2021北京初三（上）期中數(shù)學(xué)匯編：點和圓、直線和圓的位置關(guān)系2

35/352021北京初三（上）期中數(shù)學(xué)匯編點和圓、直線和圓的位置關(guān)系2一、單選題1．（2021·北京市魯迅中學(xué)九年級期中）已知⊙O的半徑為6，點A在⊙O內(nèi)部，則（

）A． B． C． D．2．（2021·北京·徐悲鴻中學(xué)九年級期中）⊙O的半徑為5，圓心O到點P的距離為6，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（

）A．點在圓外 B．點在圓上 C．點在圓內(nèi) D．無法確定3．（2021·北京市第五中學(xué)分校九年級期中）如圖，點是⊙O外一點，為的一條割線，且，交于點，若，，則長為（

）A． B． C． D．4．（2021·北京市第五中學(xué)分校九年級期中）已知點在圓外，它到圓的最近距離是，到圓的最遠距離是，則圓的半徑為（

）A． B． C． D．5．（2021·北京一七一中九年級期中）已知⊙O的半徑為5cm，點P在⊙O外，則OP的長（

）A．小于5cm B．大于5cmC．小于10cm D．不大于10cm二、判斷題6．（2021·北京育才學(xué)校九年級期中）判斷對錯（在題后的小括號里，對的打√，錯的打×）（1）兩個半圓是等弧 ()（2）過圓心的線段是半徑 ()（3）一個三角形有唯一的一個外接圓 ()（4）相等的圓心角所對的弧相等

()（5）長度相等的兩條弧是等弧 ()（6）頂點在圓上的角是圓周角 ()（7）圓周角是圓心角的一半 ()（8）圓的切線只有一條 ()（9）直線a上一點到圓心的距離等于半徑，則a和圓有公共點 ()（10）若直線與圓有一個公共點，則直線是圓的切線 ()（11）經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線 ()（12）能完全重合的兩個圖形成中心對稱 ()（13）直徑所對的角是直角 ()（14）拋物線與y軸不相交 ()（15）二次函數(shù)的最小函數(shù)值是-3 ()三、填空題7．（2021·北京市魯迅中學(xué)九年級期中）已知：在⊙O中，弦AB將圓周分為5：1兩段弧，則弦AB所對的圓周角為__________°．8．（2021·北京市第一五六中學(xué)九年級期中）如圖，∠AOB=30°，OM=6，那么以M為圓心，3為半徑的圓與直線OA的位置關(guān)系是_____．9．（2021·北京教育學(xué)院附屬中學(xué)九年級期中）如圖，如圖，從⊙O外一點P引⊙O的兩條切線PA，PB，切點分別為點A，B，如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的長為_______．10．（2021·北京市第三中學(xué)九年級期中）已知∠AOB＝30°，P是OA上的一點，OP＝4cm，以r為半徑作⊙P．若rcm，則⊙P與OB的位置關(guān)系是_____．11．（2021·北京八中九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（0，-3），半徑為1的動圓⊙A沿y軸正方向運動，若運動后⊙A與x軸相切，則點A的運動距離為____________．12．（2021·北京八中九年級期中）⊙O的半徑為3，點P在⊙O外，點P到圓心的距離為d，則d需要滿足的條件____________．13．（2021·北京八十中九年級期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BCD＝120°，則∠BOD＝___°．14．（2021·北京·徐悲鴻中學(xué)九年級期中）如圖，是⊙的直徑，點在⊙上，是中點，若∠＝70°，求∠．下面是小諾的解答過程，請幫她補充完整．∵是BC中點∴BD∴∠1＝∠2∵∠BAC＝70°，∴∠2＝35°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°（

