多目標(biāo)決策分析之層次分析法

其次講多目標(biāo)決策分析一

——層次分析法多目標(biāo)決策分析在決策分析中，決策問(wèn)題要達(dá)到的目的稱為決策目標(biāo)，用數(shù)值表示決策方案實(shí)現(xiàn)某個(gè)目標(biāo)程度的標(biāo)準(zhǔn)和法則，稱為決策準(zhǔn)則。前面探討的問(wèn)題都只有一個(gè)決策目標(biāo)和一個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則（如收益最大、效用最大），屬單目標(biāo)、單準(zhǔn)則決策。 單目標(biāo)決策的關(guān)鍵：合理選擇決策準(zhǔn)則。實(shí)際問(wèn)題常常有多個(gè)決策目標(biāo)，每個(gè)目標(biāo)的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則往往也不是只有一個(gè)，而是多個(gè)—多目標(biāo)、多準(zhǔn)則決策問(wèn)題。§2.1多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系多目標(biāo)決策問(wèn)題的目標(biāo)往往相互聯(lián)系、相互制約，有的甚至相互沖突。在多目標(biāo)決策問(wèn)題中，有的目標(biāo)可以用一個(gè)或幾個(gè)決策準(zhǔn)則干脆進(jìn)行評(píng)價(jià)和比較，有的目標(biāo)則難以進(jìn)行干脆評(píng)價(jià)和比較。 如何解決這一問(wèn)題？通常將難以進(jìn)行干脆評(píng)價(jià)和比較的目標(biāo)分解為若干子目標(biāo)，直至這些子目標(biāo)能用一個(gè)或幾個(gè)決策準(zhǔn)則進(jìn)行評(píng)價(jià)和比較。例：某經(jīng)濟(jì)特區(qū)支配興建一個(gè)大型海港 港址的選擇須要綜合考慮經(jīng)濟(jì)、技術(shù)、環(huán)境以及社會(huì)四個(gè)方面。決策目標(biāo)有四個(gè)：經(jīng)濟(jì)、技術(shù)、環(huán)境、社會(huì) 這四個(gè)目標(biāo)均不能干脆用一個(gè)或幾個(gè)準(zhǔn)則進(jìn)行評(píng)價(jià)，要依據(jù)決策主體和實(shí)際狀況的要求，逐級(jí)分解為若干子目標(biāo)。如：經(jīng)濟(jì)目標(biāo)可以分解成干脆經(jīng)濟(jì)效益和間接經(jīng)濟(jì)效益兩個(gè)一級(jí)子目標(biāo)。干脆經(jīng)濟(jì)效益又可以接著分解為投資額、投資回收期和利稅總額等三個(gè)二級(jí)子目標(biāo)…海港港址經(jīng)濟(jì)技術(shù)環(huán)境社會(huì)干脆效益間接效益投資額投資回收期利稅總額海運(yùn)收益國(guó)際貿(mào)易收益國(guó)內(nèi)貿(mào)易收益航道海灘建筑運(yùn)行城市關(guān)系交通關(guān)系資源環(huán)保政策軍事……

……

……

§2.1多目標(biāo)決策的目標(biāo)準(zhǔn)則體系2.1.1目標(biāo)準(zhǔn)則體系的意義目標(biāo)準(zhǔn)則體系 指依據(jù)決策主體要求和實(shí)際狀況須要，對(duì)目標(biāo)經(jīng)過(guò)逐層分解形成的多層次結(jié)構(gòu)的子目標(biāo)系統(tǒng)。目標(biāo)準(zhǔn)則體系的最低一層子目標(biāo)可以用單一準(zhǔn)則進(jìn)行評(píng)價(jià)。多目標(biāo)決策問(wèn)題的關(guān)鍵就是合理地選擇和構(gòu)造目標(biāo)準(zhǔn)則體系。2.1.1目標(biāo)準(zhǔn)則體系的意義構(gòu)造目標(biāo)準(zhǔn)則體系應(yīng)留意的原則系統(tǒng)性原則 各子目標(biāo)要反映全部因素的整體影響，具有層次性和相關(guān)性?？杀刃栽瓌t 不同系統(tǒng)的橫向比較；同一系統(tǒng)的縱向動(dòng)態(tài)比較。可操作性原則 各子目標(biāo)含義明確，便于數(shù)據(jù)采集和計(jì)算。2.1.2目標(biāo)準(zhǔn)則體系的結(jié)構(gòu)1、單層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系 各個(gè)目標(biāo)都屬于同一層次，每個(gè)目標(biāo)無(wú)須分解就可以用單準(zhǔn)則給出定量評(píng)價(jià)。圖6-2單層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系總目標(biāo)目標(biāo)m目標(biāo)m-1目標(biāo)2目標(biāo)1……2.1.2

