彈性力學(xué)試題及答案

彈性力學(xué)與有限元分析復(fù)習(xí)題及其答案一、填空題1、彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、、形變和位移。2、在彈性力學(xué)中規(guī)定，線應(yīng)變以伸長時(shí)為正，縮短時(shí)為負(fù)，與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相適應(yīng)。3、在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以直角變小時(shí)為正，變大時(shí)為負(fù)，與切應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相適應(yīng)。4、物體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力，它的集度稱為應(yīng)力。與物體的形變和材料強(qiáng)度直接有關(guān)的，是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量，也就是正應(yīng)力和切應(yīng)力。應(yīng)力及其分量的量綱是L-1MT-2。5、彈性力學(xué)的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。7、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量。「10°MPa，。，=50MPa，=村=10君0MPa，則主應(yīng)力。「150MPa，。2=0MPa，a1=3516'。8、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，。:200MPa，。，=0MPa，=沖二一400MPa，則主應(yīng)力01=512MPa，O2=-312MPa，丫-37°57：。9、已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，。x=-2000MPa，。=1000MPa，T/=-400MPa，則主應(yīng)力o1=U52MPa，o=-2052MPa，a=-82°32,。10、在彈性力學(xué)里分析問題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。11、表示應(yīng)力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。12、邊界條件表示邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式「分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13、按應(yīng)力求解平面問題時(shí)常采用逆解法和半逆解法。14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)，然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法進(jìn)行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。15、每個(gè)單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點(diǎn)不相同的，即所謂變量應(yīng)變；另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的，是各點(diǎn)相同的，即所謂常量應(yīng)變。17、為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變，還應(yīng)當(dāng)盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。18、為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不僅要使它們?cè)诠步Y(jié)點(diǎn)處具有相同的位移時(shí)，也能在整個(gè)公共邊界上具有相同的位移。19、在有限單元法中，單元的形函數(shù)N.在i結(jié)點(diǎn)Ni=1；在其他結(jié)點(diǎn)N,=0_及￡N.=1o20、為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小，以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況：二是采用包含更高次項(xiàng)的位移模式，使位移和應(yīng)力的精度提高。

二、判斷題(請(qǐng)?jiān)谡_命題后的括號(hào)內(nèi)打“J”，在錯(cuò)誤命題后的括號(hào)內(nèi)打“X”)1、連續(xù)性假定是指整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。(J)5、如果某一問題中，O7H乎=Tq=0，只存在平面應(yīng)力分量。JOjT沖，且它們不沿z方向變化，僅為1,y的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)力問題。(J)6、如果某一問題中，￡,m^^曰7y=0，只存在平面應(yīng)變分量￡”，￡jY沖，且它們不沿z方向變化，僅為1,y的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)變問題。(J)9、當(dāng)物體的形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。(J)10、當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。(J)14、在有限單元法中，結(jié)點(diǎn)力是指結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力。(J)15、在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的公共邊界上應(yīng)變和應(yīng)力均有突變。(J)三、分析計(jì)算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應(yīng)力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。o=Ax+By,o=Cx+Dy,工=Ex+Fy；y xyo=A(x2+y2),o=B(x2+y2),t=Cxy；1yxySo St——x+—y^_0Sx SSo St——x+—y^_0Sx SySo St +——x^_0Sy Sx解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：(1)在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程〈(2)在區(qū)域內(nèi)的相容方程2十二］Q+o\0；(3)在邊界上的應(yīng)力邊界條件(Sx2Sy2J(2)在區(qū)域內(nèi)的相容方程o+mt

xo+mt

x篦o+1t

yxyyx)_fx(s)；(4)對(duì)于多連體的位移單值條件。xy(1)此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F,D=-E。此外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。(2)為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足A+5=0；為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足A=B=-C/2。上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)力分量不可能存在。2、已知應(yīng)力分量0_-Qxy2+Cx3,o_—Cxy2,t=-Cy3-Cx2y，體力不計(jì)，Q為常數(shù)。x 1 y22 xy2 3試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù)C1,C2,c3。解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程

