高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題訓(xùn)練：立體幾何

高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題訓(xùn)練：立體幾何

G1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1、如圖1-5,四棱柱4%力-4AG"中，44_L底面被力，四邊形4%?為梯形，AD//

%且4片2比:過(guò)4,C,。三點(diǎn)的平面記為a,BB\與。的交點(diǎn)為Q

圖1-5

(1)證明：。為期的中點(diǎn)；

(2)求此四棱柱被平面。所分成上下兩部分的體積之比；

(3)若44=4,G9=2,梯形48徵的面積為6,求平面。與底面4犯9所成二面角的大

小.

解：⑴證明：因?yàn)楣Α?4,BC//AD,

BCC\BQ=B,AD^AAx=A,

所以平面四C〃平面AyAD,

從而平面4徵與這兩個(gè)平面的交線相互平行，

即QC"AH.

故△物與△44?的對(duì)應(yīng)邊相互平行，

于是

所以7^='7^=而尸5，即0為跖的中點(diǎn).

Du\nn\AUN

(2)如圖1所示，連接3,0〃設(shè)力4=力，梯形的高為&四棱柱被平面。所分

成上下兩部分的體積分別為力和/下，BC=a,則49=2a

圖1

/三棱錐Q?2a?力?d=gahd,

1a+2a(\\1

P四段錐Q：4BCD=->~~—?d?\^n\=-ahd,

7

所以“下=V三棱錐0-A\AD-\-Vn^.Q-ABcn=-^ahd.

3

又夕四棱柱力歸G〃-ABCD=-ahd,

所以嗔=V四棱柱48iG〃?ABCD—V下=^ahd—也ahd=*ahd，故￡=吊.

(3)方法一：如圖1所示，在△4T中，作力垂足為夕，連接

又DE1.AA1,且力4「1力￡=力，

所以施，平面力陰，所以

所以N4￡4i為平面。與底面力順?biāo)啥娼堑钠矫娼?

因?yàn)楸取?〃，AD=2BC,所以8.=28/o.

又因?yàn)樘菪嗡?。的面積為6,I)C=2,

所以5k.耽=4,力￡=4.

于是tanN4￡4i=4^=l,Z.AEA\=~r.

Ac4

故平面a與底面485所成二面角的大小為十.

方法二：如圖2所示，以〃為原點(diǎn)，為，應(yīng)分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐

標(biāo)系.

設(shè)/物=。,BC=a,貝2a

a+2a

因?yàn)镾pq邊形/仇笫="?2sin夕=6,

2

所以a

sin#

圖2

從而可得C（2cos。，2sin夕，0）,4（一：丁,0,4

\sin<7）

4

所以〃g（2cos0,2sin，，0）,DA^=\.a,0,4

[sinu

設(shè)平面的法向量/?=(x,y,1),

-4

DA\?n=~~.---x+4=0,

sm〃T

由

DC9〃=2xcos0+2ysin9=0,

[x=-sin8,

得

[y=cos°,

所以〃=(—sin。，cos。，1).

又因?yàn)槠矫媪λ牡姆ㄏ蛄繀n=(0,0,1),

n?my[2

所以COS</7,蘇=~M/M=2'

故平面a與底面48G9所成二面角的大小為

2、《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的

有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三

十六成一.”該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)/與高人計(jì)算其體積，的近似公式物!

9

￡%它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率”近似取為3.那么，近似公式火五萬(wàn)方相當(dāng)于

r0

將圓錐體積公式中的人近似取為()

2225157355

A—B—C---D---

7850113

B［解析］設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,底面積為S,則L=2n八由題意得//方心〈劭,

363

225

代入S="化簡(jiǎn)得—3；類(lèi)比推理，若/尹，則…守故選艮

3、某幾何體三視圖如圖1-1所示，則該幾何體的體積為（）

俯視圖

B［解析］根據(jù)三視圖可知，該幾何體是正方體減去兩個(gè)體積相等的圓柱的一部分

占圓柱的后余下的部分，故該幾何體體積為2X2X2—2x"xJtX2=8—n.