目標(biāo)準(zhǔn)則體系的結(jié)構(gòu)2、序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系目標(biāo)準(zhǔn)則體系的各個(gè)目標(biāo)，均可以按序列分解為若干個(gè)低一層次的子目標(biāo)；各子目標(biāo)又可以接著分解；這樣一層層按類(lèi)別有序地進(jìn)行分解，直到最低一層子目標(biāo)可以按某個(gè)準(zhǔn)則給出數(shù)量評(píng)價(jià)為止。特點(diǎn)：各子目標(biāo)可按序列關(guān)系分屬各類(lèi)目標(biāo)，不同類(lèi)別的目標(biāo)準(zhǔn)則之間不發(fā)生干脆聯(lián)系；每個(gè)子目標(biāo)均由相鄰上一層的某個(gè)目標(biāo)分解而成。2.1.2

目標(biāo)準(zhǔn)則體系的結(jié)構(gòu)3、非序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系某一層次的各子目標(biāo)，一般不單是由相鄰上一層次某子目標(biāo)分解而成，各子目標(biāo)也不能按序列關(guān)系分屬各類(lèi)；相鄰兩層次子目標(biāo)之間，僅按自身的屬性建立聯(lián)系，存在聯(lián)系的子目標(biāo)之間用實(shí)線連結(jié)，無(wú)實(shí)線連結(jié)的子目標(biāo)之間，不存在干脆聯(lián)系。3、非序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系G............c1c2cn-1cn…g11g12g1n-1g1n…最高層中間層準(zhǔn)則層…g21g22g1k-1g1k2.1.3評(píng)價(jià)準(zhǔn)則和效用函數(shù)在多目標(biāo)決策中，制定了目標(biāo)準(zhǔn)則體系后，不同的目標(biāo)通常用不同的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則衡量。問(wèn)題：如何從總體上給出方案對(duì)于目標(biāo)準(zhǔn)則體系中的全部目標(biāo)的滿足度？必需將不同度量單位的準(zhǔn)則，化為無(wú)量綱統(tǒng)一的數(shù)量標(biāo)度，并按特定的法則和邏輯過(guò)程進(jìn)行歸納與綜合，才能建立各可行方案之間具有可比性的數(shù)量關(guān)系。效用函數(shù)正是一種統(tǒng)一的數(shù)量標(biāo)度。2.1.3評(píng)價(jià)準(zhǔn)則和效用函數(shù)多目標(biāo)決策中，任何一個(gè)方案的效果均可以由目標(biāo)準(zhǔn)則體系的全部結(jié)果值所確定?？尚蟹桨冈诿恳粋€(gè)目標(biāo)準(zhǔn)則下，確定—個(gè)結(jié)果值，對(duì)目標(biāo)準(zhǔn)則體系，就得到一組結(jié)果值，并經(jīng)過(guò)各目標(biāo)準(zhǔn)則的效用函數(shù)，得出一組效用值。這樣，任何一個(gè)可行方案在總體上對(duì)決策主體的滿足度，可以通過(guò)這些效用值依據(jù)某種法則并合而得，滿足度是綜合評(píng)價(jià)可行方案的依據(jù)。2.1.4目標(biāo)準(zhǔn)則體系風(fēng)險(xiǎn)因素的處理單目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)型決策中，各備選方案看成是在整體上處于同一類(lèi)狀態(tài)空間的。多目標(biāo)決策中，風(fēng)險(xiǎn)因素可能只涉及某些目標(biāo)準(zhǔn)則，備選方案不宜在整體上視為處于同一類(lèi)狀態(tài)空間。多目標(biāo)決策的風(fēng)險(xiǎn)因素，應(yīng)當(dāng)在目標(biāo)準(zhǔn)則體系中對(duì)涉及風(fēng)險(xiǎn)因素的各子目標(biāo)分別加以處理。將風(fēng)險(xiǎn)型多目標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為確定型多目標(biāo)問(wèn)題?！?.2層次分析方法AHP方法是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家T.L.Saaty于20世紀(jì)70年頭提出的，AHP決策分析法是AnalyticHierarchyProcess的簡(jiǎn)稱。是一種定性與定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法。AHP決策分析法，能有效地分析非序列型多層次目標(biāo)準(zhǔn)則體系，是解決困難的非結(jié)構(gòu)化的經(jīng)濟(jì)決策問(wèn)題的重要方法，是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要方法之一。科研課題的綜合評(píng)價(jià)綜合評(píng)價(jià)科研課題成果貢獻(xiàn)人才培育可行性發(fā)展前景實(shí)用價(jià)值科技水平優(yōu)勢(shì)發(fā)揮難易程度研究周期財(cái)政支持經(jīng)濟(jì)效益社會(huì)效益2.2.1

