導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 徐富星

導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2007屆徐富星指導(dǎo)老師：馬老師摘要：導(dǎo)數(shù)是從生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的需要中產(chǎn)生的，同時(shí)，又促進(jìn)了生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的發(fā)展，它不僅在天文、物理、工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，而且在日常生活及經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域也是逐漸顯示出重要的作業(yè)。關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；實(shí)際生活；最大值、最小值問(wèn)題；利潤(rùn)最大Abstract:Aderivativeisoutofproductiontechnologyandscienceneedsofproduction,andpromoteproductiontechnologyandsciencehasdeveloped,itisnotonlyinastronomyandphysicsandengineering,andhavewideapplicationinourdailylifeandtheeconomicsphereisalsobeginningtoshowimportantrole.Keywords:Derivative;Actuallife;Problemonmaximumandminimum;Profitsmaximizstion導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，是聯(lián)系初、高等數(shù)學(xué)的紐帶，它的引入為解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了新的視野，是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、探求函數(shù)的極值最值、求曲線的斜率和解決一些物理問(wèn)題等等的有力工具。導(dǎo)數(shù)知識(shí)是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，它是從生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的需要中產(chǎn)生的，同時(shí)，又促進(jìn)了生產(chǎn)技術(shù)和自然科學(xué)的發(fā)展，它不僅在天文、物理、工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及實(shí)際生活中，也經(jīng)常會(huì)遇到如何才能使“選址最佳”“用料最省”“流量最大”“效率最高”等優(yōu)化問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上就是最大值、最小值問(wèn)題，一般都可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)得到解決。接下來(lái)就導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用略微討論。1,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值解讀函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論的問(wèn)題，是一個(gè)局部概念，函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有極值。函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則F'(x)二0是x是極值點(diǎn)的必要不充分000條件，但導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能是極值點(diǎn)。最大值、最小值是函數(shù)對(duì)整個(gè)定義域而言的,是整體范圍內(nèi)討論的問(wèn)題,是一個(gè)整體性的概念，函數(shù)的最大值、最小值最多各有一個(gè)。函數(shù)最值在極值點(diǎn)處或區(qū)間的斷點(diǎn)處取得。2,導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用解讀生活中的優(yōu)化問(wèn)題：根據(jù)實(shí)際意義建立好目標(biāo)函數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。例1：在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？思路：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為xcm，則箱高h(yuǎn)= _cm，得箱子容積V是箱底邊長(zhǎng)x2的函數(shù)：r(x)=x2h=60 (0<x<60)，從求得的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，箱子的高恰2好是原正方形邊長(zhǎng)的1，這個(gè)結(jié)論是否具有一般性？6變式：從一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮的各角截去相等的方塊，把各邊折起來(lái),做一個(gè)無(wú)蓋的箱子，箱子的高是這個(gè)正方形邊長(zhǎng)的幾分之幾時(shí)，箱子容積最大？提示：V(x)=x(a-2x》(0<x<)答案：x=a。6評(píng)注：這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題，建立的目標(biāo)函數(shù)是三次函數(shù)，用過(guò)去的知識(shí)求其最值往往沒(méi)有一般方法，即使能求出，也要涉及到較高的技能技巧。而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，求三次目標(biāo)函數(shù)的最值就變得非常簡(jiǎn)單，對(duì)于實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題，如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)，簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，簡(jiǎn)單的無(wú)理函數(shù)，簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，或它們的復(fù)合函數(shù)，均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值?？梢?jiàn)，導(dǎo)數(shù)的引入，大大拓展了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用空間。例2：請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是測(cè)棱唱為3m的正六棱錐（如圖所示）。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)o到底面中心o的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？1解：設(shè)oo為xm，則1<x<41有題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為：耳''32-（x-1）2=J8+2x-x2,故底面正六變形的面積為：6?鼻3-（卞8+2x一x2）2=仝3-（8+2x一x2），（單位：m2）4 2帳篷的體積為:V(x)二￥(8+2X-x2)[1(x-1)+1]二￡(16+12x-x3)(單位：m3)J3求導(dǎo)得V'(x)二 (12-3x2)。2令V'(x)=0，解得x=-2(不合題意，舍去)，x二2,當(dāng)1vx<2時(shí)，V'(x)>0,V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2<x<4時(shí)，V'(x)<0，V(x)為減函數(shù)。???當(dāng)x二2時(shí)，V(x)最大。答：當(dāng)oo為2m時(shí)，帳篷的體積最大，最大體積為16\/3m3。1點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。例3：已知某商品生產(chǎn)成本C與常量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式p=25-丄q。求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤(rùn)L最大。8分析：利潤(rùn)L等于收入R減去成本C,而收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格。由此可得出利潤(rùn)L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)。( 1\ 1解：收入R二q-p二q25--q二25q-一q2I 8丿 8利U潤(rùn)L二R-C=(25q-1q2]—(100+4q)I8丿=-—q2+21q-100(0<q<200)8L=-1q+214令L=0卩-￡q+21=0求得唯一的極值點(diǎn)q=84因?yàn)長(zhǎng)只有一個(gè)極值點(diǎn)，所以它是最大值。答：產(chǎn)量為84時(shí)，利潤(rùn)L最大。點(diǎn)評(píng)：上題主要也是考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值的基礎(chǔ)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決利潤(rùn)問(wèn)題，在實(shí)際生活中應(yīng)用也很廣泛。例4：煙囪向其周?chē)貐^(qū)散落煙塵而污染環(huán)境。已知落在底面某處的煙塵濃度與該處至煙囪距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比，現(xiàn)有兩座煙囪相距20km，其中一座煙囪噴出的煙塵量是另一座的8倍，試求出兩座煙囪連線上的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的煙塵濃度最小。解：不失一般性，設(shè)煙囪A的煙塵量為1,則煙囪B的煙塵量為8.并設(shè)AC=x(0<x<20) ???CB二20-x,k8k于是點(diǎn)C的煙塵濃度為：y=—+ 8k (0<x<20),x2(20-x)2其中k為比例系數(shù)。2k 16k 丫2(9x3-60x2+1200x一8000)則y'二一 + 二k?-x3(20一x)3 x3(20一x)3令y'=0，有9x3-60x2+1200x一8000=0,即（3x一20）（3x2+400）=0。20解得在（0，20）內(nèi)惟一駐點(diǎn)x=-。3由于煙塵濃度的最小值客觀上存在，并在（0，20）內(nèi)取得2020???在惟一駐點(diǎn)x=丁處，濃度y最小，即在AB間距A處了km處的煙塵濃度最小。