G2空間幾何體的三視圖和直觀圖

4、一個(gè)多面體的三視圖如圖1-2所示，則該多面體的表面積為（)

A.21+73B.8+^2

C.21D.18

圖1-2

A［解析］如圖，由三視圖可知該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體截去兩個(gè)小三棱錐后余

下的部分，其表面積5=6X4-1X6+2X1XV2X^=21+V3.

5、某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是()

A.圓柱B.圓錐C.四面體D.三棱柱

A［解析］由空間幾何體的三視圖可知，圓柱的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都不可能是

三角形.

6、在如圖1-1所示的空間直角坐標(biāo)系0-犯，z中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,

2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).給出編號(hào)為①，②，③，④的四個(gè)圖，則該四面

體的正視圖和俯視圖分別為()

A.①和②B.①和③C.③和②D.④和②

D［解析］由三視圖及空間直角坐標(biāo)系可知，該幾何體的正視圖顯然是一個(gè)直角三角

形且內(nèi)有一條虛線(一銳角頂點(diǎn)與其所對(duì)直角邊中點(diǎn)的連線)，故正視圖是④；俯視圖是一個(gè)

鈍角三角形，故俯視圖是②.故選D.

7、一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖1-2所示，將該石材切削、打磨，加工成球,

則能得到的最大球的半徑等于()

1<-6->1

正視圖側(cè)視圖

12

-L

俯視圖

圖1-2

A.1B.2C.3D.4

B［解析］由三視圖可知，石材為一個(gè)三棱柱（相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體的一半），故可知能得

到的最大球?yàn)槿庵膬?nèi)切球.由題意可知正視圖三角形的內(nèi)切圓的半徑即為球的半徑，可

得片「=2.

8、一幾何體的直觀圖如圖1-1所示，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是（）

圖1-2

B［解析］易知該幾何體的俯視圖為選項(xiàng)B中的圖形.

9、幾何體的三視圖（單位：cm）如圖1-1所示，則此幾何體的表面積是（）

士…當(dāng)3

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

圖1-1

A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2

D［解析］此幾何體是由長(zhǎng)方體與三棱柱組合而成的，其直觀圖如圖,

所以該幾何體的表面積為2(4X3+6X3+6X4)+2X2X3X4+4X3+3X5—3X3=

138(cm2),故選D.

10、如圖1-3,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則

該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（）

A.6mB.6C.4小D.4

B［解析］該幾何體是如圖所示的棱長(zhǎng)為4的正方體內(nèi)的三棱錐￡CG”（其中后為

期的中點(diǎn)），其中最長(zhǎng)的棱為（4啦）2+于=6.

11、如圖1-1,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1（表示1cm）,圖中粗線畫(huà)出的是某零件

的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部

分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為（）

1751o1

---c---

27B.927D.3

C［解析］該零件是一個(gè)由兩個(gè)圓柱組成的組合體，其體積為nX32X2+nX22X4

=34n(cm3),原毛坯的體積為nX32X6=54冗(cm3)，切削掉部分的體積為54冗—34n=20

"(cn?),故所求的比值為黑=卷.

54nZ(

12、四面體力靦及其三視圖如圖1-4所示，過(guò)棱4?的中點(diǎn)〃作平行于1。，比?的平面

分別交四面體的棱加，DC,。于點(diǎn)凡G,II.

(1)證明：四邊形夕曲是矩形；

(2)求直線48與平面EFGH夾角0的正弦值.

圖1-4

解：(1)證明：由該四面體的三視圖可知，

BDLDC,BDLAD,ADLDC,

BD=DC=2,AD=\.

由題設(shè)，BC〃①面EFGH,

平面EFGHC平面BDC=FG,

平面EFGHC平面ABC=EH,

：.BC//FG,BC//EH,：.FG//EH.

同理加〃/HG//AD,：.EF//HG.

...四邊形￡71倒是平行四邊形.

又VADI.DC,ADX.BD,：.ADV平面BDC,

J.ADLBC,:.EFLFG,

...四邊形EFGH是矩形.

(2)方法一：如圖，以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，(0,0,0),4(0,0,1),

3(2,0,0),<7(0,2,0),

DA=(0,0,1),BC={-2,2,0),

劭=(-2,0,1).