）（填推理的依據(jù)）．∴∠B＝90°－∠2＝55°．∵A、B、C、D四個點都在⊙O上，∴∠C＋∠B＝180°（

）（填推理的依據(jù)）．∴∠C＝180°－∠B＝（填計算結(jié)果）．15．（2021·北京四中九年級期中）在⊙O中，弦AB所對圓心角為140°，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)是___________．16．（2021·北京一七一中九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點，BC與⊙O交于點D，連接OD．若∠C＝50°，則∠AOD的度數(shù)為____．17．（2021·北京五十五中九年級期中）如圖，⊙O的半徑為2，直線PA、PB為⊙O的切線，A、B為切點，若PA⊥PB，則OP的長__．四、解答題18．（2021·北京師范大學(xué)實驗華夏女子中學(xué)九年級期中）如圖，在Rt△中，∠＝90°，是角平分線，點在上，以點為圓心，長為半徑的圓經(jīng)過點，交于點．（1）求證：是的切線；（2）若，求的長．19．（2021·北京師范大學(xué)亞太實驗學(xué)校九年級期中）如圖，四邊形內(nèi)接于⊙，是⊙的直徑，交的延長線于點，平分∠．（1）求證：是⊙O的切線；（2）若＝4cm，＝6cm，求的長．20．（2021·北京師范大學(xué)亞太實驗學(xué)校九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，D是BC中點，若∠BAC=70°，求∠C的度數(shù)．下面是小文的解法，請幫他補充完整：解：連接AD，在⊙O中，∵D是中點，∴．∴∠1=∠2（

）（填推理的依據(jù)）．∵∠BAC=70°，∴∠2=35°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°（

）（填推理的依據(jù)）．∴∠B=90°-∠2=55°．∵A、B、C、D四個點都在⊙O上，∴∠C+∠B=180°（

）（填推理的依據(jù)）．∴∠C=180°-∠B=125°．21．（2021·北京市第三中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AC上一點（與點A，C不重合），連接BD，過點A作AE⊥BD的延長線于E．（1）①在圖中作出△ABC的外接圓⊙O，并用文字描述圓心O的位置；②連接OE，求證：點E在⊙O上；（2）①延長線段BD至點F，使EF＝AE，連接CF，根據(jù)題意補全圖形；②用等式表示線段CF與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明．22．（2021·北京市魯迅中學(xué)九年級期中）閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：尺規(guī)作圖：過圓外一點作圓的切線．已知：如圖，⊙O和點P．求作：過點P的⊙O的切線．小明的主要作法如下：（1）連接OP，作線段OP的垂直平分線，交OP于點A；（2）以A為圓心，OA長為半徑作圓，交⊙O于點B，C；（3）作直線PB和PC，所以PB和PC就是所求的切線．老師說：“小明的作法正確．”根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明：證明：∵OP是⊙A的直徑，∴∠PBO＝90°，∠PCO＝90°（

