2017-2021北京初二（上）期中數(shù)學(xué)匯編：勾股定理

19/192017-2021北京初二（上）期中數(shù)學(xué)匯編勾股定理一、單選題1．（2017·北京東城·八年級(jí)期中）已知一個(gè)Rt△的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（

A．25 B．14 C．7 D．7或252．（2021·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)期中）△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的長(zhǎng)度是（）A．3 B．5 C．3 D．3或53．（2017·北京東城·八年級(jí)期中）如圖，字母B所代表的正方形的邊長(zhǎng)是（）A．194 B．144 C．13 D．124．（2021·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)期中）如圖，以直角三角形的一條直角邊和斜邊為一邊作正方形M和N，它們的面積分別為9平方厘米和25平方厘米，則直角三角形的面積為（）A．6平方厘米 B．12平方厘米 C．24平方厘米 D．3平方厘米5．（2019·北京昌平·八年級(jí)期中）有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，在它的左右肩上生出了2個(gè)小正方形（如圖①），其中，3個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形．再經(jīng)過(guò)一次“生長(zhǎng)”后，又生出了4個(gè)小正方形（如圖②），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”，在“生長(zhǎng)”了2019次后形成的圖形中所有正方形的面積和是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20216．（2019·北京昌平·八年級(jí)期中）已知直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為6和8，則此三角形的周長(zhǎng)是（

）．A．22 B．23 C．21 D．247．（2017·北京東城·八年級(jí)期中）等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，底邊長(zhǎng)為8，則該三角形的面積等于（

）．A．6 B．12 C．24 D．408．（2017·北京東城·八年級(jí)期中）在下列由線段a，b，c的長(zhǎng)為三邊的三角形中，能構(gòu)成直角三角形的是（

）．A．a(chǎn)=1.5，b=2，c=3 B．a(chǎn)=2C．a(chǎn)=4，b=5，c=6 D．a(chǎn)=59．（2017·北京東城·八年級(jí)期中）如圖，已知矩形ABCD，AD=24，CD=16，點(diǎn)R、P分別是DC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是AP，RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在BC上從B向C移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，若CR=9，則EFA．12 B．12.5 C．9 D．不能確定10．（2017·北京西城·八年級(jí)期中）小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多2米，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)6米后，發(fā)現(xiàn)繩子拉直且下端剛好接觸地面，則旗桿的高是（

）．A．4米 B．6米 C．8米 D．10米11．（2017·北京西城·八年級(jí)期中）以長(zhǎng)度分別為下列各組數(shù)的線段為邊，其中能構(gòu)成直角三角形的是（

）．A．2，3，4 B．5，12，12 C．1，2，3 D．6，8，912．（2017·北京豐臺(tái)·八年級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB=2，則PB+PE的最小值是（

A．1 B．3 C．2 D．213．（2018·北京西城·八年級(jí)期中）如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x>①x2+y2=49，②x-y其中說(shuō)法正確的是(