設(shè)平面仞%77的法向量〃=(x,y,z),

?：EF//AD,FG//BC,

".n,ZM=0,n,BC=0,

(z=0,

得,取〃=(1,1,0),

[—2x+2y=0,

..sin"=|cos〈BA,加|-n=小義互5"

方法二：如圖，以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則〃(0,0,0),J(0,0,1),8(2,0,0),<7(0,2,0),

是血的中點(diǎn)，，凡G分別為BD,左的中點(diǎn)，得(1,0,；),尸(1,0,0),G(0,

1,0).

.?.應(yīng)=(0,0,外屆=(-1,1,0),

BA=(-2,0,1).

設(shè)平面廳切的法向量A=(x,y,z),

貝ijn-FE=Q,n-FG=Q,

'1

得《2'取〃=(1,1,0),

、一x+y=0,

c、IBA'nI2Jw

Asin0=cos{BA,ri)=-=-j=----j==--~.

\BA\nIV5XV25

13、一個(gè)兒何體的三視圖如圖1?3所示（單位：m）,則該幾何體的體積為m3.

理［解析］由三視圖可得，該幾何體為圓柱與圓錐的組合體，其體積上nXfX4

o

,1220n

+-nX2JX2=-7~.

0

14、某幾何體的三視圖如圖1-2所示，則該幾何體的表面積為（)

圖1-2

A.54B.60C.66D.72

B［解析］由三視圖可知該幾何體是由一個(gè)直三棱柱去掉一個(gè)三棱錐所得，三棱柱的

底面是一個(gè)兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4的直角三角形，高為5,截去的錐體的底面是兩直角邊

的邊長(zhǎng)分別為3和4的直角三角形，高為3,所以表面積為S=：X3X4+亨+室X4+

2+5

-7^X5+3X5=60.

G3平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線

15、已知R,〃表示兩條不同直線，。表示平面.下列說(shuō)法正確的是()

A.若m//a,n//a,則m//n

B.若a,〃Ua,則mVn

C.若0_La,mln,則n//a

D.若如〃a,mA.n,則〃_La

B［解析］B［解析］由題可知，若初〃。，nila,則勿與〃平行、相交或異面，所

以A錯(cuò)誤；若ml.a,nUa,則mLn,故B正確；若ml.a,ml,n,則n//a或nUa,故

C錯(cuò)誤.若小〃a,mLn,則n//a或?；颉ㄅca相交，故D錯(cuò)誤.

16、在平面四邊形/a?中，AB=BACgl,ABLBD,W_L必將△/切沿劭折起，使

得平面應(yīng)力，平面BCD,如圖1-5所示.

(1)求證：ABVCD-,

(2)若M為力〃中點(diǎn)，求直線成與平面，儂■所成角的正弦值.

圖1-5

解：⑴證明：,平面/切_L平面BCD,平面力劭Cl平面BCD=BD,ABU阡而ABD,ABLBD,

平面BCD.

又CDC.平面BCD,二ABI.CD.

(2)過(guò)點(diǎn)8在平面BCD內(nèi)作BELBD.

xC

由⑴知力從L平面BCD,龐仁平面BCD,劭U平面BCD,.\ABVBE,ABLBD.

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以詼BD,瓦1的方向?yàn)閤軸，tz軸的正方向建立空間直角

坐標(biāo)系(如圖所示).

依題意，得8(0,0,0),(7(1,1,0),〃(0,1,0),J(0,0,1),,(0,|

則詼=(1,1,0),防/=(0,1,9，9(0,1,-1).

設(shè)平面，儂7的法向量〃=(照，如2b),

〃員0,卜+f

財(cái)即411

?而=0,〔尹。+嚴(yán)＞=0，

取Zo=l,得平面，?如。的一個(gè)法向量〃=(1,—1,1).

設(shè)直線/〃與平面掰%所成角為0,

n,-I—|n,AD\A/6

則sin°=cos(n,AD)=1-o?

|n|?\AD3

、后

即直線力〃與平面明笫所成角的正弦值為手.