）（填推理的依據(jù)）∴OB⊥PB，OC⊥PC又∵OB，OC是⊙O的半徑，∴PB，PC是⊙O的切線．（

）（填推理的依據(jù)）23．（2021·北京市西城外國語學(xué)校九年級期中）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于D，過點B作BECD交⊙O于點E，連接AD，AE，∠EAD=22.5°．若BE=4，求⊙O的半徑．24．（2021·北京十五中九年級期中）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，OE⊥BC于點E，交CD于點F．（1）求證：∠A+∠OFC=90°；（2）若CE：EF=3:4，BC=12，則線段CF的長為25．（2021·北京八中九年級期中）如圖，已知：過⊙O上一點A作兩條弦AB、AC，且∠BAC=45°，（AB，AC都不經(jīng)過O）過A作AC的垂線AF，交⊙O于D，直線BD，AC交于點E，直線BC，DA交于點F．（1）證明：BE=BF；（2）探索線段AB、AE、AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．26．（2021·北京市第一五九中學(xué)九年級期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在BC邊上，以CD為直徑的⊙O與直線AB相切于點E，且E是AB中點，連接OA．（1）求證：OA＝OB；（2）連接AD，若AD＝，求⊙O的半徑．27．（2021·北京一七一中九年級期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P坐標(biāo)為（2，3），點Q為圖形M上一點．我們將線段PQ長度的最大值與最小值之間的差定義為點P視角下圖形M的“寬度”．（1）如圖，⊙O半徑為2，與x軸分別交于點A，B．①在點P視角下，⊙O的“寬度”為，線段AB的“寬度”為．②點G（m，0）為x軸上一點，若在點P視角下，線段AG的“寬度”為2，求m的取值范圍．（2）⊙C的圓心在x軸上，且半徑為r（r＞1），一次函數(shù)y＝x＋1的圖象與x軸，y軸分別交于點D，E．若線段DE上存在點K，使得在點K視角下，⊙C的“寬度”可以為2，求圓心C的橫坐標(biāo)xC的取值范圍．28．（2021·北京·東直門中學(xué)九年級期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在BC邊上，以CD為直徑的⊙O與直線AB相切于點E，且E是AB中點，連接OA．（1）求證：OA=OB；（2）連接AD，若⊙O的半徑為2，求AD．29．（2021·北京四中九年級期中）對于點C和給定的⊙O，給出如下定義：若⊙O上存在點B，使點C繞點B旋轉(zhuǎn)90°的對應(yīng)點A在⊙O上，此時△ABC是以點B為直角頂點的等腰直角三角形，則稱點C為⊙O的等直頂點．若O是坐標(biāo)原點，⊙O的半徑為2（1）在點P（0，0），Q（2，0），R（5，0），S（，0）中，可以作為⊙O的等直頂點的是哪個點？（2）若點P為⊙O的"等直頂點"，且點P在直線yx上，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）設(shè)⊙C的圓心C在x軸上，半徑為2，若直線yx上存在點D，使得半徑為1的⊙D上存在點P是⊙C的等直頂點，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍；（4）直線y4x4分別和兩坐標(biāo)軸交于E，F(xiàn)兩點，若線段EF上的所有點均為⊙O的等直頂點，求⊙O的半徑的最大值與最小值．30．（2021·北京一七一中九年級期中）如圖，在RtABC中，∠C＝90°，BD是ABC的角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB長為半徑的圓經(jīng)過點D，交BC于點E，交AB于點F．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若CE＝2，CD＝4，求半徑的長．

參考答案1．A【分析】根據(jù)點在圓內(nèi)部，有，進行判斷即可【詳解】的半徑為，點在的內(nèi)部故選：【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系有種，設(shè)的半徑為，點到圓心的距離為，則有點在圓外，點在圓上，點在圓內(nèi)．2．A【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系可知：在同一個平面內(nèi)，當(dāng)一點到圓心的距離大于圓的半徑時，點在圓外；當(dāng)一點到圓心的距離等于半徑時，點在圓上；當(dāng)點到圓心的距離小于半徑時，點在圓內(nèi)；由此問題可求解．【詳解】解：由⊙O的半徑為5，圓心O到點P的距離為6，可知：點到圓心的距離大于圓的半徑，所以點P與⊙O的位置關(guān)系是點在圓外；故選A．【點睛】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】設(shè)PA=AB=x，延長PO交圓于點D．證明得PA?PB=PC?PD即可求得PA的長，也就得到了AB的長．【詳解】解：設(shè)PA=AB=x，延長PO交圓于點D．連接BD，AC∵四邊形ABDC內(nèi)接于∴又∴∴∴PA?PB=PC?PD，∵OC=3，OP=5，∴PC=2，PD=5+3=8∴x?2x=16，∴x=∴．故選：B．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．4．A【分析】搞清楚P點到圓上點的最近距離與到圓上點的最遠距離的差為直徑（P為圓外一點），本題易解．【詳解】解：P為圓外一點，且P點到圓上點的最近距離為，到圓上點的最遠距離為，則圓的直徑是7-1=，因而半徑是．故選：A【點睛】本題考查了點和圓，正確理解圓的直徑的長度是解決本題的關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)點在圓外，點到圓心的距離大于圓的半徑進行判斷即可．【詳解】解：∵⊙O的半徑為5cm，點P在⊙O外，∴OP＞5cm．故選B．【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系：掌握點到圓心的距離與半徑r的關(guān)系，設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d=r；點P在圓內(nèi)?d＜r．6．