TOC\o"1-5"\h\zdo dT——4+—y^=0

dx dy1do dT +——y=0

dy dx-Qy2+3Cx2-3Cy2-Cx2=0-3Cxy-2Cxy=023-C+2

1cc-C+2

1cc由％,y的任意性，得f3c-C=0

131Q+3C=023C+2C=0

23廠Q廠Q「Q由此解得，C=—,C=--,C=—16 2 3 323、已知應(yīng)力分量o/二一q，oy3、已知應(yīng)力分量o/二一q，解：將已知應(yīng)力分量o=-解：將已知應(yīng)力分量o=-qxo=-q

y，T沖=0，代入平衡微分方程do 譏八TOC\o"1-5"\h\z——+——y^+X=0

dx dydo dT—+——x^+Y=0

dy dx可知，已知應(yīng)力分量o=-q

可知，已知應(yīng)力分量o=-q

xo=-q

yxy滿足。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題的相容方程:TOC\o"1-5"\h\zd2 d2 d2T——(o-vo)+——(o-vo)=2(1h) \o"CurrentDocument"dy2xydx2yx dxdy將已知應(yīng)力分量o=—q，o「q，T沖=0代入上式，可知滿足相容方程。按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問題的相容方程：d2vd2v2d2T

(o-o)+(o-o)= xy-dy2 x 1-v y dx2 y 1-v x 1-v dxdy將已知應(yīng)力分量o=-將已知應(yīng)力分量o=-q，xo=-q

y，Tx=0代入上式，可知滿足相容方程。4、試寫出平面問題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在。(1)￡=Axy=By3，y=C(1)￡=Axy=By3，y=C-Dy2；￡=Ay2

x=Bx2y，y=Cxy；xy￡=0x=0，Y=Cxy；xy其中A,BC，D為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即TOC\o"1-5"\h\zd2￡ d2￡ d2y + = xydy2 dx2 dxdy將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知:（1）相容。2A+2By=（1）相容。2A+2By=C（1分）；這組應(yīng)力分量若存在，貝U須滿足：B=0,2A=C。0=C；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：C=0則￡=0，￡=0，y=0（1分）。xy5、證明應(yīng)力函數(shù)^=by2能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)，bM）。解：將應(yīng)力函數(shù)^=by2代入相容方程設(shè)+24+&0dx4 dx2dy2dy4可知，所給應(yīng)力函數(shù)5=by2能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為d2Q?d25八TOC\o"1-5"\h\zo= =2b，o= =0，tx dy2 y dx2 xyt,ht,h上邊，y=--，xxyhy=-2\o"CurrentDocument"l=0，m=T，f=-(t) =0，f=—(o) =0；xxyhy=-2yyh

y=-2

下邊，m=1, f=(t ) 下邊，m=1, f=(t ) =0xxyhy=2于=9) =0；左邊，m=0,f=_(o) =—2b,xxx=—2fy=-(Txy)x=—10；2右邊，m=0,f=(o) =2b,xxL

x=2f=(tyxy)=0。Lx=2可見，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b。因此，應(yīng)力函數(shù)^=by2能解決矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布?jí)毫Γ╞<0）的問題。6、證明應(yīng)力函數(shù)P="xy能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)，"。0）。解：將應(yīng)力函數(shù)P="xy代入相容方程設(shè)+2設(shè)+2上**0d.x4 Sx2Sy2可知，所給應(yīng)力函數(shù)P="xy能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為S23 SS23 S2①o= =0,o= =0xSy2 ySx2txy=—■S2m =—"SxSy對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件，上下左右四個(gè)邊上的面力分別為：上邊，l=0m=—1,f=—(t) =",f=—9)xyhy上邊，l=0m=—1,f=—(t) =",f=—9)xyhy=—2=0；hy=—2下邊，m=1, f=(t )xxy=—"hy=2fy=(^y)左邊，lx=——2l=—1m=0，f=一(。)x=—=0l2f=—(t)xyx=-右邊，l=1m=0,f=(o)xx=0L2f=(t)xy可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力。，而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力a。因此，應(yīng)力函數(shù)中=axy能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅(jiān)柱，密度為P，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量?？梢姡谧笥覂蛇叿謩e受有向下和向上的均布面力。，而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力a。因此，應(yīng)力函數(shù)中=axy能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長堅(jiān)柱，密度為P，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。由此可知xW：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設(shè)。「0。o=現(xiàn)=0