17、直三棱柱力必4AG中，/仇力=90°，機(jī)》分別是45,4G的中點(diǎn)，BC=CA=C￡,

則向/與4v所成角的余弦值為()

1B2「典M

105102

C［解析］如圖，￡為a1的中點(diǎn).由于MN分別是45,4G的中點(diǎn)，故也“〃5G且

MN=aB\C\,故助所以四邊形也愉為平行四邊形，所以球缺BM,所以直線4MMi

所成的角即為直線￡肌，4v所成的角.設(shè)勿=1,則凡井=：8M=半，所以MB=、11+［=雪

乙乙\/乙乙

=NE,AN=AE=^

655

-十

4-4-

平

在適中，根據(jù)余弦定理得cosZANE=亞-

2X-X

42

A

18、三棱錐力-靦及其側(cè)視圖、俯視圖如圖1-4所示.設(shè)弘N分別為線段/〃，AB

的中點(diǎn)，。為線段6c上的點(diǎn)，且MALAK

(1)證明：夕是線段況■的中點(diǎn)

(2)求二面角A-"的余弦值

解：⑴如圖所示，取劭的中點(diǎn)0,連接打，C0.

由側(cè)視圖及俯視圖知，AABD,ABC。為正三角形

所以40_1劭，0CVBD.

因?yàn)?0,勿C平面月第且40no6="

所以比〃_平面A0C.

又因?yàn)?CU平面［%,所以做_L4C

取8。的中點(diǎn)//,連接M/,PH.

又M,N,〃分別為線段/〃，AB,80的中點(diǎn)，所以也V〃劭，NH//A0,

因?yàn)?01_做所以八"18〃

因?yàn)镸NLNP,所以NPLBD.

因?yàn)榧?,A7七平面nNHCNP=N,所以8區(qū)L平面MK

又因?yàn)榉諧平面揚(yáng)0所以BDLHP.

又OC'BD,HPU平面BCD,(96U平面式》,所以HP〃0C

因?yàn)椤榧拥闹悬c(diǎn)，所以戶(hù)為外的中點(diǎn).

⑵方法一：如圖所示，作MU/C于。，連接版.

由⑴知，NP//AC,所以AQL死

因?yàn)橐訡LAP,所以乙啾。為二面角4-質(zhì)-材的一個(gè)平面角.

由(1)知，△4?，△靦為邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以4g3=小.

由俯視圖可知，40_L平面比〃

因?yàn)椤癤平面及加，所以力。_1_第因此在等腰直角中，4C=#.

作毗L/C于R

因?yàn)樵谥?，AB=BC,所以7?為〃1的中點(diǎn)，

所以/歷一尚=^2

因?yàn)樵谄矫?%7內(nèi)，AQUC,BR1AC,

所以NQ//BR.

又因?yàn)閂為46的中點(diǎn)，所以0為的中點(diǎn)，

口，BRJTo

所以附=5=芋.

同理，可得他上華.

故△助圖為等腰三角形，

所以在等腰△也囤中，

MNBD

,TTJ10

cosZ；mV=-=5-

故二面角A-AP-〃的余弦值是中6

□

方法二：由俯視圖及(1)可知，4。，平面比a

因?yàn)?C,OBU平面BCD,所以/O_L0GAOVOB.

又OCLOB,所以直線小，0B,少兩兩垂直.

如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以施，0C,處的方向?yàn)?軸，y軸，z軸的正方向，建立

空間直角坐標(biāo)系0-xyz.

則4(0,0,小),8(1,0,0),(7(0,y/3,0),〃(一1,0,0).

因?yàn)镸,、分別為線段46的中點(diǎn),

又由（1）知，?為線段延的中點(diǎn),

所以/（一：,0,平）ng°，平）也，乎，0）于是45=（1,0,一木）,BC=（―

1,小,o）f（1,o,o）,八片。，平

設(shè)平面力勿的一個(gè)法向量n=（小，yi,Zi）,

\n\A.AB,1/71?AB=0,

由得即

[n\LBC,0?BC=0,

(M,y\,zi),(1,0,一小)=0,

、(xi,yi,?)?(—1,小,0)=0,

TI~\/3ZI=0,

從而《廠

「xi+N3y=0.

取zi=l,則yi=1,所以〃i=1,1).