AHP方法的基本原理首先要將問(wèn)題條理化、層次化，構(gòu)造出能夠反映系統(tǒng)本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系的遞階層次模型。1.遞階層次模型依據(jù)系統(tǒng)分析的結(jié)果，弄清系統(tǒng)與環(huán)境的關(guān)系，系統(tǒng)所包含的因素，因素之間的相互聯(lián)系和隸屬關(guān)系等。將具有共同屬性的元素歸并為一組，作為結(jié)構(gòu)模型的一個(gè)層次，同一層次的元素既對(duì)下一層次元素起著制約作用，同時(shí)又受到上一層次元素的制約。1.遞階層次模型 AHP的層次結(jié)構(gòu)既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般將層次分為三種類(lèi)型：最高層：只包含一個(gè)元素，表示決策分析的總目標(biāo)，也稱為總目標(biāo)層。中間層：包含若干層元素，表示實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)所涉及到的各子目標(biāo)，也稱為目標(biāo)層。最低層：表示實(shí)現(xiàn)各決策目標(biāo)的可行方案、措施等，也稱為方案層。1.遞階層次模型H............A1A2An-1An…G11G12G1n-1G1n…最高層中間層最低層…G21G22G1k-1G1k層次結(jié)構(gòu)圖1.遞階層次模型相鄰兩層元素之間的關(guān)系用直線標(biāo)明，稱之為作用線，元素之間不存在關(guān)系就沒(méi)有作用線。若某元素與相鄰下一層次的全部元素均有關(guān)系，則稱此元素與下一層次存在完全層次關(guān)系；假如某元素僅與相鄰下一層次的部分元素有關(guān)系，則稱為不完全層次關(guān)系。實(shí)際中，模型的層次不宜過(guò)多，每層元素一般不宜超過(guò)9個(gè)。目的：避開(kāi)模型中存在過(guò)多元素而使主觀推斷比較有困難。2.層次元素排序的特征向量法構(gòu)建了層次結(jié)構(gòu)模型，決策就轉(zhuǎn)化為待評(píng)方案（最低層）關(guān)于具有層次結(jié)構(gòu)的目標(biāo)準(zhǔn)則體系的排序問(wèn)題。AHP方法接受優(yōu)先權(quán)重作為區(qū)分方案的優(yōu)劣程度的指標(biāo)，優(yōu)先權(quán)重是一種相對(duì)度量數(shù)，表示方案相對(duì)優(yōu)劣程度，數(shù)值介于0－1之間，數(shù)值越大，方案越優(yōu)，反之越劣。方案層各方案關(guān)于目標(biāo)準(zhǔn)則體系整體的優(yōu)先權(quán)重，是通過(guò)遞階層次從下到上逐層計(jì)算的。這一過(guò)程稱為遞階層次權(quán)重解析過(guò)程。遞階層次權(quán)重解析過(guò)程(1)測(cè)算每一層次關(guān)于上一層次某元素的優(yōu)先權(quán)重（相鄰兩層次間的權(quán)重解析）方法： 構(gòu)造推斷矩陣； 計(jì)算推斷矩陣的最大特征值和特征向量； 以特征向量各重量表示該層次元素的優(yōu)先權(quán)重（？），得到層次單排序。(2)進(jìn)行組合加權(quán)，得到該層次元素對(duì)于相鄰上一層次整體的組合優(yōu)先權(quán)重—層次總排序(3)最終計(jì)算得到方案層各方案關(guān)于目標(biāo)準(zhǔn)則體系整體的優(yōu)先權(quán)重。物體測(cè)重問(wèn)題

