河南省開封市高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

河南省開封市高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.橢圓（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；等比關(guān)系的確定．【分析】由題意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列可得到e2==，從而得到答案．【解答】解：設(shè)該橢圓的半焦距為c，由題意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），∴=，即e2=，∴e=，即此橢圓的離心率為．故選B．2.如圖,在四棱錐中，平面，，，，則異面直線與所成角的余弦值為A.

B.

C.

D.參考答案：B3.當(dāng)雙曲線C不是等軸雙曲線時(shí)，我們把以C的實(shí)軸、虛軸的端點(diǎn)作為頂點(diǎn)的橢圓稱為雙曲線C的“伴生橢圓”。則離心率為的雙曲線的“伴生橢圓”的離心率為 （

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B略4.已知拋物線x2=y+1上一定點(diǎn)A（﹣1，0）和兩動(dòng)點(diǎn)P，Q，當(dāng)PA⊥PQ時(shí)，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣3] B．[1，+∞） C．[﹣3，1] D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】設(shè)出坐標(biāo)，根據(jù)PA⊥PQ建立方程，把P，Q代入拋物線方程，再根據(jù)方程有解，使判別式大于0，即可求得x的范圍．【解答】解：設(shè)P（a，b）、Q（x，y），則=（a+1，b），=（x﹣a，y﹣b）由PA⊥PQ得（a+1）（x﹣a）+b（y﹣b）=0又P、Q在拋物線上即a2=b+1，x2=y+1，故（a+1）（x﹣a）+（a2﹣1）（x2﹣a2）=0整理得（a+1）（x﹣a）[1+（a﹣1）（x+a）]=0而P和Q和A三點(diǎn)不重合即a≠﹣1、x≠a所以式子可化為1+（a﹣1）（x+a）=0整理得a2+（x﹣1）a+1﹣x=0由題意可知，此關(guān)于a的方程有實(shí)數(shù)解，即判別式△≥0得（x﹣1）2﹣4（1﹣x）≥0，解得x≤﹣3或x≥1故選D．5.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有器中米，不知其數(shù)，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米兩斗五升．問，米幾何？”如圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的S=2.5（單位：升），則輸入k的值為（）A.8

B.10

C.12

D.14參考答案：B6.袋中有40個(gè)小球，其中紅色球16個(gè)、藍(lán)色球12個(gè)，白色球8個(gè)，黃色球4個(gè)，從中隨機(jī)抽取10個(gè)球作成一個(gè)樣本，則這個(gè)樣本恰好是按分層抽樣方法得到的概率為（）A．B．C．D．參考答案：A【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【分析】因?yàn)檫@個(gè)樣本要恰好是按分層抽樣方法得到的概率，依題意各層次數(shù)量之比為4：3：2：1，即紅球抽4個(gè)，藍(lán)球抽3個(gè)，白球抽2個(gè)，黃球抽一個(gè)，所以紅球抽4個(gè)，藍(lán)球抽3個(gè)，白球抽2個(gè)，黃球抽一個(gè)是按分層抽樣得到的概率．【解答】解：∵這個(gè)樣本要恰好是按分層抽樣方法得到的概率依題意各層次數(shù)量之比為4：3：2：1，即紅球抽4個(gè)，藍(lán)球抽3個(gè)，白球抽2個(gè)，黃球抽一個(gè)，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果為；故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查分層抽樣和古典概型，分層抽樣為保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個(gè)體數(shù)量的比與這層個(gè)體數(shù)量與總體容量的比相等．7.設(shè)命題則為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C8.函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（

）A

個(gè)

B

個(gè)

C個(gè)