設(shè)平面助取的一個(gè)法向量〃2=(心必，Z2),由，

[z?2,jfcft—0,

得,

.m工NP,[nz?NP=0,

>2=0,

從而仍A/3

2/2-20-=0.

取Z2=l,則度=1,X2=0,所以"2=(0,1,1).

n?rh

設(shè)二面角A-NPM的大小為a,貝ijcoso

n\,|/?z

(#,1,1)?(0,1,1)_VTo

鄧X小—5,

故二面角力一照材的余弦值是手.

G4空間中的平行關(guān)系

19、如圖1-3,正方形陰儂"的邊長(zhǎng)為2,8,C分別為/機(jī)場(chǎng)的中點(diǎn).在五棱錐尸比場(chǎng)'

中，尸為棱用的中點(diǎn)，平面1跖與棱川，星分別交于點(diǎn)C,H.

⑴求證：AB//FG-,

(2)若陽(yáng)，底面應(yīng)，且為=力￡,求直線6c與平面力66所成角的大小，并求線段加

的長(zhǎng).

解：⑴證明：在正方形4位應(yīng)中，因?yàn)橄κ?V的中點(diǎn)，所以AB〃DE.

又因?yàn)?所平面PDE,

所以48〃平面PDE.

因?yàn)锳fc平面ABF,且平面AEFC平面PDE=FG,

所以四〃房

(2)因?yàn)?J_底面ABCDE,

所以為_(kāi)L4?,PALAE.

建立空間直角坐標(biāo)系力燈z,如圖所示，則力(0,0,0),6(1,0,0),C(2,1,0),P(0,

0,2),/(0,1,1),應(yīng)'=(1,1,0).

n?4&=0,fx=O,

〈即

[n-AF=O,L-

令z=l,則y=-1.所以A=(0,—1,1).

設(shè)直線歐與平面力以所成角為明則

JI

因此直線以與平面[跖所成角的大小為二.

6

設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)為(u,右面.

因?yàn)辄c(diǎn)〃在棱用上，所以可設(shè)94荒'(0〈4＜1).

即(u,v,ir-2)=A(2,1,—2),所以u(píng)=24,v=A,ir=2—2A.

因?yàn)閚是平面/帖的一個(gè)法向量，

所以〃?AH=O,

即(0,-1,1)?(24,A,2—24)=0,

解得"京所2以點(diǎn)〃的坐標(biāo)為,《4，23,2力、

20、如圖1-4,在棱長(zhǎng)為2的正方體/及力■484。中，E,F,M,N分別是棱4?,AD,

加以4。的中點(diǎn)，點(diǎn)80分別在棱陽(yáng)，曲上移動(dòng)，且分=砌=4(0＜，＜2).

(1)當(dāng)4=1時(shí)，證明：直線8G〃平面功圖

(2)是否存在八，使面舒陽(yáng)與面制勵(lì)V所成的二面角為直二面角？若存在，求出A的

值；若不存在，說(shuō)明理由.

解：方法一(幾何方法)：

(1)證明：如圖①，連接44,由46aA45G4是正方體，知6G〃｛氏

當(dāng)乂=1時(shí)，/是加的中點(diǎn)，又尸是49的中點(diǎn)，所以FP〃孫所以8G〃相

而77七平面且閱。平面￡7附，故直線8G〃平面環(huán))密

圖①圖②

4〃的中點(diǎn)，所以EF〃BD,旦EF=?D.

(2)如圖②，連接被因?yàn)榉碽分別是

又DP=BQ,DP//BQ,

所以四邊形匐劭是平行四邊形，故PQ〃BD,且PgBD,從而EF〃PQ,且母、=5以

在RtZ\￡80和Rt△九次中，因?yàn)锽Q=DP^A,BE=DF=1,

于是國(guó)=北/針，所以四邊形也是等腰梯形.

同理可證四邊形網(wǎng)腓也是等腰梯形.

分別取砒四，，楙的中點(diǎn)為〃，0,G,連接OH,0G,

則GO_LA。，IIOLPQ,而比。兒?=0,

故/G如是面)掰與面PQI邠所成的二面角的平面角.

若存在兒，使面iW與面尸QMV所成的二面角為直二面角，則/優(yōu)仁90°.

