尋40年記憶看四川變化

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不等式是高中數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科的重要工具，是高考必考內(nèi)容，而不等式中的根本不等式又是高考的重點與熱點，根本不等式的應(yīng)用是測驗的重點，包括利用根本不等式求解函數(shù)的最大（小）值問題和簡樸的證明問題.

一、典例探究

（一）利用根本不等式證明不等式

已知a>0，b>0，a+b=1，求證：?1+?1a1+1b≥9.

證明解法一：由于a>0，?b>?0，a+b=1，

所以1+1a=1+a+ba=?2+?ba.

同理1+1b=2+ab.

（利用1與a+b的關(guān)系，將1代換為a+b并化簡）

所以1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab≥5+4=9.

（結(jié)合式子特征，用根本不等式放縮）

所以1+1a1+1b≥9.（小結(jié)過程，呈現(xiàn)結(jié)論）

解法二：由于a,b為正數(shù)，a+b=1，

所以1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab=1+a+bab+?1ab=?1+2ab，

（對不等號左側(cè)開展化簡，并將a+b代換為1）

又ab≤a+b2?2=14，于是1ab≥4，2ab≥8，（利用根本不等式放縮）

因此1+1a1+1b≥1+8=9.（小結(jié)過程，呈現(xiàn)結(jié)論）

點評利用根本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種處境，要從整體上把握運用根本不等式，對不得志使用不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項、并項，也可乘上一個數(shù)或加上一個數(shù)，“1”的代換法等．

（二）利用根本不等式求最值

已知x>1，那么函數(shù)y=x+1x－1的最小值為

解由于x>1，所以x－1>0，所以

y=x+1x－1=x－1+1x－1+1

≥2(x－1)1x－1+?1=?3，

當(dāng)且僅當(dāng)x－1=1x－1，即x=2時取“=”，所以函數(shù)的最小值為3，即此題答案為3.

變題1已知t>0，那么函數(shù)y=t?2－4t+1t的最小值為．

解∵t>0，∴y=t?2－4t+1t=t+1t－4

≥?2t1t－?4=－2.

當(dāng)且僅當(dāng)t=1t，即t=1時，取得等號，故此題答案為－2．

斟酌若題中“t>0”改為“t≥2”呢？

點評運用根本不等式求函數(shù)的最小值，需具備條件：各數(shù)(式)均為正，積為定值，等號能取得．

變題2若對任意x>0，xx?2+3x+1≤a恒成立，那么a的取值范圍是．

解∵x>0，∴x+1x≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號)，

∴xx?2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15，即xx?2+3x+1的最大值為15，故a≥15，故此題答案為15,+∞.

變題3（1）已知x>0，y>0，且

x+2y=1，求2x+1y的最小值.

（2）已知x>0，y>0，且?2x+?1y=1，

求x+2y的最小值.

解（1）∵x>0，y>0，且x+2y=1，

∴2x+1y=(x+2y)2x+1y

=4+4yx+xy≥4+24yxxy=8，

當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy，即?4y?2=?x?2，x=2y時取等號，又x+?2y=?1，此時x=12,y=14，

∴2x+1y???min??=8

（2）∵x>0，y>0，且2x+1y=1，

∴x+2y=(x+2y)2x+1y

=4+4yx+?xy≥4+?24yxxy=8，

當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy，即?4y?2=?x?2，x=2y時取等號，又2x+?1y=?1，此時x=4，y=2，

∴(x+2y)???min??=8

點評利用根本不等式求最值需留神的問題

(1)各數(shù)(或式)均為正；

(2)和或積為定值；

(3)等號能否成立，即“一正、二定、三相等”這三個條件缺一不成．

若無明顯“定值”，那么用配湊的方法，使和為定值或積為定值．

當(dāng)屢屢使用根本不等式時，確定要留神每次是否能保證等號成立，并且要留神取等號的條件的一致性，否那么就會出錯，因此在利用根本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法．

牛刀小試

1.已知a>0，b>0，a+b=1，求證：1a+1b≥4.

2．當(dāng)x0,y>0，且x+y=1，求3x+4y的最小值.

4．已知直角△ABC中，周長為L（L為正的常數(shù)），求△ABC面積S的最大值.

1.∵a>0，b>0，a+?b=?1，

∴1a+1b=a+ba+a+bb=?2+?ba+ab

≥2+?2baab=?4.

∴1a+1b≥4.(當(dāng)且僅當(dāng)?a=?b=12時等號成立).

2.∵x0，

∴f(x)=x+4x－3=(x－3)+4x－3+3

=?

－43－x+(?3－?x)+?3

≤

－243－x(3－x)+?3=?－1，

當(dāng)且僅當(dāng)43－x=3－x，即?x=?1時等號成立，

∴f(x)的最大值為-1.

3.∵x>0,y>0,且x+y=1，∴3x+4y

=3x+4y(x+y)=7+3yx+4xy

≥7+?23yx4xy=?7+43,

當(dāng)且僅當(dāng)3yx=4xy,x+y=1時等號成立，即?x=?23－3,y=4－23，

∴3x+4y的最小值為7+43.

4.設(shè)直角△ABC的兩條直角邊分別為a、b,斜邊為c，

由題意知：a+b+c=L,a?2+

b?2=c?2，∴a+b+