2020屆高考數(shù)學(理)一輪必刷題 專題44 空間向量及其運算和空間位置關系

，知，11122，知，11122考44空向及運和間置系北省示范性中屆三聯(lián)考數(shù)學理）在四棱柱

BCD1

中，BAD9060ADCD，平面，1

BBAB21

．（1）證明：

BD

；（2）求BC與面BC11

所成角的正弦值．【答案）解析；（2）

210535

【解析】（1）證明：＝CD，∴∠＝∠DCA又∠＝∠BCD∴∠BAC＝∠，∴AB＝，∴△ABD，∴∠，∴△AOD≌△，∴∠COD，∴AC⊥BD，又因為平1

ABCD

，所以

ACBB，BD11

所以

平面D，因為

BD平BB，以AC1

（2）以

，的交點

O

為原點，過O作行

的直線為z，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz

，由（1）及

BBAB2BB,0,，C,

，所以

BC1

13,2

B

設平面

BC的向量為nz1

，由

11D1

13xy，得2，所以，令得

n

31,,3

設BC與平面BD所的角為，則sin11

cos

3323

省屆三4份調研考試數(shù)學理知棱錐，4，AC.

ABCD

中PA面

ABCD

AD//BC，（1）當AP變時，點到面PAB的離是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（2）當直線PB與面