xdy2將上式對(duì)y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式①Q(mào),ybf1(x)y+f2(x)將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得yf)+d4fJx)=0

dx4 dx4這是y的線性方程但相容方程要求它有無數(shù)多的解(全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它)，可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零，即f)=0

dx4d4f/x)=0

dx4這兩個(gè)方程要求f(f(x)=Ax3+Bx2+Cx+1f(x)=Dx3+Ex2+Jx+K代人應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，并略去對(duì)應(yīng)力分量無影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便得①二y(Ax3+Bx2+Cx)+Dx3+Ex2對(duì)應(yīng)應(yīng)力分量為o40xdy2d24o=■

y =y(6Ax+2B)+6Dx+2E-o=■

ydx2TxyTxySy=~3Ax2-2Bx-C以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。沿y方向無面力，所以有左邊，x=0，l=-1，m=0，沿y方向無面力，所以有-(TxyL=0=C=0右邊，x=b，l=1，m=0，沿y方向的面力為q，所以有(t)b=-3Ab2-2Bb=q

上邊，y=0,l=0,m=-1,沒有水平面力，這就要求r^^在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即\b（r）0dx=0將r沖的表達(dá)式代入，并考慮到C=0，則有\(zhòng)b（-3Ax2—2Bx）dx二一Ax3—Bx2|b=-Ab3-Bb2=0而Jb（\J廠0。dx=0自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要涉y在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即Jb9）dx=0， Jb（。）xdx=00yy=0 0yy=0將Oy的表達(dá)式代入，則有J：(6"+2E3D2+2代=3Db2+2Eb=0Jb(6Dx+2E)xdx=2Dx3+Ex2b=2Db3+Eb2=0由此可得應(yīng)力分量為0 由此可得應(yīng)力分量為A=-q-，B=q，C=0，D=0，E=0b2b雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處（y=0）的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn)離y=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力，即體力分量可以表示為. dV d2① d24一f=—-，其中V是勢(shì)函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函數(shù)表示為，o=F+V，o= +V，y dy xdy2 yc.x2d29rxy應(yīng)當(dāng)滿足平r=-彳?，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。xydxrxy應(yīng)當(dāng)滿足平證明：在體力為有勢(shì)力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時(shí)，應(yīng)力分曩x，。y衡微分方程8o8t8V八—卜——y^-——=08x8y8x8o8t8V——卜——x^-———=0、8y8x8y（1分）還應(yīng)滿足相容方程（82S2X ）/《。f討） —+—1^州區(qū)-U+同++『|（對(duì)于平面應(yīng)力問題）（8x28y2jxy I8x8yJ"十1t"十1tS2y'4fg1（對(duì)于平面應(yīng)變問題）并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（1分）。對(duì)于多連體，有時(shí)還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為*x-V嗓=0《/、一8（ ）8t一匕-v4一y=08yy 8x這是一個(gè)齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個(gè)方程改寫為Ka-VHt）8xx8yyx根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)A（x，y），使得TOC\o"1-5"\h\z“8A 8A\o"CurrentDocument"o—V=——，—t=——

x 8y yx8x同樣，將第二個(gè)方程改寫為\o"CurrentDocument"n—Vj）（1分）

8yy 8xyx可見也一定存在某一函數(shù)B（x，y），使得“8B 8Bo—V=——，—t=——

y 8x yx8y由此得8A_8B8x8y因而又一定存在某一函數(shù)甲Q,y），使得B上8x代入以上各式，得應(yīng)力分量

s2① a2①O=——+V，O=--+V，Txay2 yax2為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程，應(yīng)力函數(shù)甲Q,y）必須滿足一定的方程，將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問題的相容方程，得a2a2)a2① a2①——+———+V+—(ax2ay2人ay2 ax2(ax(ax2ay2=-2——+——

