高中常見數(shù)學(xué)模型案例

高中常見數(shù)學(xué)模型案例中華人民共和國(guó)教育部2003年4月制定的普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化是貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容”，“數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)；有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力?！苯滩闹谐Ｒ娔Ｐ陀腥缦聨追N:一、函數(shù)模型用函數(shù)的觀點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的、最常用的方法。函數(shù)模型與方法在處理實(shí)際問(wèn)題中的廣泛運(yùn)用，兩個(gè)變量或幾個(gè)變量，凡能找到它們之間的聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)形式表示出來(lái)，建立起一個(gè)函數(shù)關(guān)系（數(shù)學(xué)模型），然后運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題，這些都屬于函數(shù)模型的范疇。1、正比例、反比例函數(shù)問(wèn)題例1：某商人購(gòu)貨，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)a扣去25%，他希望對(duì)貨物訂一新價(jià)，以便按新價(jià)讓利銷售后仍可獲得售價(jià)25%的純利，則此商人經(jīng)營(yíng)者中貨物的件數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系是___________。分析：欲求貨物數(shù)x與按新價(jià)讓利總額y之間的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是要弄清原價(jià)、進(jìn)價(jià)、新價(jià)之間的關(guān)系。若設(shè)新價(jià)為b，則售價(jià)為b（1－20%），因?yàn)樵瓋r(jià)為a，所以進(jìn)價(jià)為a（1－25％）解：依題意，有化簡(jiǎn)得，所以，即2、一次函數(shù)問(wèn)題例2：某人開汽車以60km/h的速度從A地到150km遠(yuǎn)處的B地，在B地停留1h后，再以50km/h的速度返回A地，把汽車離開A地的路x（km）表示為時(shí)間t（h）的函數(shù)，并畫出函數(shù)的圖像。分析：根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，可得出路程x和時(shí)間t得函數(shù)關(guān)系式x（t）；同樣，可列出v(t)的關(guān)系式。要注意v(t)是一個(gè)矢量，從B地返回時(shí)速度為負(fù)值，重點(diǎn)應(yīng)注意如何畫這兩個(gè)函數(shù)的圖像，要知道這兩個(gè)函數(shù)所反映的變化關(guān)系是不一樣的。解：汽車離開A地的距離xkm與時(shí)間th之間的關(guān)系式是：，圖略。速度vkm/h與時(shí)間th的函數(shù)關(guān)系式是：，圖略。3、二次函數(shù)問(wèn)題例3：有L米長(zhǎng)的鋼材，要做成如圖所示的窗架，上半部分為半圓，下半部分為六個(gè)全等小矩形組成的矩形，試問(wèn)小矩形的長(zhǎng)、寬比為多少時(shí)，窗所通過(guò)的光線最多，并具體標(biāo)出窗框面積的最大值。解：設(shè)小矩形長(zhǎng)為x，寬為y，則由圖形條件可得：∴要使窗所通過(guò)的光線最多，即要窗框面積最大，則：∴當(dāng)時(shí)，即：此時(shí)窗框面積S有最大值?？梢?，一般的設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問(wèn)題已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其它相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，也就是建立數(shù)學(xué)模型。