ABCD

所成的角為45°時，求二面角

的余弦值.【答案】(1)見解析

1919【解析）

，

，

知

BC

，則

，由PA

ABCD

，

面

ABCD

得

，由AB，PA，AB面，則

面，點

到平面的離為一個定值，

（2）由ABCD，AB為平面ABCD上射影，則PBA直線PB平面ABCD

所成的角，則PBA

，所以

由

AD/

，

得，直線、、AP兩垂直，因此，以點y1122y1122為坐標原點，以AB、AD、AP所的直線分別為軸軸z軸立如圖所示的空間直角坐標系，易得

，于是

，

DC

，設平面PDC的向量為z1

，則

nDP，即n1

zy

，取，y

，

，于是

1

；顯然

PAD的個法向量，2于是，

ncos21

1

分析知二面角

的余弦值為

古和浩特市2019高三年級第二次質量普查調研考試如圖所示的幾何體中邊形

ABCD是菱形，ADNM是形，60AD，AM，ME

2，為的點（1）平面ADNM面ABCD（2）在線段AM上否存在點P，二面角PECD在，請說明理由.【答案）解析）

的大小為

？若存在，求出的長度；若存【解析）明：由題意知，四邊形ADMN為形，所AMAD，又∵四邊形

ABCD

為菱形，E為AB中，所以AM，，ME

2，所22，以AE，又，所以面ABCD，AM平面ADNM，所以平面面ADNM（2）假設線段AM上在點P，使二面角

ECD

的大小為

，在AM上一點連接由于四邊形

是菱形，且DAB

，E是中點，可得.又四邊形是矩形，平面

ADNM

平面

，∴

DN

平面

，所以建立如圖所示的空間直角坐標系

D則

D

3,0,0

，則

，

EP

，設平面PEC的法向量為nz1

，則

cEn1n1

y，∴，令y3，

，又平面

DEC

的法向量

2所以

cos1

nn1nn1

37h

32

，解得h，所以在線段AM上在點，使二面角

ECD

7的大小為，此時7烏木齊市屆三第二次診斷性測試數(shù)學理圖在四棱錐

ABCD

中底面

ABCD

是菱形，PA面

ABCD

，且

，點E，F(xiàn)別是AD和PB中點（Ⅰ）求證EF//平；（Ⅱ）求二面角EF

的余弦值【答案）見解析）

25

22212221【解析】（Ⅰ）如圖，取PA的點，連結EM，，/AB//，EM//PD

∴平面

EFM

平面

PCD

，∴

EF

平面

PCD

；（Ⅱ）以

的中點

O

為坐標原點，

OC

為x軸，

OD

為軸建立空間直角坐標系，不妨設則，得

B0,，

，

1,2

1,2

131得BE,BF,設平面的法向量為y,z，同理可得平面法向量為n1,3,6，

，得

3,1,23，∴

cos

n1n1

235

，∴二面角

的余弦值為

3

南省六市2019屆三第二次聯(lián)考數(shù)學理）如圖，四棱錐PABCD，//

，ABCD

，為等邊三角形，平面面

ABCD

，為PB中求證：AQ平面；求二面角的余弦值【答案）解析）【解析】

14（1）證明：因為所以ABBC，

AB

，又平面PAB面

ABCD

，且平面平面

ABCD

，所以平.又

平面，所以

BCAQ

，因為Q中，且PAB為邊三角形，所以又

B

，所以AQ平面PBC（2）取中為

O

，連接

PO

，因為PAB為邊三角形，所以PO因為平面面，所以PO面ABCD，所以POOD，

ABCD，ABC

，可知

OD/

，所以

OD

以AB中點

O

為坐標原點，分別以

OA

，OD，

所在直線為x，，

軸，建立如圖所示的空間直角坐標系

Oxyz

所以

，

D

，

3

，所以

DP，

CD

，由（）知，

AQ為面的法向量，因為Q的點，所以所以

3，AQ，設平面

PCD

的法向量為

z

，由

nn

，得

23z

，取，

0,所以

AQ,

AQAQ

2

3

14

因為二面角D鈍角，所以，二面角B余弦值為

14

津市十二重中學屆三下學期畢業(yè)班聯(lián)考二理）如圖所示，在多面體ABCDEF中四邊形ABCD

為平行四邊形，平面平面CDEF

，ADE

，

DE/CF

，

CDDE

，DEDC

4

，點

是棱

CF

上的動點.（Ⅰ）當CG時，求證EG//平ABF；（Ⅱ）求直線BE與面

ABCD

所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角

GAED

22所成角的余弦值為，線CG的11【答案）解析）

3

）3

【解析】（Ⅰ）由已知得

CG//DE

且

CG

，則邊形

為平行四邊形

CD/四邊形為平行四邊形

/

/又平面ABF，AB

平面ABF

EG/

平面（Ⅱ）過點

作

AODE

交DE于點

O

，過點

O

作

OK/CD

交

CF

于點K平面ADE平面，面面CDEFE

ADE

平面CDEFAO面ADE以

O

為原點建立如圖的空間直角坐標系則

，

設平面ABCD的法向量為

m

，

DC

，

DA0,1,

，即令

y，

,1又

3ABCD直線與面

mBE所成角的正弦值為

m

38（Ⅲ）

CG

，

≤1

G

1,設平面的向量為

z3

pp

，即x4

，令

z3，x,3,2又可取平面AED的向量

,q

6262解得

143

CGCF

CG東省湛江市2019年普通高考測試二理）三棱錐

A

中，底面

BCD

是等腰直角三角形，2,，且

CD,為CD中，如圖.（1）求證：平面

平面

BCD

；（2）若二面角

ACD

的大小為

，求與面

所成角的正弦值【答案）證明）【解析】

427（1）證明：

BCD

是等腰直角三角形，

BCBD

為

CD

中點，BOCDCD,ABBO面ABOCD面BCD,平面面BCD（2）CD面CDAOAOB為二面角A的面角，BO,ABO等邊三角形，以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標，