(ax2ay21簡(jiǎn)寫為V岬=-(1-n)V2V將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)變問題的相容方程，得ra2a2丫ra2a2丫a23——+————(ax2ay2a2a2)一+——(ax2ay2=-2——+——(ax2ay21a2a2)一+——i-"(ax2ay2,簡(jiǎn)寫為「 1-2u一V岬二—-"V2V1-日9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為P，試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求解。解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為①=ax3+bx2y+cxy2+dy3相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為a23 a2① a2?o= xf=2cx+6dy,o= yf=6ax+2by-pgy,t=- =-2bx-2cyxay2 x yax2 y xyaxay這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。現(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù)，是否能滿足應(yīng)力邊界條件。上邊，y=0，1=0，m=-1，沒有水平面力，所以有

對(duì)上端面的任意％值都應(yīng)成立可見同時(shí)，該邊界上沒有豎直面力所以有對(duì)上端面的任意％值都應(yīng)成立可見因此，應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化為斜面，y=Xtana—(t)0對(duì)上端面的任意％值都應(yīng)成立可見同時(shí)，該邊界上沒有豎直面力所以有對(duì)上端面的任意％值都應(yīng)成立可見因此，應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化為斜面，y=Xtana—(t)0=2bx=0b=0-(o) =6ax=0=2cx+6dyxl=cos—a=0a=—pgy，yt=—2cy

xy「兀、—+aI=—sina12)m=cos（—a）=cosa，沒有面力，所以有丫o+mt(xmo+1t、y)yx)=xtanaxyy=xtana=0=0由第一個(gè)方程，得—(2cx+6dxtanalina—2cxtanacosa=—4cxsina—6dxtanasina=0對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求—4c—6dtana=0由第二個(gè)方程，得2cxtanasina—pgxtanacosa=2cxtanasina—pgxsina=0對(duì)斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求2ctana—pg=0(1分)由此解得c=1pgcota(1分)，d=—1pgcot2a

2 3從而應(yīng)力分量為a=pgxcota—2pgycot2a,o=—pgy,t=—pgycotaxyh設(shè)三角形懸臂梁的長為l，高為h，則tana=7。根據(jù)力的平衡，固定端對(duì)梁的約束反力沿x方

1/1向的分量為0，沿y方向的分量為-^pglh。因此，所求。在這部分邊界上合成的主矢應(yīng)為零，tTOC\o"1-5"\h\z2 x xy1應(yīng)當(dāng)合成為反力—5pglh。JhG)dy=1cota—2pgycot2ady=pglhcota-pgh2cot2a=00xx=l 0Jh()dy=Jh(—pgycota)dy=——pgh2cota=——pglh

0xyx=l 0 2 2可見，所求應(yīng)力分量滿足梁固定端的邊界條件。10

10、設(shè)有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角a，下端作為無限長，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為PJ液體的密度為P之，試求應(yīng)力分量。解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。取坐標(biāo)軸如圖所示。在楔形體的任意一點(diǎn)，每一個(gè)應(yīng)力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應(yīng)當(dāng)與P]g成正比(g是重力加速度)；另一部分由液體壓力引起，應(yīng)當(dāng)與P2g成正比。此外，每一部分還與a，%，y有關(guān)。由于應(yīng)力y 的量綱是L/MT-2, P1g和P2g的量綱是L-2MT-2, a是量綱一的量，而％和y的量綱是L，因此，如果應(yīng)力分量具有多項(xiàng)式的解答，那么它們的表達(dá)式只可能是APig%，BPigy，CP2gx，DP2gy四項(xiàng)的組合，而其中的A，B，C，D是量綱一的量，只與a有關(guān)。這就是說，各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是1和y的純一次式。其次，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量的長度量綱高二次，應(yīng)該是%和y純?nèi)问?，因此，假設(shè)①=ax3+bx2y+exy2+dy3相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為d29 八/, d29八，… d2Q -o= -xf=2ex+6dy,o= yf=6ax+2by-Pgy,t=- =-2bx-2eyxSy2 x ydx2 y 1 xy dxdy這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。現(xiàn)