設(shè)有m個(gè)物體，其重量分別為W1,W2,…,Wm（未知），為測(cè)出各物體的重量，現(xiàn)將每一物體的重量與其它物體的重量作兩兩比較，其重量比值構(gòu)成了一個(gè)m階方陣A物體測(cè)重問(wèn)題

記各物體重量組成的向量（未知）為

W＝(W1,W2,…,Wm)T有：由線性代數(shù)知：m是A的最大特征值，W是矩陣A屬于特征值m的特征向量。物體測(cè)重問(wèn)題的啟示若一組物體無(wú)法干脆測(cè)出其重量，但可以通過(guò)兩兩比較推斷，得到每對(duì)物體相對(duì)重量的推斷值，則可構(gòu)造推斷矩陣(A),求解推斷矩陣的最大特征值和向量對(duì)應(yīng)的特征向量，就可以得到這組物體的相對(duì)重量。類(lèi)似地，對(duì)于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和管理領(lǐng)域的決策問(wèn)題，可以通過(guò)建立層次結(jié)構(gòu)模型，在相鄰兩層次之間構(gòu)造兩兩元素比較的推斷矩陣，用特征向量法求出層次單排序，最終完成遞階層次解析過(guò)程。物體測(cè)重問(wèn)題的啟示從對(duì)物體測(cè)重問(wèn)題的分析中可以看出，推斷矩陣A的元素aij＞0(i,j=1,2,…,m)，且滿足以下條件：aii=1,i=1,2,…,maij=1/aji,i,j=1,2,…,maij=aik/ajk,i,j,k=1,2,…,m 滿足條件①~③的矩陣A稱為互反的一樣性正矩陣。3.互反正矩陣與一樣性矩陣定義1：設(shè)有矩陣A＝(aij)m×m（1）若aij≥0

(i,j=1,2,…,m)，則稱A為非負(fù)矩陣，記作A≥0；（2）若aij＞0

(i,j=1,2,…,m)，則稱A為正矩陣，記作A＞0。定義2：設(shè)有m維列向量X＝(x1,x2,…,xm)T（1）若xj≥0

(j=1,2,…,m)，則稱X為非負(fù)向量，記作X≥0；（2）若xj＞0

(j=1,2,…,m)，則稱X為正向量，記作X＞0。3.互反正矩陣與一樣性矩陣定理1：設(shè)有矩陣A＝(aij)m×m＞0，則：（1）A有最大特征值λmax，且λmax是單根，其余特征值的模均小于λmax

；（2）A的屬于λmax的特征向量X＞0；（3）λmax由下面的等式給出：其中：3.互反正矩陣與一樣性矩陣定義3：設(shè)有矩陣A＝(aij)m×m＞0，若A滿足：（1）aii=1,i=1,2,…,m（2）aij=1/aji,i,j=1,2,…,m 則稱A為互反正矩陣。定義4：設(shè)有矩陣A＝(aij)m×m＞0，若A滿足： aij=aik/ajk,i,j,k=1,2,…,m 則稱A為一樣性矩陣。一樣性矩陣的性質(zhì)一樣性正矩陣是互反正矩陣；若A是一樣性矩陣，則A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一樣性矩陣；A的每一行均為隨意指定一行的正整數(shù)倍；A的最大特征值λmax＝m，其余特征值為0；若A的屬于特征值λmax的特征向量為： X＝(x1,x2,…,xm)T 則：aij=xi/xj,i,j=1,2,…,m互反正矩陣的性質(zhì) 一樣性正矩陣是互反正矩陣，反之，互反正正矩陣不確定是一樣性矩陣。定理2：設(shè)A＝(aij)m×m是互反正矩陣，λmax是A的最大特征值，則λmax≥m。定理3：設(shè)A＝(aij)m×m是互反正矩陣，λ1，λ2，…，λm是A的特征值，則：定理4：互反正矩陣A是一樣性矩陣的充要條件是：λmax＝m2.2.2推斷矩陣1.推斷矩陣的構(gòu)造設(shè)m個(gè)元素(方案或目標(biāo))對(duì)某一準(zhǔn)則存在相對(duì)重要性，依據(jù)特定的標(biāo)度法則，第i個(gè)元素(i＝1，2，…，n)與其它元素兩兩比較推斷，其相對(duì)重要程度為aij(i,j＝1,2,…,n),這樣構(gòu)造的m階矩陣用以求解各元素關(guān)于某準(zhǔn)則的優(yōu)先權(quán)重，稱為權(quán)重解析推斷矩陣，簡(jiǎn)稱推斷矩陣，記作A=(aij)m×m構(gòu)造推斷矩陣的關(guān)鍵，在于設(shè)計(jì)一種特定的比較推斷兩元素相對(duì)重要程度的標(biāo)度法則，使得隨意兩元素相對(duì)重要程度有確定的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)。1—9標(biāo)度方法標(biāo)度定義含義1同樣重要兩元素對(duì)某屬性，一元素比另一元素同樣重要3稍微重要兩元素對(duì)某屬性，一元素比另一元素稍微重要5明顯重要兩元素對(duì)某屬性，一元素比另一元素明顯重要7強(qiáng)烈重要兩元素對(duì)某屬性，一元素比另一元素強(qiáng)烈重要9極端重要兩元素對(duì)某屬性，一元素比另一元素極端重要2、4、6、8相鄰標(biāo)度中值表示相鄰兩標(biāo)度之間折中時(shí)的標(biāo)度上列標(biāo)度倒數(shù)反比較元素i對(duì)元素j的標(biāo)度為aij，元素j對(duì)元素