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√【分析】（1）根據(jù)等弧的概念：同圓或等圓中的兩條能夠完全重合的弧，判斷即可；（2）根據(jù)圓的半徑即為：圓心到圓上任意一點間的線段，判斷即可；（3）根據(jù)三角形的外接圓進行判斷即可；（4）同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，判斷即可；（5）根據(jù)：同圓或等圓中的兩條能夠完全重合的弧，判斷即可；（6）根據(jù)頂點在圓上，且兩條邊與圓相交的角叫做圓周角，判斷即可；（7）同弧或等弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半，判斷即可；（8）過圓上一點圓的切線只有一條，過圓外一點作圓的切線有且只有兩條；過圓內(nèi)一點做圓的切線不存在，據(jù)此判斷即可；（9）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進行解答即可；（10）直線與圓只有一個公共點，則直線是圓的切線，判斷即可；（11）根據(jù)切線的性質(zhì)進行解答；（12）根據(jù)中心對稱的特點進行解答；（13）根據(jù)圓周角定理解答；（14）根據(jù)拋物線的性質(zhì)解答；（15）根據(jù)二次函數(shù)最值解答．【詳解】解：（1）兩個半圓不一定是等弧，原說法錯誤；（2）過圓心的線段不一定是半徑，原說法錯誤；（3）一個三角形有唯一的一個外接圓，原說法正確；（4）同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，原說法錯誤；（5）同圓或等圓中的兩條能夠完全重合的弧叫做等弧，原說法錯誤；（6）頂點在圓上，且兩條邊與圓相交的角叫做圓周角，原說法錯誤；（7）同弧或等弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半，原說法錯誤；（8）過圓上一點圓的切線只有一條，過圓外一點作圓的切線有且只有兩條；過圓內(nèi)一點做圓的切線不存在，原說法錯誤；（9）直線a上一點到圓心的距離等于半徑，則a和圓有公共點，原說法正確；（10）直線與圓只有一個公共點，則直線是圓的切線，原說法錯誤；（11）經(jīng)過半徑外端且垂直半徑的直線是圓的切線，原說法錯誤；（12）能完全重合的兩個圖形不一定成中心對稱，原說法錯誤；（13）直徑所對的圓周角是直角，原說法錯誤；（14）拋物線與軸交與，原說法錯誤；（15）二次函數(shù)的最小函數(shù)值是-3，原說法正確；故答案為：×；×；√；×；×；×；×；×；√；×；×；×；×；×；√．【點睛】本題考查了圓的相關(guān)概念，中心對稱，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點，熟練掌握相關(guān)概念是解本題的關(guān)鍵．7．30°或150°【分析】求出，再利用圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)解決問題即可；【詳解】如圖，∵弦AB將圓周分為5：1兩段弧，∴，在優(yōu)弧AB上取一點C，連接AC，BC，在劣弧AB上取一點D，連接AD，BD，∵，，∴，；故答案是30°或150°．【點睛】本題主要考查了圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，準確計算是解題的關(guān)鍵．8．相切【分析】如圖，過作于再求解再利用從而可得答案.【詳解】解：如圖，過作于∠AOB=30°，OM=6，所以以M為圓心，3為半徑的圓與直線OA的位置是相切.故答案為：相切【點睛】本題考查的是含的直角三角形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，掌握“圓心到直線的距離等于圓的半徑，則直線與圓相切”是解題的關(guān)鍵.9．8【分析】根據(jù)切線長定理知PA=PB，而∠P=60°，所以△PAB是等邊三角形，由此求得弦AB的長．【詳解】解：∵PA、PB都是⊙O的切線，∴PA=PB，又∵∠P=60°，∴△PAB是等邊三角形，即AB=PA=8，故答案為：8．【點睛】此題主要考查的是切線長定理以及等邊三角形的判定，掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．10．相離【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，過點作，判斷與半徑的大小，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，過點作，如下圖：則∵∴∵∴⊙P與OB的位置關(guān)系是相離故答案為：相離【點睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及了含直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直線與圓位置關(guān)系的判定方法．11．2或4【分析】利用切線的性質(zhì)得到點A到x軸的距離為1，此時圓心的坐標(biāo)為（0，-1）或（0，1），然后分別計算點（0，-1）和（0，1）到（0，-3）的距離即可．【詳解】解：若運動后⊙A與x軸相切，則點A到x軸的距離為1，此時圓心的坐標(biāo)為（0，-1）或（0，1），而-1-（-3）=2，1-（-3）=4，∴點A的運動距離為2或4，故答案為：2或4．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．12．d>3【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法求解．【詳解】解：∵點P在⊙O外，∴d＞3．故答案為：d＞3．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d=r；點P在圓內(nèi)?d＜r．13．【分析】先利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解再利用圓周角定理可得答案.【詳解】解：四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BCD＝120°，故答案為：【點睛】本題考查的是圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，掌握“圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，同弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半”是解題的關(guān)鍵.14．直徑所對的圓周角是直角；圓內(nèi)接四邊形對角互補；125°【分析】根據(jù)圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求出∠B即可解決問題．【詳解】∵是中點∴