二、數(shù)列模型數(shù)列模型有增長(zhǎng)率問(wèn)題和銀行中的儲(chǔ)蓄與貸款問(wèn)題。在高一年級(jí)教材中就有這類數(shù)學(xué)問(wèn)題，下面以一個(gè)例題來(lái)分析銀行中的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題。例4：某銀行設(shè)立了教育助學(xué)貸款，其中規(guī)定一年期以上貸款月均等額還本付息，如果貸款10000元，兩年還清，月利率為0.4575％，那么每月應(yīng)還多少錢呢？分析與假設(shè)：按照規(guī)定，償還貸款既要償還本金，還要支付利息。在上述問(wèn)題中，到貸款兩年（即24個(gè)月）付清時(shí)，10000元貸款的本金與它的利息之和是多少呢？引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)填表來(lái)回答：

10000元貸款的本金（元）與它的利息之和1個(gè)月后2個(gè)月后

3個(gè)月后

……23個(gè)月后

24個(gè)月后

通過(guò)對(duì)例子的分析，與學(xué)生交流使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：到期償還貸款的含義即各月所付款連同到貸款付清時(shí)所生利息之和，等于貸款本金及到貸款付清時(shí)的利息之和，計(jì)算每月應(yīng)付款額?？梢园l(fā)現(xiàn)，上述等式是一個(gè)關(guān)于x的一次方程，且等號(hào)左邊括號(hào)內(nèi)是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為1.004575的等比數(shù)列的前24項(xiàng)的和，于是：即解之得提出問(wèn)題：如果采用上述分期付款方式貸款a元，m個(gè)月將款全部付清，月利率為r，那么每月付款款額的計(jì)算公式是什么？顯然問(wèn)題轉(zhuǎn)化為建立關(guān)于x的方程。設(shè)采用分期付款方式貸a元，m個(gè)月將款全部付清，月利率為r，每月付款x元，那么：把右邊求和，得，所以：萬(wàn)元。三、初等概率模型古典概率不僅要求基本實(shí)踐的出現(xiàn)具有等可能性，而且要求樣本空間為有限集，但實(shí)際問(wèn)題中卻經(jīng)常會(huì)碰到無(wú)限樣本空間的情形，對(duì)于無(wú)限樣本空間的情形，?？赊D(zhuǎn)化為幾何概率來(lái)解決。例5：將n個(gè)球隨機(jī)地放入n個(gè)盒子中去，求每個(gè)盒子恰有一個(gè)球的概率。分析與求解：因?yàn)槊恳粋€(gè)球都可以放進(jìn)n個(gè)盒子中的任一個(gè)盒子，共有n種不同的放法，n個(gè)球放進(jìn)n個(gè)盒子就有n×n×…×n=種不同的放法，而每種放法就是樣本空間中的一個(gè)元素，所以樣本空間中元素的總數(shù)為個(gè)?，F(xiàn)在來(lái)求每個(gè)盒子恰有一個(gè)球時(shí)，球的不同放法的種數(shù)。第一個(gè)球可以放進(jìn)n個(gè)盒子之一，有n種放法；第二個(gè)球只能放進(jìn)余下的（n-1）個(gè)盒子之一，有（n-1）種放法，…，最后一個(gè)球只可以放進(jìn)唯一余下的盒子，所以n個(gè)球放進(jìn)n個(gè)盒子中要使每個(gè)盒子中都恰有一個(gè)球，共有種不同的放法，因而所求得概率為：。幾何概率所描述的隨機(jī)試驗(yàn)滿足：試驗(yàn)的樣本空間是一個(gè)可度量的幾何區(qū)域（這個(gè)區(qū)域可以是一維、二維甚至n維）；試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都一樣，即樣本點(diǎn)落入某一個(gè)可度量的子集A的可能性與A的幾何測(cè)度成正比，而與A的形狀及位置無(wú)關(guān)。如下面的例子“會(huì)面問(wèn)題”是幾何概率的典型例子。例7：兩位網(wǎng)友相約見面，約定在下午4:00到5:00之間在某一街角相會(huì)，他們約好當(dāng)其中一人先到后，一定要等另一人20分鐘，若另一人仍不到則離去，試問(wèn)這兩位朋友能相遇的概率為多少？