高三數(shù)學(xué)-南通市、泰州市、淮安市2023屆高三下學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題

南通市2023屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)Ⅰ參考公式：棱錐的體積公式：其中S是棱錐的底面積，h是高．一、填空題：本大題共14個(gè)小題，每題5分，共70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置．1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足〔為虛數(shù)單位〕，那么復(fù)數(shù)的實(shí)部為________．2.設(shè)集合，那么實(shí)數(shù)的值為________．3.右圖是一個(gè)算法流程圖，那么輸出的的值是________．4.為了解一批燈泡〔共5000只〕的使用壽命，從中隨機(jī)抽取了100只進(jìn)行測(cè)試，其使用壽命〔單位：〕如下表：使用壽命只數(shù)52344253根據(jù)該樣本的頻數(shù)分布，估計(jì)該批燈泡使用壽命不低于的燈泡只數(shù)是________．5.電視臺(tái)組織中學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽，共設(shè)有5個(gè)版塊的試題，主題分別是：立德樹人、社會(huì)主義核心價(jià)值觀、依法治國(guó)理念、中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、創(chuàng)新能力．某參賽隊(duì)從中任選2個(gè)主題作答，那么“立德樹人〞主題被該隊(duì)選中的概率是________．6.函數(shù)〔且〕的圖象如下圖，那么的值是_________．7.設(shè)函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，那么正數(shù)的值為________．8.在等比數(shù)列中，，公比．假設(shè)成等差數(shù)列，那么的值是________．9.在體積為的四面體中，平面，，那么長(zhǎng)度的所有值為________．10.在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，與圓相交于點(diǎn)，，且，那么正數(shù)的值為________．11.是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)于任意的，滿足．假設(shè)當(dāng)時(shí)，，那么函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________．12.如圖，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)位于兩平行直線的同側(cè)，且到的距離分別為1，3．點(diǎn)分別在上，，那么的最大值是_________．13．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，那么的最小值是________．14．假設(shè)存在，使得，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是________．二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．〔本小題總分值14分〕在斜三角形中，．〔1〕求的值；〔2〕假設(shè)，求的周長(zhǎng)．16．〔本小題總分值14分〕如圖，在正方體中，分別為棱的中點(diǎn)．求證：〔1〕平面；〔2〕平面平面．，如圖2所示，其中．請(qǐng)你分別求出兩種方案中苗圃的最大面積，并從中確定使苗圃面積最大的方案．18．〔本小題總分值16分〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為．為橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)滿足．〔1〕假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求橢圓的方程；〔2〕設(shè)過(guò)點(diǎn)的一條直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，直線的斜率之積為，求實(shí)數(shù)的的值．19．〔本小題總分值16分〕設(shè)函數(shù)，其中是實(shí)數(shù)．〔1〕假設(shè)，解不等式；〔2〕假設(shè)，求關(guān)于的方程實(shí)根的個(gè)數(shù)．20．〔本小題總分值16分〕設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，的前項(xiàng)和．〔1〕求證：數(shù)列為等差數(shù)列；〔2〕等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，且存在整數(shù)，使得．〔=1\*ROMANI〕求數(shù)列公比的最小值〔用表示〕；〔=2\*ROMANII〕當(dāng)時(shí)，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．南通市2023屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)Ⅱ附加題21．【選做題】此題包括四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，假設(shè)多做，那么按作答的前兩題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．A．【選修4-1：幾何證明選講】〔本小題總分值10分〕如圖，是圓的直徑，，為圓外一點(diǎn)，且，交圓于點(diǎn)，過(guò)作圓的切線交于點(diǎn)．求證：．B．【選修4-2：矩陣與變換】〔本小題總分值10分〕在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．C．【選修：4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】〔本小題總分值10分〕在平面直角坐標(biāo)系中，直線〔為參數(shù)〕與曲線〔為參數(shù)〕相交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．D．【選修4-5：不等式選講】〔本小題總分值10分〕，，求的最大值．【必做題】第22，23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．22．〔本小題總分值10分〕一個(gè)摸球游戲，規(guī)那么如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個(gè)大小相同、顏色各異的玻璃球，參加者交費(fèi)1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次．參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球．當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時(shí)，游戲費(fèi)被沒收；當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時(shí)，參加者可相應(yīng)獲得游戲費(fèi)的0倍，1倍，倍的獎(jiǎng)勵(lì)，且游戲費(fèi)仍退還給參加者．記參加者玩1次游戲的收益為元．〔1〕求概率的值；〔2〕為使收益的數(shù)學(xué)期望不小于0元，求的最小值．〔注：概率學(xué)源于賭博，請(qǐng)自覺遠(yuǎn)離不正當(dāng)?shù)挠螒颍　?3．〔本小題總分值10分〕設(shè)，其中．當(dāng)除以4的余數(shù)是時(shí)，數(shù)列的個(gè)數(shù)記為．〔1〕當(dāng)時(shí)，求的值；〔2〕求關(guān)于的表達(dá)式，并化簡(jiǎn)．參考答案填空題：〔本大題共14題，每題5分，共計(jì)70分．1.2．13.174.14005.6.7.28.9.10.411.712.13.14.二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．15.〔本小題總分值14分〕解：〔1〕因?yàn)?，即，因?yàn)樵谛比切沃?，，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．?分由正弦定理，得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分故，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分．