連接囪/,FN,則由小〃秘V,且物V知四邊形"加/是平行四邊形.

連接掰因?yàn)椤?，G是跖物V的中點(diǎn)，

所以G4班=2.

在△60/中，67/=4,M=l+乂一停|=1+看

用=1+(2-獷-闈2=&一獷+/

由南+加=朗，得(2—4)2+^+〃+[=4,解得4=1±平，

故存在"1土半,使面分制與面圖處所成的二面角為直二面角.

方法二(向量方法)：

以。為原點(diǎn)，射線〃4,DC,能分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖③所示的空間直角

坐標(biāo)系.由己知得6(2,2,0),6(0,2,2),￡(2,1,0),/(1,0,0),一(0,0,4).

圖③

反；=(一2,0,2),FP=(-1,0,4),FE=31,0).

(1)證明：當(dāng)4=1時(shí)，*(一1,0,1),

因?yàn)榈?(一2,0,2),

所以拓=2/，即6G〃陽(yáng)

而砒:平面iW,且比泣平面功留，故直線8G〃平面可乜

~FE*n=0,[x+尸0,

(2)設(shè)平面何0的一個(gè)法向量為A=(X,y,z),則由《可得

7^八一矛+A2

'卜P，n=0

于是可取A=(3一4，1).

同理可得平面網(wǎng)倒的一個(gè)法向量為皿=(4—2,2-4,1).

若存在兒，使面與面/媯V所成的二面角為直二面角，

則m,n—(4一2,2—A,1),(A,—A,1)=0,

即A(A—2)—A(2—A)+l=0,解得A=1

故存在4=1土牛，使面與面國(guó)郵所成的二面角為直二面角.

20、如圖1-3,四棱錐中，底面｛版為矩形，陽(yáng)，平面46切，后為切的中點(diǎn).

(1)證明：%〃平面/￡，；

(2)設(shè)二面角為60°,止=1,4?=餡，求三棱錐月力⑺的體積.

圖1-3

解：(1)證明：連接劭交〃1于點(diǎn)0,連接

因?yàn)?靦為矩形，所以。為劭的中點(diǎn).

又〃為陽(yáng)的中點(diǎn)，所以￡?！?yáng)

因?yàn)榉赐銎矫?比；陶平面/￡G

所以如〃平面AEC.

⑵因?yàn)锽LL平面力靦，ABCD為矩形,

所以46,AD,兩兩垂直.

如圖，以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,//的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，I箱為單位

長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,則〃(0,-\[i,0),彳0,乎,4￡=(o,坐，

設(shè)庾加0,0)(?>0),則以卬，木,0),充=5,小,0).

設(shè)m=(x,y,z)為平面力位的法向量,

口.AC=0,阿+4尸。,

則.

m,AE=0,

又m=(l,0,0)為平面的￡的法向量,

由題設(shè)易知Icos",n〉I=p即

六號(hào)，解得勿=/

111Q

因?yàn)?為陽(yáng)的中點(diǎn)，所以三棱錐盡力切的高為d三棱錐萬(wàn)力切的體積K=-X-X^SX-

乙3乙乙

1邛

X

2-

22、如圖1?3所示，在四棱柱力及力-43G〃中，底面/顆是等腰梯形，NDAB=60°,

48=2切=2,〃是線段46的中點(diǎn).

圖1-3

⑴求證：〃平面44如；

(2)若以垂直于平面4閱9且CM木,求平面G4"和平面"筋所成的角(銳角)的余

弦值.

解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅?靦是等腰梯形，

旦A片2CD,所以48〃DC,

又M是48的中點(diǎn)，

所以CD〃MA且CD=MA.

連接AIX.因?yàn)樵谒睦庵鵄BCD-464"中,

CD//CgCgCd3

所以G〃〃物J,C^=MA,

所以四邊形為平行四邊形，

因此:，CxM//[KA.

又平面A\ADD\,ZMu平面A\ADD\,

所以GM〃平面AxADDx.

(2)方法一：連接4G加：

由⑴知，CD//AMCgAM,

所以四邊形410為平行四邊形，

所以BC=AD=MC.