（假定他們到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間是隨機(jī)的，且都在約定的一小時(shí)內(nèi)）解：以x、y分別表示兩人到達(dá)的時(shí)刻，則兩人相遇必須滿足下列條件：∣x－y∣≤20，兩人到達(dá)時(shí)刻的所有可能結(jié)果可用邊長(zhǎng)為60的正方形區(qū)域上的任意點(diǎn)（x，y）表示，該正方形上的所有點(diǎn)的集合構(gòu)成了樣本空間。如下圖的陰影部分（滿足不等式∣x－y∣≤20的點(diǎn)的集合）表示“兩人能相遇”這一事件的概率應(yīng)等于圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比。。通過(guò)這一段的研究，筆者有如下心得：（1）在數(shù)學(xué)教學(xué)中和對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)中，應(yīng)重視介紹數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈。（2）在數(shù)學(xué)教學(xué)和課外活動(dòng)中，要鼓勵(lì)支持學(xué)生“面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能主動(dòng)嘗試著以數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問(wèn)題的策略”。開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，使他們了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。時(shí)間一鍋米飯，放到第二天，水氣就會(huì)干一些；放到第三天，味道恐怕就有問(wèn)題；第四天，我們幾乎可以發(fā)現(xiàn)，它已經(jīng)發(fā)餿；再放下去，恐怕就要發(fā)霉了。是什么原因，使那鍋米飯變餿變壞——是時(shí)間?？墒?，在煙雨的江南，年輕的父母生下女兒，他們就在地窖里，埋下一缸缸米酒，十七、八年以后，女兒長(zhǎng)大了，這些酒就成為嫁女兒、婚禮上的佳釀。它有一個(gè)美麗而惹人遐思的名字，叫女兒紅。是什么使那些平凡的米，變成芬芳甘醇的酒——也是時(shí)間。到底，時(shí)間是善良的，還是邪惡的魔術(shù)師呢？或許都不是，時(shí)間只是一個(gè)簡(jiǎn)單的指數(shù)符號(hào)，它會(huì)把原來(lái)倍增而已。開始變壞的米飯，每一天都不斷變得更腐臭，而開始變醇的美酒，每一分鐘，都在繼續(xù)增加它的芬芳。在人世間，我們也曾經(jīng)看過(guò)天真的少年一旦開始?jí)櫬?，便不免愈陷愈深，終于變得滿面風(fēng)塵，面目可憎。但相反的，時(shí)間卻把溫和的笑痕，體諒的眼神，成熟的風(fēng)采，智慧的神韻添加在那些追尋善良的人身上。同樣是煮熟的米，餿飯與美酒的差別在哪里呢？就在那一點(diǎn)點(diǎn)的酒曲。皆出父母，誰(shuí)墮落如禽獸，而誰(shuí)又能提升成完美的人呢？是內(nèi)心深處，緊緊環(huán)抱不放的，捉摸不透的欲望。與其問(wèn)，時(shí)間將怎樣對(duì)待你我。不如問(wèn)，你我將如何對(duì)待時(shí)間。你就是一道風(fēng)景生于世界上，存于宇宙間，你不比別人多，也不比別人少，同頂炎炎烈日，共沐皎皎月輝，心智不缺，心力不乏，只要你勇于展示自己的才華、個(gè)性及風(fēng)采，那么，你就沒必要去仰視別人。你，就是一道風(fēng)景！不要隱于云海峰巒之后，不必藏于青竹綠林之中，你就是巍巍山巒的一石，就是蒼蒼林莽中的一株。所以你沒必要敬畏名山大川，沒必要去贊嘆大漠孤煙，你的存在，其立身就在解釋世上所有的景致；你的存在，正注釋著時(shí)代的一種風(fēng)情！不必去擁擠了，你就站在屬于自己的位置上，不斷地展示你內(nèi)心世界的豐富內(nèi)涵，給蒼白的四周以綺麗，給庸俗的日子以詩(shī)意，給沉悶的空氣以清新，每日拭亮一個(gè)太陽(yáng)，用大自然的琴弦，奏響自己喜愛的心曲。自然美具有不以人們意志為轉(zhuǎn)移的自然性，梅花自有梅花的風(fēng)韻，紅杏自有紅杏的麗姿，如今認(rèn)清自己往往比注視別人更為重要。沒必要一味褒揚(yáng)別人貶低自己，應(yīng)該果敢地站起，與最佳景觀比肩，只要你不懈追求，相信你，不比別人差。真的，你行！翠竹之秀麗，青松之壯美，楊柳之瀟灑，蘭草之溫柔，自然賦予各異風(fēng)情，都在各自的一片土地上展示生命的光輝。如今所需的不是自謙，而是自信。