所以的周長(zhǎng)為，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分16．〔本小題總分值14分〕證明：〔1〕在正方體中，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以．又，故，所以四邊形為平行四邊形．從而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分又平面平面，所以平面；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分〔2〕連結(jié)，在正方形中，．又分別為棱的中點(diǎn)，故．所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分在正方體中，平面，又平面，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分而平面，所以平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分又平面，所以平面平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分17．〔本小題總分值14分〕解：設(shè)方案①，②中多邊形苗圃的面積分別為．方案①設(shè)，那么．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分〔當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=〞成立〕．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分方案②設(shè)，那么．．．．．．．．．．．．．．．．．8分由得，〔舍去〕．．．．．．．．．．10分因?yàn)?，所以，列表?0-極大值所以當(dāng)時(shí)，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分因?yàn)椋越缙詴r(shí)用方案②，且．答：方案①，②苗圃的最大面積分別為，建苗圃時(shí)用方案②，且．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分18．〔本小題總分值16分〕解：〔1〕因?yàn)?，而，所以．代入橢圓方程，得，①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又橢圓的離心率為，所以，②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分由①②，得，故橢圓的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分〔2〕設(shè)，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，即于是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．?分代入橢圓方程，得，即，③．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分因?yàn)樵跈E圓上，所以．④因?yàn)橹本€的斜率之積為，即，結(jié)合②知．⑤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分將④⑤代入③，得，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分19．解：〔1〕時(shí)，，由，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分此時(shí)，原不等式為，即，解得或．所以原不等式的解集為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分〔2〕由方程得，．①由，得，所以，．方程①兩邊平方，整理得．②．．．．．．．．．．．．．．．．．7分當(dāng)時(shí)，由②得，所以原方程有唯一解，當(dāng)時(shí)，由②得判別式，1〕時(shí)，，方程②有兩個(gè)相等的根，所以原方程有唯一的解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分2〕且時(shí)，方程②整理為，解得．由于，所以，其中，即．故原方程有兩解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分3〕時(shí)，由2〕知，即，故不是原方程的解．而，故原方程有唯一解．綜上所述：當(dāng)或時(shí)，原方程有唯一解；當(dāng)且時(shí)，原方程有兩解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分注：2〕中，法2：，故方程②兩實(shí)根均大于，所以原方程有兩解．20．〔本小題總分值16分〕證明：〔1〕因?yàn)椋偎?，?②，得，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以．從而，，所以數(shù)列為等差數(shù)列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分〔2〕〔1〕①中，令，得，所以．由得，，所以．③由得，，即④．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分當(dāng)時(shí)，④恒成立．當(dāng)時(shí)，④兩邊取自然對(duì)數(shù)，整理得，．⑤記，那么．記，那么，故為上增函數(shù)，所以，從而，故為上減函數(shù)，從而的最大值為．⑤中，，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分當(dāng)時(shí)，同理有，所以公比的最小值為〔整數(shù)〕．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分〔2〕依題意，，由〔2〕知，，〔整數(shù)〕．所以．從而，當(dāng)時(shí)，，只能，此時(shí)，不符；當(dāng)時(shí)，，只能，此時(shí)，不符；當(dāng)時(shí)，，只能，此時(shí)，符合；綜上，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分21．【選做題】A．〔本小題總分值10分〕證明：連結(jié)，因?yàn)椋裕蓤A知，所以．從而，所以.……………………6分又因?yàn)闉閳A的切線，所以，又因?yàn)?，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．?0分〔本小題總分值10分〕解：設(shè)，依題意，由，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分那么．記旋轉(zhuǎn)矩陣，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分那么，即，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分C．〔本小題總分值10分〕解：將直線的參數(shù)方程化為普通方程，得．①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，得．②．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分由①②，得或，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分所以，從而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分D．〔本小題總分值10分〕解：由柯西不等式，得．．．．．．．．．．．．．．6分因?yàn)椋裕?，所以的最大值為，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分22．〔本小題總分值10分〕解：〔1〕事件“〞表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出現(xiàn)1次〞，那么．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分〔2〕依題意，的可能值為，且，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分結(jié)合〔1〕知，參加游戲者的收益的數(shù)學(xué)期望為〔元〕．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分為使收益的數(shù)學(xué)期望不小于0元，所以，即．答：的最小值為110．．．．．．．．