D

個(gè)參考答案：A9.函數(shù)的圖象大致是（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，并根據(jù)該函數(shù)在和上的函數(shù)值符號(hào)進(jìn)行排除，可得出正確選項(xiàng).【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為奇函數(shù)，排除B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，排除C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，排除D選項(xiàng).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，再利用函數(shù)解析式來識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，一般利用以下五個(gè)要素來對(duì)函數(shù)圖象逐一排除：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）單調(diào)性；（4）零點(diǎn)；（5）函數(shù)值符號(hào).考查推理能力，屬于中等題.10.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn),則的值為

(

)A． B． C． D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題“”的否定是

▲

.參考答案：12.在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，則b＝_____參考答案：2

13.四個(gè)平面最多可將空間分割成__________個(gè)部分參考答案：個(gè)平面將空間分成部分，個(gè)平面將空間分成部分，個(gè)平面最多將空間分成部分，個(gè)平面最多將空間分成部分．14.已知，并且成等差數(shù)列，則的最小值為_

__.參考答案：1615.已知直線m：x+y﹣2=0與圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|=

．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心到直線m：x+y﹣2=0的距離d，即可得出弦長(zhǎng)|AB|．【解答】解：由圓（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得圓心M（1，2），半徑r=1．∴圓心到直線m：x+y﹣2=0的距離d==．∴弦長(zhǎng)|AB|=2=．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．16.已知集合P{a，b}，Q={﹣1，0，1}，則從集合P到集合Q的映射共有

種．參考答案：9【考點(diǎn)】映射．【分析】運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理求解．【解答】解：集合P中的元素a在集合BQ中有3種不同的對(duì)應(yīng)方式（﹣1，0，1三選一），集合P中的元素b在集合Q中也有3種不同的對(duì)應(yīng)方式（﹣1，0，1三選一），根據(jù)“分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）”，集合P到集合Q的映射共有N=3×3=9，故答案為9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了映射的概念，以及兩集合間構(gòu)成映射個(gè)數(shù)的確定，可用列舉法，也可用乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．17.如圖，橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”。（1）類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率等于多少？（只要寫出結(jié)論即可）（2）已知橢圓E：的一個(gè)焦點(diǎn)，試證：若不是等比數(shù)列，則E一定不是“黃金橢圓”。參考答案：（1）（2）假設(shè)E為黃金橢圓，則

即成等比數(shù)列，與已知矛盾，故橢圓E一定不是“黃金橢圓”

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案：解:（1）的定義域?yàn)椤摺嗔?解得:

∴的單增區(qū)間是:

（2）∵，∴．即，令，∵，且，由．∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．∵，，，又，故在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)相異實(shí)根．

即．綜上所述，的取值范圍是．

略19.（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，過橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB與CD．當(dāng)直線AB斜率為時(shí)，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）由題意知，，則，，所以．所以橢圓的方程為．……4分（Ⅱ）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，

由題意知；

…………5分②當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)，，且設(shè)直線的方程為，

則直線的方程為．

將直線的方程代入橢圓方程中，并整理得，

所以．

……………8分

同理，．

…………9分

所以

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

…………11分∴綜合①與②可知，

…………12分20.設(shè),分別是橢圓E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦點(diǎn)，過的直線與E相交于A、B兩點(diǎn)，且，，成等差數(shù)列。（Ⅰ）求；（Ⅱ）若直線的斜率為1，求b的值。參考答案：（1）由橢圓定義知。又

（2）L的方程式為y=x+c,其中

設(shè),則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組

化簡(jiǎn)得則因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以

即

.則

解得

.

略21.已知直線與直線交于點(diǎn)P.（1）求過點(diǎn)P且平行于直線的直線的方程；（2）在（1）的條件下，若直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，求直線與圓截得的弦長(zhǎng).參考答案：解：（1）由，

……………2分令，

……………4分將代入得：(直線表示方式不唯一)

……………6分（2）圓心到直線的距離，

………9分所以

……………12分22.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊是a，b，c，且滿足a2+c2﹣b2=ac．（1）求角B的大??；（2）設(shè)=（﹣3，﹣1），=（sinA，cos2A），求?的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定