很久很久了，虛假的謙遜毀掉個(gè)性的展露，模仿、裝扮、整容，使人無(wú)法認(rèn)清你的真面目，不知哪個(gè)是你自己，那情景似古代磚窯燒出的規(guī)格相同的陶俑。風(fēng)景這邊獨(dú)好！妙在獨(dú)好。我們太忽視這個(gè)“獨(dú)”了。世上被人們公認(rèn)的景點(diǎn)都是獨(dú)特的：埃及金字塔，中國(guó)古長(zhǎng)城；法國(guó)凱旋門，羅馬斗獸場(chǎng)……世上被人贊譽(yù)的美景也別具風(fēng)采：泰山日出，威尼斯水緘，熱帶雨林，撒哈拉大沙漠……大凡能被我們記住的人多富有個(gè)性特征：阿Q的“快樂(lè)”，魯濱遜的堅(jiān)毅，王熙風(fēng)的笑里藏刀，奧賽羅嫉妒殺人……讓個(gè)性伴你，站著該是一座山，倒下便是路基；完整時(shí)給人啟示，粉碎時(shí)使人警醒……你不比別人多，也不比別人少，你不用注視人們的眸光便可知道，你在陽(yáng)光下用身影發(fā)表宣言：你就是一道風(fēng)景！大氣戈壁上的胡楊活著三百年不死，死了三百年不倒，倒了三百年不朽。飛沙走石中守住了生命的鮮活，孤苦凄然中昂起了信念的不屈。胡楊的勃然生機(jī)挺拔出了撼人的大氣。秋風(fēng)中的竹子雖消瘦但不折腰，雖孤獨(dú)但不動(dòng)搖，雖憂思但不哀鳴，任憑寒夜苦雨蕭瑟，依然傲骨拔節(jié)凌空。竹子的沖天豪情正直出了高亢的大氣。池塘里的蓮花身陷污泥而不染，一身清白不自憐，縱使面對(duì)丑惡也不悲戚，昂首獨(dú)立更為清高。蓮花丹青難寫之精神頂立起風(fēng)骨的大氣。大氣，便是沖破貧瘠和困苦之折磨即使有萬(wàn)千磨難也要心揣夢(mèng)想播撒愛意的生氣。嫩嫩的企盼不滅，目光便總是向前，重重的責(zé)任肩負(fù)，生長(zhǎng)豐厚了癡迷的期待。大氣，便是卑微不失凌云之志，平凡猶有不可欺之尊的骨氣，用自己找尋使自己的足跡不欲，跌倒爬起照樣有路可走，用自己的脖子支起自己的腦袋，用自己的脊梁挺直自己的腰板，失去擁有總是無(wú)愧無(wú)悔。大氣，便是受邪惡不辱不低頭、保護(hù)柔弱不自負(fù)的正氣，正因?yàn)樾闹杏袗?，才敢向不平揮劍，才肯如老牛俯首，行俠仗義呼嘯而過(guò)，即使傷痕猶在也剛毅且無(wú)淚。大氣，小而言之就是一個(gè)人的精神氣，大而言之就是一個(gè)人的英雄氣。而一個(gè)人為人之氣是否乃大，其實(shí)正面的區(qū)別就是一個(gè)“愛”字，反面的區(qū)分就是一個(gè)“私”字。愛的真，愛的誠(chéng)，愛的厚，愛的多的人一定大氣。先公后私是低層次的大氣，再高些便是大公小私，而大公無(wú)私則是最高境界的大氣。從世俗的角度看，做人大氣些，便少些煩惱，多些達(dá)觀，與人方便，自己方便。從人生追求的境界上看，做人大氣些，自己走過(guò)的路可堅(jiān)實(shí)成立起的豐碑，自己耗費(fèi)的心血可扎根成人們的敬意。大氣的人，頂天立地。大氣人生，璀璨永恒。生機(jī)生機(jī)，不僅僅是個(gè)春天的話題。鮮嫩的淺綠，固然于萌芽透出生機(jī)，而茂盛的茁壯，則是于生長(zhǎng)挺出生機(jī)；金色的豐碩，是于收獲顯出生機(jī)，冰天雪地里的昂著，不也是于抗?fàn)帗P(yáng)出生機(jī)？生機(jī)，也不僅僅是個(gè)青春的話題。勢(shì)血沸騰固然是青年奮發(fā)向上的微型機(jī)，而奇美憧憬則是童年透明純真的生機(jī)；穩(wěn)健扎實(shí)是中年任勞任怨的生機(jī)，老當(dāng)益壯，不也是暮年不甘示弱的生機(jī)？微型機(jī)，更不僅僅是個(gè)詩(shī)意的話題。鳥語(yǔ)花香固然裝點(diǎn)了春和景明的微型機(jī)，危崖孤松，不也傲岸出了蒼涼凄苦中的生機(jī)？滿目蔥蘢固然展現(xiàn)了無(wú)邊綠意的生機(jī)，戈壁駝鈴不也搖曳出了飛沙走石下的生機(jī)？生機(jī)，它并不綻開于紅潤(rùn)的面龐，而更沉淀于熱切的目光；它并不跌宕于慷慨的陳詞，而更起伏于忙碌的奔走；它并不活躍于場(chǎng)面上的喧鬧，而更深厚于默默的勞作。生機(jī)，它并不美麗于甜蜜的夢(mèng)境，而更生動(dòng)于前行的足跡；它并不動(dòng)情于感人的宣言，而更壯觀于跌撞的摸索；它并不游移于華麗的文章，而更縈繞于圣潔的靈魂。長(zhǎng)空失去了生機(jī)，便是昏暗，但至少還有大地。大地失去了生機(jī)，便是凄涼，但至少還有人類。而人類失去了生機(jī)，縱使有浩蕩的長(zhǎng)空和沸騰的大地，也是徹骨的死寂。其實(shí)，世界最重要的微型機(jī)，還是人們心靈的不俗、不凡和不屈。心靈不欲，