)A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、填空題14．（2021·北京大興·八年級(jí)期中）三角形的兩邊長(zhǎng)分別為1cm和2cm，要使這個(gè)三角形是直角三角形，則第三條邊長(zhǎng)是______15．（2018·北京西城·八年級(jí)期中）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是___.16．（2018·北京西城·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB=15，AC=92，AD⊥BC于D，∠ACB=45o,則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_________17．（2017·北京西城·八年級(jí)期中）如圖，小明將一張長(zhǎng)為20cm，寬為15cm的長(zhǎng)方形紙剪去了一角，量得AB=3cm，18．（2017·北京東城·八年級(jí)期中）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的△ABC是__________19．（2017·北京東城·八年級(jí)期中）滿足a2+b20．（2017·北京豐臺(tái)·八年級(jí)期中）程大位所著《算法統(tǒng)宗》是一部中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作．在《算法統(tǒng)宗》中記載：“平地秋千未起，踏板離地一尺．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”【注釋】1步=5尺．譯文：“當(dāng)秋千靜止時(shí)，秋千上的踏板離地有1尺高，如將秋千的踏板往前推動(dòng)兩步（10尺）時(shí)，踏板就和人一樣高，已知這個(gè)人身高是5尺．美麗的姑娘和才子們，每天都來(lái)爭(zhēng)蕩秋千，歡聲笑語(yǔ)終日不斷．好奇的能工巧匠，能算出這秋千的繩索長(zhǎng)是多少嗎？”如圖，假設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)始終保持直線狀態(tài)，OA是秋千的靜止?fàn)顟B(tài)，A是踏板，CD是地面，點(diǎn)B是推動(dòng)兩步后踏板的位置，弧AB是踏板移動(dòng)的軌跡．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．設(shè)繩索長(zhǎng)OA=OB=x尺，則可列方程為_(kāi)____．21．（2018·北京西城·八年級(jí)期中）已知△ABC中，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC于D，且AD＝12，則BC＝_三、解答題22．（2021·北京大興·八年級(jí)期中）已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，若AC=6，23．（2020·北京延慶·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=8cm，∠ABC＝30°，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度在射線BA上勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，以C，D，B為頂點(diǎn)的三角形恰為等腰三角形？（結(jié)果可含根號(hào)）．24．（2018·北京西城·八年級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，BC=15.求（1）△ABC的面積；（2）斜邊AB上的高CD.25．（2017·北京海淀·八年級(jí)期中）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l過(guò)點(diǎn)C且與AB平行．點(diǎn)D在直線l上（不與點(diǎn)C重合），作射線DA．將射線DA繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，與直線（1）如圖1，若點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD、DE之間的數(shù)量關(guān)系．（2）依題意補(bǔ)全圖2，并證明此時(shí)（1）中的結(jié)論仍然成立．（3）若AC=5，CD=4226．（2017·北京東城·八年級(jí)期中）某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開(kāi)辟為生物園，如圖所示，∠ACB=90°，AC=80m，BC=60m．線段CD是一條水渠，且D點(diǎn)在邊AB上，已知水渠的造價(jià)為27．（2017·北京海淀·八年級(jí)期中）如圖∠BAC=45°,BD:DC:BC=3:4：5,AD=4,∠ABC+∠ABD=180°，∠ACB+∠ACD=180°,求四邊形ABDC的面積．