i的標(biāo)度為1/aij2.推斷矩陣的一樣性檢驗(yàn)1—9標(biāo)度方法構(gòu)造的推斷矩陣A確定是互反正矩陣；但A不確定是一樣性矩陣，實(shí)際中，很難構(gòu)造出具有完全一樣性的矩陣；只有推斷矩陣A具有完全的一樣性時(shí)，才有唯一非零的最大特征值，其余特征值為0，層次單排序才能歸結(jié)為推斷矩陣A的最大特征值及其特征向量，才能用特征向量的各重量表示優(yōu)先權(quán)重。實(shí)際中，我們希望推斷矩陣具有滿足的一樣性，這樣計(jì)算出的層次單排序結(jié)果才合理。2.推斷矩陣的一樣性檢驗(yàn)推斷矩陣A是互反正矩陣，故λmax≥m；當(dāng)A是一樣性矩陣時(shí)：λmax＝m，且其余的特征值為0；A具有滿足的一樣性：λmax略大于m，其余的特征值接近于0；設(shè)λ1，λ2，…，λm是A的全部特征值，則： λ1＋λ2＋…＋λm＝tr(A)=m設(shè)λ1=λmax，則：2.推斷矩陣的一樣性檢驗(yàn)一般來(lái)說(shuō)，C.I越大，偏離一樣性越大，反之，偏離一樣性越小。此外，推斷矩陣的階數(shù)m越大，推斷的主觀因素造成的偏差越大，偏離一樣性也就越大。反之，偏離一樣性越小。當(dāng)階數(shù)m≤2時(shí)，C.I=0，推斷矩陣具有完全的一樣性。（1）推斷矩陣的一樣性指標(biāo)2.推斷矩陣的一樣性檢驗(yàn)（2）平均隨機(jī)一樣性指標(biāo)R.I：是足夠多個(gè)依據(jù)隨機(jī)發(fā)生的推斷矩陣計(jì)算的一樣性指標(biāo)的平均值（表6.15）。（3）一樣性比率C.R=C.I/R.I用一樣性比率C.R檢驗(yàn)推斷矩陣的一樣性，當(dāng)C.R越小時(shí)，推斷矩陣的一樣性越好。一般認(rèn)為，當(dāng)C.R≤0.1時(shí)，推斷矩陣符合滿足的一樣性標(biāo)準(zhǔn)，層次單排序的結(jié)果是可以接受的，否則，須要修正推斷矩陣，直到檢驗(yàn)通過(guò)。推斷矩陣一樣性檢驗(yàn)的步驟（2）查表6.15得到平均隨機(jī)一樣性指標(biāo)R.I（3）計(jì)算一樣性比率C.R=C.I/R.I 若C.R≤0.1，接受推斷矩陣； 否則，修改推斷矩陣。（1）求出推斷矩陣的一樣性指標(biāo)C.I3.推斷矩陣的求解構(gòu)造了推斷矩陣，就要求解出推斷矩陣的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，才能進(jìn)行一樣性檢驗(yàn)。由于推斷矩陣是決策者主觀推斷的定量描述（不精確），因此在求解時(shí)可接受簡(jiǎn)化計(jì)算的方法，求出近似解即可。簡(jiǎn)化計(jì)算的思路——一樣陣的任一列向量都是特征向量，一樣性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。3.推斷矩陣的求解1、和法——取列向量的算術(shù)平均將推斷矩陣A的元素按列作歸一化處理，得矩陣Q=(qij)m×m將Q的元素按行相加，得到向量α＝(α1,α2,…,αm)T