由題意的8=60°,

所以△劭笫為正三角形，

因此麴=28C=2,。=4,

因此CALCB.

設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

所以4(m,0,0),6(0,1,0),〃(0,0,小).

因此，償,0)，

所以該=卜坐，—

前產(chǎn)血=

設(shè)平面G4M的一個(gè)法向量〃=(x,y,z),

n,〃G=0,

由＜

z=0,

n?MD、=O,小

可得平面GZU/的一個(gè)法向量〃=(1,V3,1).

又近=(0,0,4)為平面4?切的一個(gè)法向量.

因此cos向,n)二")°J雪,

\CDA\n\5

所以平面G4M和平面1靦所成的角(銳角)的余弦值為W.

5

方法二：由(1)知，平面〃G/n平面力%=/區(qū)點(diǎn)過(guò)。向49引垂線交四于點(diǎn)北連接

DiN.

MN

由勿_L平面ABCD,可得樂(lè)NLAB,

因此NZUC1為二面角G-AB-。的平面角.

在Rt△物。中，6c=1,/&%=60°,

可得G三普，

所以物r而+罰=羋.

亞

CN2A/5

在RtZ\"GV中，cos/4舷'=7^=7==*,

D\N?155

2

、后

所以平面G4"和平面4砥9所成的角(銳角)的余弦值為券.

b

G5空間中的垂直關(guān)系

23、如圖1-6所示，四棱柱/靦-48￡〃的所有棱長(zhǎng)都相等，ACHBD=0,A\C\CRD\

=。，四邊形484和四邊形及M心均為矩形.

(1)證明：QO_L底面4a9

(2)若/的=60°,求二面角如如-2的余弦值.

解：⑴如圖(a),因?yàn)樗倪呅巍═M為矩形，所以CdC同理加，被

因?yàn)镃G〃如，所以CGJ_6〃而“n切=0,因此％U底面46az

由題設(shè)知，ao〃cc故底面49。

(2)方法一：如圖(a),過(guò)。作。憶如于〃，連接雨.

由(1)知，aoj_底面/四，所以ao,底面//co,于是aoj_4G.

圖(a)

又因?yàn)樗睦庵?及力的所有棱長(zhǎng)都相等，所以四邊形48G4是菱形，

因此4G_L54,從而4G_L平面即〃臺(tái)，所以4G_1,陽(yáng)，于是因_L平面。肉.

進(jìn)而故NGW是二面角G-/-〃的平面角.

不妨設(shè)46=2.因?yàn)?物=60°,所以位=小,OC=\,0&=近

00\,0\B\，而QG=1,于是QH=?Od+O\#=

在Rt/\OOB中，易知2-

0B、

1++19

r

lj__2y[57

皿O\H2

故cosZCiHOi=-=-

C1/7叵—19'

即二面角「。的余弦值為純Z

iy

方法二：因?yàn)樗睦庵?5-4月G4的所有棱長(zhǎng)都相等，所以四邊形/力是菱形，因此

如圖⑹，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,。。所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系。-燈z,不妨設(shè)46=2.因?yàn)?物=60°,所以08=木,OC=l,于是相關(guān)各點(diǎn)

的坐標(biāo)為伙0,0,0),

5(4,0,2),G(0,1,2).

易知，/7i=(0,1,0)是平面的一個(gè)法向量.

m?OR=0,/x+2z=0,

設(shè)〃2=(x,y,z)是平面如G的一個(gè)法向量，則<即

j+2z=0.

?CCi=O,

取z=->則x=2,y=2y/^f所以zt=(2,2*^3,—^3).

設(shè)二面角G-05-〃的大小為夕，易知8是銳角，于是

m?&2m2病

cos夕=|cos〈，〉|=/□/?/&/=4=19.

故二面角6-。6「。的余弦值為噂.

24、如圖1-6,四棱錐ABCD^,ABCD為矩形,平面為〃1平面

(1)求證：ABYPD.

(2)若NfiPC-90°,PB=@,PC=2,問(wèn)15為何值時(shí)，四棱錐一~/靦的體積最大？

并求此時(shí)平面加C與平面》&夾角的余弦值.