參考答案1．D【分析】由于4是三角形的直角邊與斜邊不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】解：由于4是三角形的直角邊與斜邊不能確定，故應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：（1）3、4都為直角邊，由勾股定理得，斜邊為5；（2）3為直角邊，4為斜邊，由勾股定理得，直角邊為7．∴第三邊長(zhǎng)的平方是25或7，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．2．A【分析】根據(jù)題意得出AC為斜邊，AB為直角邊，所以BC用勾股定理可求．【詳解】解：∵∠B是直角，∴AC為△ABC的斜邊，AB為直角邊，∴BC＝AC故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是用勾股定理進(jìn)行計(jì)算．3．D【分析】正方形的面積就是三角形斜邊和直角邊的平方，字母B所代表的正方形的面積等于其它兩個(gè)正方形的面積差，計(jì)算得出字母B面積的算數(shù)平方根即可．【詳解】解：如圖：根據(jù)勾股定理可以得出：B的面積=169-25=144，B所代表的正方形的邊長(zhǎng)=144=故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的面積公式和勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．4．A【分析】根據(jù)勾股定理求出另一條直角邊的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形的面積公式求出直角三角形的面積．【詳解】根據(jù)勾股定理可得直角三角形的另一邊長(zhǎng)為：25-9＝4（厘米），可得這個(gè)直角三角形的面積為：12×9×4＝6故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和直角三角形面積的求法，理解直角三角形的面積等于其兩直角邊長(zhǎng)乘積的一半是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，知“生長(zhǎng)”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積，即所有正方形的面積和是2×1=2；“生長(zhǎng)”2次后，所有的正方形的面積和是3×1=3，推而廣之即可求出“生長(zhǎng)”2019次后形成圖形中所有正方形的面積之和．【詳解】設(shè)直角三角形的是三條邊分別是a，b，c．根據(jù)勾股定理，得a2+b2=c2，即正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1，所以，生長(zhǎng)1次后，所有的正方形的面積和是2，同理可得，生長(zhǎng)2次后，所有的正方形的面積和是3，生長(zhǎng)3次后，所有的正方形的面積和是4，??所以，“生長(zhǎng)”了2019次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2020×1=2020．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理，其中能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．6．D【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊長(zhǎng)，計(jì)算即可．【詳解】由勾股定理得，此三角形的斜邊長(zhǎng)=62∴此三角形的周長(zhǎng)=6+8+10=24，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．7．B【詳解】如圖等腰△ABC，過(guò)頂點(diǎn)C作AD∴BD=∵底邊BC=8∴BD=4∵AB=5∴AD=3∴S△故選B．8．D【詳解】A、1.52+2B、22+3C、42+5D、52+12故選D.點(diǎn)睛:本題考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用,如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.9．B【詳解】連接AR．∵∠ADCAD=24,DR∴AR=又∵△ARPE為AP中點(diǎn)，F(xiàn)為PR中點(diǎn)，∴EF=∴EF故選B.點(diǎn)睛：此題主要考查了勾股定理及三角形的中位線定理，熟練掌握勾股定理和三角形中位線定理是解答本題的關(guān)鍵.10．C【詳解】如圖所示：根據(jù)題意BC=6設(shè)AB=xm在Rt△Ax解得x=8∴AB=8故選C．11．C【詳解】根據(jù)勾股定理可判斷，若a2A．22B．52C．12D．62+故選C．12．B【詳解】找出B點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DE交AC于P，則DE就是PB+PE的最小值，求出即可.解：連接DE交AC于P，連接DE，DB，由菱形的對(duì)角線互相垂直平分，可得B、D關(guān)于AC對(duì)稱，則PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，∵AD=AB，∴△ABC是等邊三角形，∵AE=BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三線合一的性質(zhì)）.在Rt△ADE中，DE=AD2-即PB+PE的直線值為3.故選B.“點(diǎn)睛”本題主要考查軸對(duì)稱.最短路線問(wèn)題，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．確定P點(diǎn)的位置是解答此題的關(guān)鍵.13．B【詳解】可設(shè)大正方形邊長(zhǎng)為a,小正方形邊長(zhǎng)為b，所以據(jù)題意可得a2=49,b2=4;根據(jù)直角三角形勾股定理得a2=x2+y2，所以x2+y2=49，式①正確；因?yàn)槭撬膫€(gè)全等三角形，所以有x=y+2，所以x-y=2，式②正確；根據(jù)三角形面積公式可得S△=xy2，而大正方形的面積也等于四個(gè)三角形面積加上小正方形的面積，所以4×xy2+4=49，化簡(jiǎn)得因?yàn)閤2+y2=49，2xy+4=49，所以(x+y)2=94故答案為B．14．5或3##3或5【分析】利用勾股定理的逆定理進(jìn)行分類討論即可解出答案．【詳解】解：∵三角形的兩邊長(zhǎng)分別為1cm和2cm，∴可設(shè)第三邊為xcm，∵此三角形是直角三角形，∴當(dāng)x是斜邊時(shí)，x2=12+當(dāng)x是直角邊時(shí)，x2+12=故答案為：5或3【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握是勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．5【分析】首先利用勾股定理計(jì)算出BO的長(zhǎng)，然后再根據(jù)AO=BO可得答案．【詳解】OB=22+1∵OB=OA，∴點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是5，故答案為5.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用.16．21【分析】在Rt△ADC中利用勾股定理可以求得AD、DC的長(zhǎng)，繼而在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，由BC=BD+CD即可得.