例5：在甲、乙兩工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠的河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問(wèn)供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最?。?0 兀解：設(shè)ZBCD=Q，則BC=——，CD二40cot9，(0<0<_)，sin9 2■…AC二50-40cot9設(shè)總的水管費(fèi)用為f(9)，依題意，有f(9)=3af(9)=3a(50—40-cot9)+5a-40=150a+40a-5一3cos9

sin9f'(9)=40a-(5一3cot9)'-sin9一(5一3cos9)-(sin9)'sin29=40a-3一5cos9sin293令f'(9)=0，得cos9=—3根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，當(dāng)cos9=3時(shí)，函數(shù)取得最小值,5? 3此時(shí)sin9=—，…cot9=—4…AC=50-40cot9=20(km)，即供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)最省。點(diǎn)評(píng)：上兩個(gè)例子同樣利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，在實(shí)際問(wèn)題中求出最恰當(dāng)?shù)胤?。?：統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車(chē)的勻速行駛中每小時(shí)的耗油量為y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為：13y= X3-x+8 (0<x<120)。已知甲、乙兩地相距100千米。12800080當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？(2)當(dāng)汽車(chē)以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解：(1)當(dāng)X=40時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了100=2.5小時(shí)，4013要耗油( x403- x40+8)x2.5=17.5(升)。12800080答：當(dāng)汽車(chē)以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了型小時(shí)，設(shè)耗油x為h(x)依題意：h(x)=(1 x3—2x+8)-型=-^x2+800-15(0<x<120)128000 80 x1280x4(0<x<120).x800x3-803h(0<x<120).640x2 640x2令h'(x)=0，得x二80。當(dāng)xe(0,80)時(shí)，h'(x)<0，h(x)是減函數(shù)；當(dāng)xe(80,120)時(shí)，h'(x)>0，h(x)是增函數(shù)。'當(dāng)x二80時(shí)，h(x)取到極小值h(80)=11.25。因?yàn)閔(x)在(0,120］上只有一個(gè)極值，所以它是最小值。答：當(dāng)汽車(chē)以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。點(diǎn)評(píng)：以導(dǎo)數(shù)知識(shí)為工具研究函數(shù)單調(diào)性對(duì)函數(shù)單調(diào)性