∴∠1＝∠2∵∠BAC＝70°，∴∠2＝35°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°（直徑所對的圓周角是直角）∴∠B＝90°－∠2＝55°．∵A、B、C、D四個點都在⊙O上，∴∠C＋∠B＝180°（圓內(nèi)接四邊形對角互補）∴∠C＝180°－∠B＝125°．故答案是：直徑所對的圓周角是直角；圓內(nèi)接四邊形對角互補；125°【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握這些基本知識是解決本題的關(guān)鍵．15．70°或110°【分析】根據(jù)圓周角定理計算即可．【詳解】如圖，當(dāng)角的頂點在優(yōu)弧上時，∠ADB=∠AOB=70°；當(dāng)角的頂點在劣弧上時，∠ACB=180°-∠ADB=110°；故答案為：70°或110°．【點睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握定理，并靈活分類計算是解題的關(guān)鍵．16．##80度【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得，根據(jù)和三角形內(nèi)角和定理得，又因為OB=OD，所以，即可得．【詳解】解：∵是⊙O的直徑，是的切線，∴，∴，∵，∴，∵OB=OD，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角定理和三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．17．【分析】首先連接OA，由直線PA、PB為⊙O的切線，PA⊥PB，易得△OPA是等腰直角三角形，繼而可求得OP的長．【詳解】解：連接OA，∵直線PA、PB為⊙O的切線，PA⊥PB，∴OA⊥PA，∠OPA=∠APB=45°，∴△OPA是等腰直角三角形，∵⊙O的半徑為2，即OA=2，∴OP=OA=2．故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．18．（1）見解析；（2）12．【分析】（1）如圖：連接OD，由BD為角平分線得到一組對角相等，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出一對內(nèi)錯角相等，進而確定出OD//BC平行，再利用兩直線平行同位角相等可得∠ODA為直角即可證明；（2）可得四邊形ODCG是矩形，由此可得OG＝CD＝8，再根據(jù)勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）如圖：連接ODOD=OB，，,.是⊙O的切線；（2），得矩形ODCG.Rt△，BG==6,OB=OE．【點睛】本題主要考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，掌握切線的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．19．（1）見解析；（2）AD＝．【分析】（1）連接OA，根據(jù)等邊對等角得出∠ODA＝∠OAD，進而得出∠OAD＝∠EDA，證得EC∥OA，從而證得AE⊥OA，即可證得AE是⊙O的切線；（2）過點O作OF⊥CD，垂足為點F．從而證得四邊形AOFE是矩形，得出OF＝AE＝4cm，根據(jù)垂徑定理得出DF＝CD＝3cm，在Rt△ODF中，根據(jù)勾股定理先求得⊙O的半徑,再求ED＝EF﹣DF＝2cm，根據(jù)勾股定求即可．【詳解】（1）證明：連結(jié)OA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD．∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA．∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA．∵AE⊥CD，∴OA⊥AE．∵點A在⊙O上，∴AE是⊙O的切線．（2）解：過點O作OF⊥CD，垂足為點F．∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，∴四邊形AOFE是矩形．∴OF＝AE＝4cm．EF＝OA，又∵OF⊥CD，∴DF＝CD＝3cm．在Rt△ODF中，OD＝＝5cm，即⊙O的半徑為5cm．∴EF＝OA＝5cm，∴ED＝EF﹣DF＝5﹣3＝2cm，在Rt△AED中，AD＝．