則

A,,

,D22222222221136BC,,設平面的法向量

z

，則

BA0,

16xyz即22取

6,設AD與面

所成角為

，則

n,

327

427故AD平

所成角的正弦值為

津市部分區(qū)2019年高三質量調查試題二數(shù)學理）如圖DC⊥平面ABCEB，，、Q分別為，的點

EB/

，(1)證明：平面.(2)求異面直線

與所角的余弦值；(3)求平面ACD與面所銳二面角的大小?！敬鸢浮?1)見證明

105

45【解析）明：因為,Q分是AE的點，所以，

BE

，又

BE

，所以，

DC

，

PQ

平面

ACD

，DC平ACD所以，平面（2）因為

DC

平面

ABC90以點

C

為坐標原點，分別以C,CA的向為

,y,

軸的正方向建立空間直角坐標則得

，所以

AB

，所以

ABDE

ABAB

105

，所以異面直線與DE所成角的余弦值

（3）由（Ⅱ）可知

AB

，設平面的向量為

nyz，ny

由已知可得平面

ACD

的法向量為以

，所以

cosBC

nnBC

22

故所求平面

ACD

與平面ABE所銳二面角的大小為

45

肅省蘭州市2019屆高三實戰(zhàn)模擬考試二診數(shù)學理）如圖所示，三錐

SABC

中，平面

平面

，平面AC平

，D，

分別是

和

邊上的點，且DEAB，

，

3，，AC，

，F(xiàn)為

的中點（1）求證：

DE/

平面

SAF

；（2）求直線SC與面

所成角的正弦值.【答案】(1)見證明【解析】

（1）平面

平面

，平面

SAC

平面

，平面

SAC

平面

則面ABC，又DEAB，

ADE因為

3，DE，

ADE

，所以2，

AED

，在

中，，2，

由余弦定理可得：

EC

AEcosAEC解得：

所以AE

AC

，所以

是直角三角形，又為

的中點，所以

AF

EF又

60

，所以為等邊三角形，所以

，所以

DE//

，又AF平，DE平面，所以DE//平SAF（2）由1可知

DAF

，以點為原點，以，AF，在直線分別為x軸軸軸22立空間直角坐標系，則

，D，E3,1,0，

3,3,0

所以

SD

，3,1,，SC

設

,z

為平面SDE法向量，則，即n

xzx設

，則y0，，平面

的一個法向量為所以cos，

SC

nn

32177164所以直線

與平面

所成角的正弦值為

谷區(qū)屆三第二學期3月量監(jiān)控試題數(shù)學理錐

ABCD

中

ABCD為矩形，面

ABCD

，E為上一點，PB//

平面；求證：E為的點求證：設二面角DAE為，AP，AD

3，長【答案）解析）見解析）【解析】

（1）連BD交

于O點，連結

OE

，因為

PB//

平面

，PB平面PBD平面PBD面

AECOE

，∴PB//OE，∵為BD中，∴E為PD中.，即，即（2）∵⊥平面ABCDCD平面，∴PACD，∵底面ABCD是形，∴CD⊥，又AD＝A，∴CD⊥平面，又AE平面PAD∴CD⊥AE（3）以A為點，以，AD，為標軸建立空間坐標系如圖所示，1設＝a，則（0，00（a，，（，，（0，01（，，∴，，AE

（0

，

（，0，1顯然

（10，）為平面的個法向量，設平面的向量為

（x，y，

3y22

，令z3得n

，﹣13∵二面角D﹣﹣為，∴

，＝

m

2，2解得a

3，即．211北省張家口市、滄州市2019屆三3月考數(shù)學A理）如圖，在三棱臺ABC﹣BC中底面11邊長為2的邊三角形上下面的面積之比為側AABB⊥面ABC并AA＝A，11∠B＝90°1（1）平面CB平ABCl證明AC∥l；111（2）求平面CB與面所成二面角的正弦值．1【答案）解析）

【解析）明：在三棱臺ABCABC中，可得C∥，1111且AC平，AC平面ABC1所以AC∥面，11又AC平1

C，面∩平ABCl111所以AC∥l11（2）根據(jù)題意，以的點為原點，AB為軸，y軸建立空間直角坐標系﹣，如圖所示．11222121131122212113由于

ABAAAAB11

，∴

3(1,0,0),則

1

33

3,2

設平面

AC1

的法向量為x,,z，則

3

，即

xx3y

，令，

3,

，∴

n

33由題意知，平面法向量為m(0,0,1)