解：(1)證明：因?yàn)??切為矩形，所以4?，被

又平面為〃J_平面力%為，

平面PADH平面ABCD^AD,

所以ABL平面PAD,故ABLPD.

⑵過(guò)戶(hù)作力。的垂線，垂足為。，過(guò)。作外的垂線，垂足為G,連接產(chǎn)￡

故。CLL平面/1頗，6aL平面W,BC1PG.

在中，?變，陽(yáng)=羋.

J0O

4

設(shè)AB=m,則不一02,故四棱錐尸-4?徵的體積為

?J

——=為8—6/

O

因?yàn)橹?—6屆=yjS/n—&m—

所以當(dāng)w=乎，即四=平時(shí)，四棱錐。一相必的體積最大.

此時(shí)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為0(0,0,0),

8件一平,0),C件,平，°)，〃(°，攣°)‘尸卜，°，片,故的=

停學(xué)書(shū)"，/，°)，7邛，。，。)

設(shè)平面區(qū)外的一個(gè)法向量為m=(*,y,1),

則由〃」而/威得產(chǎn)科邛二乎二°'解得戶(hù)1,尸。，則II,。，1).

小y=0.

同理可求出平面勿(的一個(gè)法向量為m=(o,

a?加________1______

設(shè)平面倒與平面以仁的夾角為e,則cos

~n>In-1-「[i5'

25、如圖1-5所示，△?1%和△時(shí)所在平面互相垂直，旦AB=BC=BD=2,AABC=

NDBC=120°,E,尸分別為4G比,的中點(diǎn).

(1)求證：EFLBC；

(2)求二面角尾小。的正弦值.

圖1-5

解：(1)證明：方法一，過(guò)點(diǎn)￡?作"J_8C,垂足為0,連接孫:由△4及注△殞可證出

XEOCaXFOC,所以/或匕=/尸0，=弓-,SPFOLBC.XEOLBC,EOCFgO,所以6cL平面

EFO.又平面EFO,所以EFVBC.

A

方法二，由題意，以6為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面吹內(nèi)過(guò)6作垂直比的直線，并將其作為

x軸，6c所在直線為y軸，在平面46c內(nèi)過(guò)6作垂直比、的直線，并將其作為z軸，建立如

圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得8(0,0,0),J(0,-1,小),〃(木,-1,0),(7(0,2,

0),因而《(0,,A2'9,0)，所以旗=(210,—坐)，(0，2,0),因此旗?詼

=0,

從而電瓦?，所以距L8C

(2)方法一，在圖1中，過(guò)點(diǎn)。作OG1BF,垂足為G,連接EG.因?yàn)槠矫嫒肫矫鍮DC,

所以戊ZL面切C,又OG工BF,所以由三垂線定理知￡G_L6尸，

因此/反簿為二面角萬(wàn)冊(cè)C的平面角.

在△駐中，EO^EC^BC*cos30°=喙.

由△為GOs/XMC知，因此tanN氏簿=?=2,從而得sinN￡G0=今西,

DC4U(J0

即二面角￡於「的正弦值為汨后.

方法二，在圖2中，平面皮匕的一個(gè)法向量為功=(0,0,1).

設(shè)平面龐T7的法向量z?2=(x,y,z),

又瓦』(坐0),BE=(0,I，乎)，

Dz?BF=3l

所以，_得其中一個(gè)止=(L-也，1).

也?BE=Q,

設(shè)二面角自正。的大小為0,且由題知0為銳角，貝ljcos〃=|cosg心|=

m?m__1__

\nC\\n,\一洞

因此sin。=2=鼻匪，即所求二面角正弦值為尊.

弋555

26、如圖1-5,三棱柱48C-43G中，側(cè)面微GC為菱形，AB1B、C.

(1)證明：AC=ABi；

⑵若然J_仍，NC陽(yáng)=60：AB^BC,求二面角力-48-G的余弦值.

解：⑴證明：連接BQ,交6c于點(diǎn)0,連接A0,因?yàn)閭?cè)面即GC為菱形，所以BC

±BG,且。為8c及陽(yáng)的中點(diǎn).

又AB1BC所以6C_L平面卷0.

由于〃t平面4