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì),切線的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì),切線的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等是解題的關(guān)鍵．20．等弧所對圓周角相等；直徑所對圓周角是直角；圓內(nèi)接四邊形對角互補.【分析】結(jié)合圖形正確理解解題即可【詳解】解：連接AD，在⊙O中，∵D是BC中點，∴．∴∠1=∠2（等弧所對圓周角相等）．∵∠BAC=70°，∴∠2=35°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°（直徑所對圓周角是直角）．∴∠B=90°-∠2=55°．∵A、B、C、D四個點都在⊙O上，∴∠C+∠B=180°（圓內(nèi)接四邊形對角互補）．∴∠C=180°-∠B=125°【點睛】此題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，結(jié)合圖形正確理解解題過程是關(guān)鍵．21．（1）①見祥解，圓心O在斜邊AB的中點；②見詳解；（2）①見詳解；②，見詳解．【分析】（1）①作AC的垂直平分線GH與AB的交點O為圓心O，以點O為圓心，以O(shè)A為半徑畫圓，則⊙O是△ABC的外接圓，然后證明圓O為△ABC的外接圓，圓心O在斜邊AB的中點即可；②根據(jù)OE為斜邊中線，得出OE=OA=OB即可，（2）①延長線段BD至點F，使EF＝AE，連接CF，如圖；②根據(jù)AC＝BC，∠ACB＝90°，可得∠A=∠ABC=，可得∠CEB=∠CAB=45°，可求∠AEC=∠CEB+∠AEB=45°+90°=135°，可證∠FEC=180°-∠CEB=180°-45°=135°=∠AEC，再證△FEC≌△AEC（SAS），可得FC=AC，利用三角函數(shù)可求AC=ABsin45°=即可．【詳解】解：（1）①作AC的垂直平分線GH與AB的交點O為圓心O，以點O為圓心，以O(shè)A為半徑畫圓，則⊙O是△ABC的外接圓，∵GH為AC的垂直平分線，OI⊥AC，AI=CI，∠ACB=90°，連OC，∴IO∥CB，∴，∴AO=OB，∴點O為AB中點，∴OC為斜邊中線，∴OC=OA=OB，∴⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在斜邊AB的中點；②∵AE⊥BD，AO=BO，∴OE為斜邊中線，∴OE=OA=OB，∴點E在⊙O上；（2）①延長線段BD至點F，使EF＝AE，連接CF，如圖；②，理由如下：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC=∠ABC=，∴∠CEB=∠CAB=45°，∴∠AEC=∠CEB+∠AEB=45°+90°=135°，∴∠FEC=180°-∠CEB=180°-45°=135°=∠AEC，在△FEC和△AEC中，，∴△FEC≌△AEC（SAS），∴FC=AC∵AC=ABsin45°=，∴FC=AC=，∴．【點睛】本題考查三角形外接圓作圖，線段垂直平分線作法與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線，三角形全等判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握三角形外接圓作圖，線段垂直平分線作法與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線，三角形全等判定與性質(zhì)，三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．22．（1）見解析；（2）直徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于半徑的直線是圓的切線【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可解決問題；（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角解決問題即可．【詳解】（1）圖形如圖所示：（2）∵OP是⊙A的直徑，∴∠PBO=90°，∠PCO=90°（直徑所對的圓周角是直角），∴OB⊥PB，OC⊥PC，又∵OB，OC是⊙O的半徑，∴PB，PC是⊙O的切線（經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于半徑的直線是圓的切線）．故答案為：直徑所對的圓周角是直角；經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于半徑的直線是圓的切線．【點睛】本題考查了圓的切線的判定及線段垂直平分線(尺規(guī)作圖)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識．