（三）推斷矩陣的求解1、和法——取列向量的算術(shù)平均對(duì)向量α作歸一化處理得特征向量W＝(w1,w2,…,wm)T

求最大特征值

②③即對(duì)矩陣Q各行求算術(shù)平均得特征向量W。列向量歸一化行算術(shù)平均精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010一樣性檢驗(yàn)：C.I＝0.005，R.I＝0.52，C.R＝0.01＜0.13.推斷矩陣的求解2、根法——取列向量的幾何平均計(jì)算推斷矩陣A的每一行元素之積計(jì)算Mi的m次方根得到向量α＝(α1,α2,…,αm)T

（三）推斷矩陣的求解2、根法——取列向量的幾何平均對(duì)向量α作歸一化處理得特征向量W＝(w1,w2,…,wm)T

求最大特征值

每行元素之積歸一化一樣性檢驗(yàn)：C.I＝0.0055，R.I＝0.52，C.R＝0.011＜0.1三次方根3.推斷矩陣的求解3、冪法——逐步迭代的方法 經(jīng)過(guò)若干次迭代計(jì)算，依據(jù)規(guī)定的精度，求出推斷矩陣A的最大特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量。冪法是依據(jù)下面的定理提出的。定理：設(shè)矩陣A＝(aij)m×m>0，則：其中：W是A的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，C為常數(shù)，向量e＝(1,1,…,1)T3、冪法——步驟1）任取初始正向量W(0),k=0，設(shè)置精度2）計(jì)算3）歸一化5）計(jì)算4）若3.推斷矩陣的求解停止；否則，k=k+1,轉(zhuǎn)2）3.推斷矩陣的求解 為了克服隨著推斷矩陣階數(shù)的增加而產(chǎn)生精確求解最大特征值的困難，還可其他近似方法確定方案的權(quán)重。問(wèn)題：對(duì)一樣陣A＝(aij)m×m>0,其權(quán)向量為W=(w1,…,wm)T，則應(yīng)有：aij=wi/wj 實(shí)際中A不確定是一樣陣,對(duì)于正互反矩陣，在求解權(quán)向量時(shí)，應(yīng)選權(quán)向量W使wi/wj與aij相差盡量小（對(duì)全部i，j）。3.推斷矩陣的求解最小二乘法（LSM）：對(duì)正互反矩陣，通過(guò)下列最優(yōu)化問(wèn)題導(dǎo)出排序向量的方法稱為最小二乘法。這是一個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題。3.推斷矩陣的求解對(duì)數(shù)最小二乘法（LLSM）：對(duì)正互反矩陣，通過(guò)下列最優(yōu)化問(wèn)題導(dǎo)出的排序向量的方法稱為對(duì)數(shù)最小二乘法。目標(biāo)函數(shù)關(guān)于lnwi是線性的，該方法結(jié)果與根法相同。3.推斷矩陣的求解梯度特征向量法（GEM）：設(shè)正互反推斷矩陣為A，其偽（擬）互反矩陣為由下面的遞推公式導(dǎo)出排序向量的方法稱為梯度特征向量法。其中：3.推斷矩陣的求解最小偏差法（LDM）：對(duì)正互反矩陣，由下列最優(yōu)化問(wèn)題導(dǎo)出的排序向量的方法稱為最小偏差法。F(w)有唯一的微小點(diǎn)w*，且w*是下列方程組的唯一解：3.推斷矩陣的求解目標(biāo)規(guī)劃法(LGP)：目標(biāo)規(guī)劃法是由Brynon提出的，Brynon考慮了人們相識(shí)的差異性，通過(guò)引進(jìn)正、負(fù)偏差變量，建立推斷矩陣的元素與權(quán)重的關(guān)系：3.推斷矩陣的求解目標(biāo)規(guī)劃法(LGP)