．∴

mm,n|

3，∴sin,n

mn

．即平面A與面所二面角的正弦值為1

．南省益陽市2019屆三4月模擬考試數(shù)學理）四錐中，平面PCD面，四邊形ABCD為矩形，AB4，AD，PAB90

（1）求證：PD面

ABCD

；（2）若直線與面所角的正弦值為【答案）證明）

310

，求二面角

的余弦值.【解析）為平面

PCD

平面

ABCD

，且

所以BC面，所以PD又因為PA，AB，所以AB面PAD，以AB.又因為

PDBC

，所以PD面ABCD.（2）以為點，DA，，DC方分別為軸，軸，

軸正方向建立如圖空間直角坐標作DE，連接BE，因為平面面，所以DE面，DBE即直線與面PAB成的角，故

23，所以DE.Rt

中，令

PD

，則x

2

，解得

，故

A

設平面

的一個法向量為

m

，則

mm

，,y,y所以

，可取

m

又因為平面PAD的個法向量為

DC

，故

cosmDC

124141

綜合圖形可知，所求二面角的余弦值為西省寶雞市2019屆考模擬測三數(shù)學理）如圖所示的多面體中，

ABCD

是菱形，BDEF

是矩形，DE面

ABCD

，

BAD

3

，

3.；（1）求證：平面面CEF（2）在線段上取一點N，二面角NEF|AN|23【答案】(1)見證明

的大小為

時，求.【解析】（1）取AE的點由于ED面ABCDED//FB，∴DE⊥，EDDC，⊥BCFB⊥AB，又ABCD是形，矩形，所，CBF是等直角三角形AE=AF，CE=CF，所以AM⊥，CMEF∠AMC就二面角A-EF-C平面角經(jīng)計算AMCM

6，，所以AMAC2，即AMMC.所以平面⊥平面CEF.（2AC與BD交為坐標原點0AOB分別為軸立直角坐標系AD=BD=2A(3，M(0,O,)，﹣3，E(0,1,3)，3，

AM3平面CEF的個法向量

m

13

設

t

t

，EF

設平面NEF的向量

z

，則

nn得

y

，令

x0.5t

，則y0，nt

因為二面角

EF

的大小為60°，所以

m

，

0.5t21

整理得t

t，得t23所以

23

2019年月校聯(lián)考高三數(shù)學理面

中形ABCD是方形ADE平面

ABCD

，

EF∥ABDEEFDCEAD30

求證：面ADE；在線段上是否存在點G，得平面與面FAG所的銳二面角的大小為30若在，求出

DGDB

的值；若不存在，說明理.2222【答案】(1)證明見解析；答案見解析.【解析】∵平面ADE⊥平面ABCD，平面面ABCD，正方形中CD，∴⊥平面ADE(2)由（）知平面⊥面.在平面內過D作AD的垂線DH則DH平面，以點D為坐標點DADC，DH所直線分別為軸軸，z軸立空間直角標系，則

，

,F

1,1,22

,A

，

，AF設

DG

設平面一個法向量

1

，則

,nAG1

，

n1n1

3xy，即2，令

可得：

易知平面EAD一個法向量

2由已如得

cos30

n1n1

3

32

化簡可得：

DG1，即

西省太原市2019屆三模擬題理）如圖，在五面體

ABCDEF

中，面

ABCD

是直角梯形，x31x31ABCD

，ADCD面CDEF

是菱形，60

，

CD

，5AD.（I證明：

；（I已知點P在線段

上，且

，若二面角DF的小為

，求實數(shù)的.【答案】(1)見證明

【解析）明：

CDEF是形AD，CE，AE5，2AD2DE2ADDE，AD

，AD面

，

ADCE

，CEADF

；.（2）由（I知以D為標原點，標系xyz，

的方向為x軸正方向，為單位長，建立如下圖的空間直角坐由題設可得

A3CP

，設DFP的個法向量，則

m0,m

y3令則=2

，m3

，由（）可知

3是面的個向量，二面角DF的小為60°，

CEm

23?