23．⊙O的半徑為．【分析】連接OD，交BE于點F，利用切線的性質(zhì)和垂徑定理求得，進而可求出∠EAB的度數(shù)，利用條件易證△ABE為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】連接OD.∵CD切⊙O于點D，∴OD⊥CD．∵BECD，∴OD⊥BE．∵OD過圓心，OD⊥BE，∴．∴∠EAD=∠DAB．∴∠EAB=2∠EAD=45o．∵AB是直徑，∴∠AEB=90o．∴△ABE為等腰直角三角形，∴AB=．∴⊙O的半徑為．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)圓周角定理，垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（1）見解析；（2）CF=10【分析】（1）連接OC，BO，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCF＝90°，再根據(jù)垂徑定理可得結(jié)論；（2）根據(jù)垂徑定理可得CE＝BE＝BC＝6，結(jié)合已知條件可得OE，根據(jù)勾股定理可得OC的長，再根據(jù)sin∠OCE＝sin∠CFE，即可求出線段CF的長．【詳解】（1）證明：如圖，連接OC，BO∴∠A=∠COB∵FC是⊙O的切線，∴OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴∠OFC＋∠COF＝90°，∵OE⊥BC，∴∠COF＝∠BOF=∠COB∴∠COF＝∠A，∴∠A＋∠OFC＝90°；（2）解：∵∠A＋∠OFC＝90°，∠ECF＋∠OFC＝90°∴∠A=∠ECF∵tan∠ECF=∴tanA＝tan∠COF＝，∵OE⊥BC，∴CE＝BE＝BC＝×12＝6，∴tan∠COF=∴OE＝，∴OC＝，∵∠OCF＝∠CEF＝90°，∴∠FCE＋∠OCE＝∠CFE＋∠FCE＝90°，∴∠OCE＝∠CFE，∴sin∠OCE＝sin∠CFE，∴，∴，∴CF＝10．【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，解直角三角形．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．25．（1）見解析；（2），見解析【分析】（1）連接EF，CD，取EF中點G，連接BG，AG，根據(jù)圓周角定理可證∠CBD=90°，而由直角三角形的性質(zhì)可知EG=BG=AG=GF，得B、E、A、F在⊙G上，從而∠EFB=∠EAB=45°，故而BE=BF；（2）首先可證△EBC≌△FBD（ASA），得BC=BD，CE=DF，再由△ACB∽△APD∽△CPB，可證AC?AD=AP?AB，BC2=BP?AB，根據(jù)AC2+AD2=CD2=2BC2，可得AC+AD=AB，再進行等量代換即可．【詳解】解：（1）證明：連接EF，CD，取EF中點G，連接BG，AG，∵∠BAC=45°，AF⊥AC，∴∠BAD=45°，∴∠BCD=∠BDC=45°，∴∠CBD=90°，∴CD為⊙O的直徑，∵AF⊥AE，∠DBF=90°，∴∠EBF=∠FAE=90°，∵EG=AG，∴EG=BG=AG=GF，∴B、E、A、F在⊙G上，∴∠EFB=∠EAB=45°，∵∠FBE=90°，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF；（2）AE=AF+AB由（1）知，點A、B、E、F四點共圓，CD為⊙O的直徑，∴∠BEA=∠BFA，BF=BE，∠EBC=∠DBF=∠DAE=90°，∴△EBC≌△FBD（ASA），∴BC=BD，CE=DF，∵∠CAB=∠DAB=45°，∠ABC=∠ADC，∠BCD=45°，∴△ACB∽△APD∽△CPB，∴，∴AC?AD=AP?AB，BC2=BP?AB，∵CD為直徑，∴AC2+AD2=CD2=2BC2，∴（AC+AD）2=AC2+AD2+2AC?AD=2BC2+2AC?AD=2BP?AB+2AP?AB=2AB?（BP+AP）=2AB2，∴AC+AD=AB，∴AE=CE+AC=DF+AC=AF+DA+AC=AF+AB，∴【點睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識，綜合性較強，對等式進行恒等變形是解題的關(guān)鍵．26．