通過(guò)求解下面優(yōu)化模型，確定方案的權(quán)重。2.2.3遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程 探討用AHP方法對(duì)一般非序列型目標(biāo)準(zhǔn)則體系問(wèn)題進(jìn)行決策。G總目標(biāo)n層子目標(biāo)準(zhǔn)則層方案層2.2.3遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程遞階權(quán)重解析：AHP方法的目的，在于求出各方案對(duì)總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重，求解過(guò)程從上到下，在相鄰層次之間逐層進(jìn)行，故稱為遞階權(quán)重解析。留意：不完全層次關(guān)系 如：方案ai與準(zhǔn)則cj不存在關(guān)系，構(gòu)造方案層對(duì)準(zhǔn)則cj的推斷矩陣時(shí)，應(yīng)將方案ai除外，得到m－1階矩陣，解得m－1維特征向量，再將方案ai關(guān)于準(zhǔn)則cj的權(quán)重0補(bǔ)進(jìn)去，得到m維特征向量。完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層全部元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)第3層對(duì)第2層權(quán)向量：w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T貢獻(xiàn)O教學(xué)C1科研C2P2

P1P3P4例:評(píng)價(jià)老師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)P1,P2只作教學(xué),P4只作科研,P3兼作教學(xué)、科研。C1,C2支配元素的數(shù)目不等2.2.3遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程1.遞階權(quán)重解析公式首先，探討相鄰兩層次間的權(quán)重解析。 設(shè)已計(jì)算第k-1層子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)G的組合優(yōu)先權(quán)重向量為： W(k-1)=(w1(k-1),w2(k-1),…,wnk-1(k-1))T 第k層子目標(biāo)的個(gè)元素對(duì)以第k-1層的第j個(gè)元素為準(zhǔn)則的優(yōu)先權(quán)重向量為： Pj(k)=(p1j(k),p2j(k),…,pnkj(k))T令： P(k)=(p1(k),p2(k),…,pnk-1(k))T P(k)是第k層子目標(biāo)nk個(gè)元素關(guān)于第k-1層nk-1個(gè)元素的優(yōu)先權(quán)重向量構(gòu)成的nk×nk-1矩陣。6.5.3遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程1.遞階權(quán)重解析公式首先，探討相鄰兩層次間的權(quán)重解析。 則第k層子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)G的組合優(yōu)先權(quán)重向量為： W(k)=(w1(k),w2(k),…,wnk(k))T 其中：6.5.3遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程1.遞階權(quán)重解析公式其次，用公式將遞階權(quán)重解析過(guò)程表示出來(lái)，給出方案層關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向量。W

(1)：表示第一層子目標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)先權(quán)重向量；P(k)=(p1(k)

,p2(k)

,

…,pnk-1(k))T

：表示第k層子目標(biāo) 關(guān)于第k-1層各元素的優(yōu)先權(quán)重向量，k=2,…,n；6.5.3遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程P(c)=(p1(c),p2(c),…,ps(c))T：表示準(zhǔn)則層s個(gè)準(zhǔn)則 關(guān)于第n層nn個(gè)子目標(biāo)的優(yōu)先權(quán)重向量；P(a)=(p1(a),p2(a),…,ps(a))T：表示方案層m個(gè)方 案關(guān)于準(zhǔn)則層s個(gè)準(zhǔn)則的優(yōu)先權(quán)重向量；最終，計(jì)算方案層各方案關(guān)于總目標(biāo)G的優(yōu)

先權(quán)重

。這個(gè)優(yōu)先權(quán)重記為： W(a)=(w1(a),w2(a),…,wm(a))T計(jì)算公式為：2.2.3遞階層次結(jié)構(gòu)權(quán)重解析過(guò)程2.AHP方法的基本步驟（總結(jié)）建立層次結(jié)構(gòu)模型 將目標(biāo)準(zhǔn)則體系所包含的因素劃分為不同層次，如目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、方案層等，構(gòu)建遞階層次結(jié)構(gòu)模型。構(gòu)造推斷矩陣 依據(jù)層次結(jié)構(gòu)模型，從上到下逐層構(gòu)造推斷矩陣。層次單排序及其一樣性檢驗(yàn) 依據(jù)實(shí)際狀況，用不同方法求解推斷矩陣最大特征值相對(duì)應(yīng)的特征向量，經(jīng)過(guò)歸一化處理，即得層次單排序權(quán)重向量。2.

AHP方法的基本步驟（總結(jié)）層次總排序及其一