數(shù)在上可導(dǎo)且恒成立,則下列不等式中一定成立的是()A.、B.、C.、D.、8.如圖,在平面四邊形ABCD中,若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為()A. B. C. D.9.若,則()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù)滿足,則的值為()A. B. C. D.211.設(shè),則,則()A. B. C. D.12.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成,則這個(gè)幾何體的表面積是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖在三棱柱中,,,,點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn),則的最小值為________.14.已知,則__________.15.若滿足約束條件,則的最大值為__________.16.設(shè)函數(shù),,其中.若存在唯一的整數(shù)使得,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),若以線段為直徑的圓與軸相切.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)若上存在兩動(dòng)點(diǎn)(A,B在軸異側(cè))滿足,且的周長(zhǎng)為,求的值.18.(12分)已知數(shù)列滿足,,其前n項(xiàng)和為.(1)通過(guò)計(jì)算,,,猜想并證明數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足,,,若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,求常數(shù)t的取值范圍.19.(12分)已知拋物線:()上橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4.(1)求p的值;(2)設(shè)()為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作圓的兩條切線分別與y軸交于A、B兩點(diǎn).求的取值范圍.20.(12分)某市調(diào)硏機(jī)構(gòu)對(duì)該市工薪階層對(duì)“樓市限購(gòu)令”態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,抽調(diào)了50名市民,他們?cè)率杖腩l數(shù)分布表和對(duì)“樓市限購(gòu)令”贊成人數(shù)如下表:月收入(單位:百元)頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521(1)若所抽調(diào)的50名市民中,收入在的有15名,求,,的值,并完成頻率分布直方圖.(2)若從收入(單位:百元)在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查,選中的2人中恰有人贊成“樓市限購(gòu)令”,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(3)從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機(jī)抽取3名市民,恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購(gòu)令”,根據(jù)表格數(shù)據(jù),判斷這3名市民來(lái)自哪組的可能性最大?請(qǐng)直接寫出你的判斷結(jié)果.21.(12分)一年之計(jì)在于春,一日之計(jì)在于晨,春天是播種的季節(jié),是希望的開端.某種植戶對(duì)一塊地的個(gè)坑進(jìn)行播種,每個(gè)坑播3粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)每一個(gè)坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種,否則要補(bǔ)播種.(1)當(dāng)取何值時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大?最大概率為多少?(2)當(dāng)時(shí),用表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.22.(10分)在,角、、所對(duì)的邊分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,邊上的中線,求的面積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出頻率,用以估計(jì)概率.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查利用頻率估計(jì)概率,屬于基礎(chǔ)題.2.B【解析】

計(jì)算拋物線的交點(diǎn)為,代入計(jì)算得到答案.【詳解】可化為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn),屬于簡(jiǎn)單題.3.B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得:,再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量滿足,,.所以服從二項(xiàng)分布,由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得:,因?yàn)椋?,由二次函?shù)的性質(zhì)可得:,在上單調(diào)遞減,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.4.A【解析】

直線的方程為,令和雙曲線方程聯(lián)立,再由得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設(shè).則,且將代入雙曲線方程中,得到設(shè)則由,可得,故則,解得則所以雙曲線離心率故選:A【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線和直線相交問(wèn)題,聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解,屬于一般性題目.5.A【解析】

利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算,求得所求表達(dá)式的值.【詳解】原式.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式,考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】根據(jù)命題的否定,可以寫出:,所以選C.7.A【解析】

設(shè),利用導(dǎo)數(shù)和題設(shè)條件,得到,得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增,得到,進(jìn)而變形即可求解.【詳解】由題意,設(shè),則,又由,所以,即函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,即,變形可得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用,以及利用單調(diào)性比較大小,其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于中檔試題.8.A【解析】

分析:由題意可得為等腰三角形,為等邊三角形,把數(shù)量積分拆,設(shè),數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù),用函數(shù)可求得最小值。詳解:連接BD,取AD中點(diǎn)為O,可知為等腰三角形,而,所以為等邊三角形,。設(shè)=所以當(dāng)時(shí),上式取最小值,選A.點(diǎn)睛:本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分,需要選擇合適的基底,再把其它向量都用基底表示。同時(shí)利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。9.D【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選D【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換,同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.10.C【解析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算整理已知求得復(fù)數(shù)z,進(jìn)而求得其模.【詳解】因?yàn)椋怨蔬x:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與求復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】

根據(jù)換底公式可得,再化簡(jiǎn),比較的大小,即得答案.【詳解】,,.,顯然.,即,,即.綜上,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬于中檔題.12.C【解析】

畫出直觀圖,由球的表面積公式求解即可【詳解】這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示,它是由一個(gè)正方體中挖掉個(gè)球而形成的,所以它的表面積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計(jì)算,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

把繞著進(jìn)行旋轉(zhuǎn),當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí),運(yùn)用勾股定理即可求得的最小值.【詳解】將以為軸旋轉(zhuǎn)至與面在一個(gè)平面,展開圖如圖所示,若,,三點(diǎn)共線時(shí)最小為,為直角三角形,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的翻折,平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線段最短,解直角三角形進(jìn)行求解,考查了空間想象能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.14.【解析】解:由題意可知:.15.4【解析】