2，

肅年高三第二次高考診斷考試理）等腰直角三角形ABC中，ABC

，點D在邊AB上，垂直AB交

于E，圖

將

△ABC

沿DE折起，使A

到達的置，且使平面PDE面DBCE

，連接

，PB，圖②.（Ⅰ）若為的點，DBDP，求證：DFPC；（Ⅱ）若

，當三棱錐

DBC

的體積最大時，求二面角B

的余弦值.【答案）見解析）【解析】

13

（I

DEPD=D

DE面PDB又在圖①中

，//BC

，

平面PDB，而DF平PDB，

，

DPDB，F(xiàn)是PB的點，DFPBDF面PBC，面，

yy（Ⅱ）設

DB

，由

，三棱錐

DBC

的體積

V32

88m33

，得三棱錐

DBC

的體積最大時，

DB

PD，以，，DP分為

軸，軸

軸建立空間直角坐標系

O

xyz則

設面PEC的向為

z

則

nPCznPE

x,y,

xz令z則x，

y則n設面的向量為

mz

則

·PB·令z則x，y則

cosm

mn·m

13所以二面角

的余弦值為

西省上饒市重點中學六校屆高三第二次聯(lián)考理）在四棱錐PABCD中為梯形，AB∥CD，2BC，AB，BC

6，2，

PC

32

（1）在線段PB上有一個動點E，足

且CE//平PAD，實數(shù)的；（2）已知

與BD的點為M，若PM

32

，且平面

PAC平面ABCD

，求二面角BA

平面角的余弦值.【答案）解析）

【解析）長、BC交于點.連接PN，圖，CE/

，

平面

，平面

平面

PADPN

CE//PN

BEBP

222222在梯形

ABCD

中，AB2，CD

2，以

BC22所,即ABBNBN3

（2）在梯形

ABCD

中,

2BC26,2所以AB22即

ABC

所以

∠

2

因為CD

BC

所以BD因為/CDBD由勾股定理

CDDMAB

，所以，

又因為PM

，同理

AC

又因為平面面.且平面平ABCD，以PM面ABCD從而直線，線

，直線相垂直，以M為點，分別以MA，MB,所直線分別為，y，軸正方向建立空間直角坐標系，如圖，易得

B

0,

32

,0

C

6,0,02

3(0,0,)2設平面PBC的法量為

z

63，易得CB,0,CB從而解x3nPC

，z2x，令可n易知平面

PAC的向量為m(0,1,0)，，故，，2，，故，，2則cos，所以二面角

平面角的余弦值為

聊城市屆三二?？荚嚁?shù)學理圖邊是邊長為2的正方形E為CD的中點，以為痕把折，使點達點的位置，且

（1）求證：平面平；（2）求二面角PAE的余弦值.【答案）解析）

14【解析】（1）因為四邊形是方形，所以折起后，AB因為

，所以PAB是正三角形，所以PA.又因為正方形

ABCD

中，E為

CD

的中點，所以EA，以，所以，以，因為PAPB，以PE面又平，以平面PEC面PAB.（2）取中F，結PF，EF，則PF，AB，又PFF，面.

又AB平

ABCE

，所以平面PEF平面

ABCE

在平面內作

POEF

于

O

點，則

PO

平面以點為原點，OF軸，OP為z軸如圖建立空間直角坐標.在PEF中PF

3，，EF∴PO

33

EOE,0,0,2

，3∴PA,

，

AE

1313設平面的個法向量為

1

，則由

n1n1

，得xy2x3∴

，令x，，z，因為平面ABE的向量為

2則

cosn,143

33

14

，又二面角銳二面角，∴二面角P的弦值為

省皖南八校屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學理圖在四棱錐

ABCD

中，

平面

ABCD

，點為PB中，底面

ABCD

為梯形，

AB

，ADCD

ADCD

AB

（1）證明：

CM/

平面PAD；（2）求平面與面

所成的銳二面角的大.【答案）見解析）

【解析】（1）如圖，取PA中E，接，ME.∵是中，∴

ME/AB

，

ME

AB

又

ABCD，CD

AB

，∴

ME/CD

，

MECD.∴四邊形

CDEM

為平行四邊.∴

DE//.∵DE面PAD，CM平PAD∴

CM/

平面PAD（2）取AB中

，由已知

ADCN

為正方形，又

平面

ABCD

，故以

C

為原點，

CD

，

，

為x，y，z