（1）見解析；（2）1【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得OE⊥AB，再依據(jù)題中已知條件E是AB中點，根據(jù)等腰三角形的判定即可證明線段相等；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及切線長定理可得，再由三個角之間的等量關(guān)系可得：，設(shè)⊙O的半徑為r，則，在和中，兩次應(yīng)用勾股定理，求解方程即可得出圓的半徑．【詳解】解：（1）證明：在⊙O中，連接，∵直線AB與⊙O相切于點E，∴OE⊥AB．∵E是AB中點，∴；（2）解：∵，∴．∵，∴AE，AC是⊙O的切線，∴，（切線長定理）∴，∵，∴，設(shè)⊙O的半徑為r，則，在中，，∴，在中，∵，，∴，解得，∴⊙O的半徑為1．【點睛】題目主要考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、切線長定理、勾股定理等，理解題意，作出輔助線，綜合運用各個性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．27．（1）①4；2；②m的范圍為2≤m≤6或m=2-；（2）-2≤xC≤．【分析】（1）①連結(jié)PO并延長，交⊙O于Q1，Q2，找到最小值為PQ1，最大值PQ2，作差PQ2-PQ1=Q1Q2=4，根據(jù)⊙O的半徑為2，求出點A（-2，0），點B（2，0），點P（2，3），由點B與點P的橫坐標(biāo)相同，可得PB⊥x軸，求出最小值PB=3，最大值PA=，AB的“寬度”為AP-BP=5-3=2即可，；②當(dāng)點G在點A的右邊，AG的“寬度”為2，最小值PB=3，最大值PG=3+2=5，根據(jù)勾股定理BG=，分情況討論當(dāng)-2≤m＜2時，PA-PG＜2，當(dāng)m＞6時，PG-PB＞2，不滿足條件，可得2≤m≤6，PG最大-PB=2，當(dāng)點G在點A左側(cè)，只有一點；（2）根據(jù)⊙C的“寬度”可以為2，r＞1，2r＞2，可得點K在⊙C內(nèi)部，由點K在DE上，可以看作以點C為圓心，以1為半徑的圓與線段DE有交點的心軌跡，當(dāng)點K與點D重合時，可得xC=-2,，當(dāng)以點C為圓心，1為半徑的圓與DE相切時,切點為K，DK=CK=1，根據(jù)勾股定理可求DC=，再求出此時xC=即可．【詳解】解：（1）①連結(jié)PO并延長，交⊙O于Q1，Q2，最小值為PQ1，最大值PQ2，∴PQ2-PQ1=Q1Q2=4，∵⊙O的半徑為2，∴點A（-2，0），點B（2，0），點P（2，3），∵點B與點P的橫坐標(biāo)相同，∴PB⊥x軸，最小值PB=3，最大值PA=，∴AP-BP=5-3=2，故答案為4；2；②當(dāng)點G在點A的右邊，AG的“寬度”為2，∵最小值PB=3，最大值PG=3+2=5，根據(jù)勾股定理BG=，當(dāng)-2≤m＜2時，PA-PG＜2，當(dāng)m＞6時，PG＞PA，PG-PB＞2，∴2≤m≤6，PG最大-PB=2，當(dāng)點G在點A左側(cè)，最小值PA=5，AG的“寬度”為2，最大值PG=5+2=7，在Rt△PBG中，BG=，∴點G（2-，0），∴m=2-，綜合m的范圍為2≤m≤6或m=2-；（2）∵一次函數(shù)y＝x＋1的圖象與x軸，y軸分別交于點D，E．∴當(dāng)x=0時，y=1，當(dāng)y=0時，x=-1，點D（-1，0），點E（0，1），∵OD=OE=1，∴∠DEO=∠EDO=45°，∵⊙C的“寬度”可以為2，r＞1，2r＞2，∴點K在⊙C內(nèi)部，點K在DE上，以點C為圓心以1為半徑的圓與線段DE有交點，當(dāng)點K與點D重合時，xC=-2,當(dāng)以點C為圓心，1為半徑的圓與DE相切時,切點為K，CK⊥DE，∴∠KCD=180°-∠DKC-∠KDC=180°-90°-45°=45°=∠KDC，∴DK=CK=1，∴DC=，此時xC=，∴在點K的視角下，⊙C的“寬度”可以為2，圓心C的橫坐標(biāo)xC的取值范圍為:-2≤xC≤．【點睛】本題考查新定義“寬度”，點與圓的最大距離與最小距離，勾股定理，直線與圓相切的性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，掌握新定義“寬度”，點與圓的最大距離與最小距離，勾股定理，直線與圓相切的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．28．（1）見解析；（2）．【分析】（1）連接OE，根據(jù)切線的性質(zhì)得，則可判斷OE垂直平分AB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先證明AO平分，再證明，可得出AC和CD的值，最后根據(jù)勾股定理即可得出答案．【詳解】（1）證明：連接OE，如圖：以CD為直徑的⊙O與直線AB相切于點E，E是AB中點，OE垂直平分AB（2）AO平分