作出可行域如圖所示:由,解得.目標(biāo)函數(shù),即為,平移斜率為-1的直線,經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),.16.【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出圖像,再根據(jù)存在唯一的整數(shù)使得數(shù)形結(jié)合列出臨界條件滿足的關(guān)系式求解即可.【詳解】解:函數(shù),且畫出的圖象如下:因?yàn)?且存在唯一的整數(shù)使得,故與在時(shí)無(wú)交點(diǎn),,得;又,過(guò)定點(diǎn)又由圖像可知,若存在唯一的整數(shù)使得時(shí),所以,存在唯一的整數(shù)使得所以.根據(jù)圖像可知,當(dāng)時(shí),恒成立.綜上所述,存在唯一的整數(shù)使得,此時(shí)故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)范圍的問(wèn)題,需要根據(jù)題意分別分析定點(diǎn)右邊的整數(shù)點(diǎn)中為滿足條件的唯一整數(shù),再數(shù)形結(jié)合列出時(shí)的不等式求的范圍.屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】

(1)設(shè),則由題設(shè)條件可得,化簡(jiǎn)后可得軌跡的方程.(2)設(shè)直線,聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)并求得,結(jié)合焦半徑公式及弦長(zhǎng)公式可求的值及的長(zhǎng).【詳解】(1)設(shè),則圓心的坐標(biāo)為,因?yàn)橐跃€段為直徑的圓與軸相切,所以,化簡(jiǎn)得的方程為.(2)由題意,設(shè)直線,聯(lián)立得,設(shè)(其中)所以,,且,因?yàn)?,所以,,所以,故或(舍),直線,因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為所以.即,因?yàn)?又,所以,解得,所以.【點(diǎn)睛】本題考查曲線方程以及拋物線中的弦長(zhǎng)計(jì)算,還涉及到向量的數(shù)量積.一般地,拋物線中的弦長(zhǎng)問(wèn)題,一般可通過(guò)聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程,再把已知等式化為關(guān)于兩個(gè)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式,該關(guān)系中含有或,最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為某一個(gè)變量的方程.本題屬于中檔題.18.(1),證明見解析;(2)【解析】

(1)首先利用賦值法求出的值,進(jìn)一步利用定義求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)首先利用疊乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)一步利用數(shù)列的單調(diào)性和基本不等式的應(yīng)用求出參數(shù)的范圍.【詳解】(1)數(shù)列滿足,,其前項(xiàng)和為.所以,,則,,,所以猜想得:.證明:由于,所以,則:(常數(shù)),所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列.所以,整理得.(2)數(shù)列滿足,,所以,則,所以.則,所以,所以,整理得,由于,所以,即.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,疊乘法的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用,主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于中檔題型.19.(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)橫坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4,由拋物線的定義得到求解.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為,根據(jù)直線與圓相切,則有,整理得:,根據(jù)題意,建立,將韋達(dá)定理代入求解.【詳解】(1)因?yàn)闄M坐標(biāo)為3的點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)的距離為4,由拋物線的定義得:,解得:.(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為,因?yàn)橹本€與圓相切,所以,整理得:,,由題意得:所以,,因?yàn)椋?,所?【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義及點(diǎn)與拋物線,直線與圓的位置關(guān)系,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20.(1),頻率分布直方圖見解析;(2)分布列見解析,;(3)來(lái)自的可能性最大.【解析】

(1)由頻率和為可知,根據(jù)求得,從而計(jì)算得到頻數(shù),補(bǔ)全頻率分布表后可畫出頻率分布直方圖;(2)首先確定的所有可能取值,由超幾何分布概率公式可計(jì)算求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率,由此得到分布列;根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可求得期望;(3)根據(jù)中不贊成比例最大可知來(lái)自的可能性最大.【詳解】(1)由頻率分布表得:,即.收入在的有名,,,,則頻率分布直方圖如下:(2)收入在中贊成人數(shù)為,不贊成人數(shù)為,可能取值為,則;;,的分布列為:.(3)來(lái)自的可能性更大.【點(diǎn)睛】本題考查概率與統(tǒng)計(jì)部分知識(shí)的綜合應(yīng)用,涉及到頻數(shù)、頻率的計(jì)算、頻率分布直方圖的繪制、服從于超幾何分布的隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解、統(tǒng)計(jì)估計(jì)等知識(shí);考查學(xué)生的運(yùn)算和求解能力.21.(1)當(dāng)或時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大,最大概率為;(2)見解析.【解析】

(1)將有3個(gè)坑需要補(bǔ)種表示成n的函數(shù),考查函數(shù)隨n的變化情況,即可得到n為何值時(shí)有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大.(2)n=1時(shí),X的所有可能的取值為0,1,2,3,1.分別計(jì)算出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,求期望即可.【詳解】(1)對(duì)一個(gè)坑而言,要補(bǔ)播種的概率,有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率為.欲使最大,只需,解得,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以當(dāng)或時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大,最大概率為.(2)由已知,的可能取值為0,1,2,3,1.,所以的分

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