【詳解】∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ACB=45°，∴∠DAC=90°-∠ACB=45°，∴AD=DC，在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，AC=92，∴AD=CD=9，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，AB=15，∴BD=12，∴BC=BD+DC=12+9=21，故答案為21.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.17．20【詳解】BOOC=20-在Rt△OBC中，∴BC=O18．直角三角形【詳解】∵AB2=32∴AB∴△ABC點(diǎn)睛：本題考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.19．3，4，5（答案不唯一）【詳解】∵32+4∴我較熟悉的一組勾股數(shù)是：3，4，5（答案不唯一）.20．102+（x﹣5+1）2=x2【詳解】試題分析：設(shè)繩索長(zhǎng)OA=OB=x尺，由題意得，102+（x﹣5+1）2=x2．故答案為102+（x﹣5+1）2=x2．【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程．21．14或4【詳解】：（1）如圖，銳角△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2-AD2=132-122=25，∴BD=5，在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2-AD2=152-122=81，∴CD=9，∴BC的長(zhǎng)為BD+DC=9+5=14；（2）鈍角△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2-AD2=132-122=25，∴BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2-AD2=152-122=81，∴CD=9，∴BC的長(zhǎng)為DC-BD=9-5=4．故答案為14或4．22．BC的長(zhǎng)為2【分析】根據(jù)勾股定理即可求得BC的長(zhǎng)．【詳解】解：在△ABC中，∠C=90°，由勾股定理可得BC所以BC的長(zhǎng)為2【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理解直角三角形，勾股定理是指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．23．43或4或4【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論即可；【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t當(dāng)CD=CB時(shí)BD=8∴t當(dāng)BC=BD時(shí)，BD=8∴t當(dāng)DC=DB時(shí)，BD=∴t【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確分析相等線段是解題的關(guān)鍵．24．S【分析】（1）首先利用勾股定理求得AC，進(jìn)而得出三角形面積即可；（2）利用三角形的面積求得AB上的高CD即可．【詳解】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15，∴AC＝AB2-BC∴△ABC的面積＝12×20×15＝150（2）∵12×AB?CD＝12×AC∴CD＝AC?BCAB＝20×15【點(diǎn)睛】此題考查三角形的面積，掌握勾股定理和三角形的面積計(jì)算公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．25．（1）DA=DE；（2）見(jiàn)解析；（3）3或【詳解】試題分析：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥CD于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，由已知條件易證∠M=∠DCM=∠ECD=45°，CD=DM，∠EDC=∠ADM，從而可證得△ADM≌△EDC，即可得到（2）先由題意補(bǔ)全圖形如下圖2所示：過(guò)點(diǎn)D作CF⊥CD于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)F，則由一條件可用與（1）相同的思路證得△ADF≌△EDC，由此即可證得DA=DE；（3）根據(jù)點(diǎn)D在直線l上的位置分點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)和左側(cè)兩種情況解答：①如圖3，訂點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)DM⊥CD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥DM于點(diǎn)N，由（1）可知，此時(shí)CE=AM，DM=CD，再由DN⊥AB于點(diǎn)N結(jié)合AC=5可求得DN的長(zhǎng)，從而可得MN的長(zhǎng)，就可得到AM和CE的長(zhǎng)了；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，作AA'⊥直l于A'點(diǎn)，過(guò)D作DN⊥直l交CB于點(diǎn)N，過(guò)E作EM⊥DN于M，由已知條件易證△A'DA≌△MDE，從而可得ME=AA′，在等腰直角△ACA′中由AC可求得AA′的長(zhǎng)，即可得到ME的長(zhǎng)，進(jìn)而在等腰直角△MEN中由ME的長(zhǎng)可求得EN的長(zhǎng)，在等腰直角試題解析：（1）如圖1，過(guò)D作DM⊥l交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)∵△ABC∠A1CB∴∠ABC∵直線l∥∴∠ECD=∠ABC∵DM⊥直線l∴∠CDM∴∠AMD=45°=∠ECD∵∠EDC+∠CDA∴∠EDC在△ADM和△∠EDC∴△ADM≌△∴DA=（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作直線l的垂線，交AC于F點(diǎn)，∵△ABC中，∠BCA=90°∴∠CAB∵直線l∥∴∠DCF∵FD⊥直線l∴∠DCF∴CD=∵∠DFA∠DCE∴∠DCE∵∠CDE∠EDF∴∠CDE在△CDE和△∠DCE∴△CDE≌△∴DF=（3）根據(jù)點(diǎn)D在直線l上的位置分以下兩種情況進(jìn)行解答：①如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在C點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，過(guò)A作AN⊥DM于點(diǎn)由（1）可得，此時(shí)：△ADM≌△∴DM=DC=4∵AC=5，DN⊥AB于點(diǎn)N∴DN=∴NM=∴AM=②如圖4，當(dāng)點(diǎn)D在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，作AA'⊥直l于A'點(diǎn)，過(guò)D作DN⊥直l交CB于點(diǎn)N，過(guò)E∴∠AA′D=∠EMD=90°，∵∠A'DA∴∠A在△A'DA∠A∴△A'DA∴AA∵∠CAA'∴AA∵∠DCN=45°，∴CN=8∵∠NEM=45°，∴NE=3∴CE=點(diǎn)睛：（1）解答本題第1、2兩個(gè)小題的關(guān)鍵都是“過(guò)點(diǎn)D作直線l的垂線交AC或AC的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，從而構(gòu)造出包含線段DA和DE的兩個(gè)全等三角形”，即可使問(wèn)題得