因式分解經(jīng)典題及解析(同名13182)

2013組卷1．在學(xué)習(xí)因式分解時(shí)，我們學(xué)習(xí)了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事實(shí)上，除了這兩種方法外，還有其它方法可以用來(lái)因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3時(shí)，顯然既無(wú)法用提公因式法，也無(wú)法用公式法，怎么辦呢？這時(shí)，我們可以采用下面的辦法：x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣①=（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣②=…解決下列問題：（1）填空：在上述材料中，運(yùn)用了_________的思想方法，使得原題變?yōu)榭梢岳^續(xù)用平方差公式因式分解，這種方法就是配方法；（2）顯然所給材料中因式分解并未結(jié)束，請(qǐng)依照材料因式分解x2+2x﹣3；（3）請(qǐng)用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5．2．請(qǐng)看下面的問題：把x4+4分解因式分析：這個(gè)二項(xiàng)式既無(wú)公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢19世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家蘇菲?熱門抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必須添一項(xiàng)4x2，隨即將此項(xiàng)4x2減去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲?熱門給出這一解法，就把它叫做“熱門定理”，請(qǐng)你依照蘇菲?熱門的做法，將下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．3．下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進(jìn)行因式分解的過(guò)程．解：設(shè)x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列問題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的_________．A、提取公因式B．平方差公式C、兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底_________．（填“徹底”或“不徹底”）若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果_________．（3）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進(jìn)行因式分解．4．找出能使二次三項(xiàng)式x2+ax﹣6可以因式分解（在整數(shù)范圍內(nèi)）的整數(shù)值a，并且將其進(jìn)行因式分解．5．利用因式分解說(shuō)明：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù)．6．已知關(guān)于x的多項(xiàng)式3x2+x+m因式分解以后有一個(gè)因式為（3x﹣2），試求m的值并將多項(xiàng)式因式分解．7．已知多項(xiàng)式（a2+ka+25）﹣b2，在給定k的值的條件下可以因式分解．請(qǐng)給定一個(gè)k值并寫出因式分解的過(guò)程．8．先閱讀，后解題：要說(shuō)明代數(shù)式2x2+8x+10的值恒大于0還是恒等于0或者恒小于0，我們可以將它配方成一個(gè)平方式加上一個(gè)常數(shù)的形式，再去考慮，具體過(guò)程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次多項(xiàng)式）=2（x2+4x+22﹣22+5）=2[（x+2）2+1]（將二次多項(xiàng)式配方）=2（x+2）2+2（去掉中括號(hào)）因?yàn)楫?dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，代數(shù)式2（x+2）2的值一定是非負(fù)數(shù)，那么2（x+2）2+2的值一定為正數(shù)，所以，原式的值恒大于0，并且，當(dāng)x=﹣2時(shí)，原式有最小值2．請(qǐng)仿照上例，說(shuō)明代數(shù)式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0還是恒小于0，并且說(shuō)明它的最大值或者最小值是什么．9．老師給學(xué)生一個(gè)多項(xiàng)式，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別給了一個(gè)關(guān)于此多項(xiàng)式的描述：甲：這是一個(gè)三次三項(xiàng)式；乙：三次項(xiàng)系數(shù)為1；丙：這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式；?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法；若已知這四位同學(xué)的描述都正確，請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿足這個(gè)描述的一個(gè)多項(xiàng)式．10．在對(duì)某二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，甲同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而將其分解為2（x﹣1）（x﹣9），而乙同學(xué)看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，而將其分解為2（x﹣2）（x﹣4），請(qǐng)你判斷正確的二次三項(xiàng)式并進(jìn)行正確的因式分解．11．觀察李強(qiáng)同學(xué)把多項(xiàng)式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的過(guò)程：解：設(shè)x2+6x=y，則原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答問題：這位同學(xué)的因式分解是否徹底？若不徹底，請(qǐng)你直接寫出因式分解的最后結(jié)果：_________．（2）仿照上題解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x﹣3）+4．12．（1）寫一個(gè)多項(xiàng)式，再把它分解因式（要求：多項(xiàng)式含有字母m和n，系數(shù)、次數(shù)不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．（2）閱讀下列分解因式的過(guò)程，再回答所提出的問題：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①=（1+x）2（1+x）②=（1+x）3③①上述分解因式的方法是_________，由②到③這一步的根據(jù)是_________；②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，結(jié)果是_________；③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n為正整數(shù)）．13．閱讀下面的材料并完成填空：因?yàn)椋▁+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式x2+px+q的因式解，就是把常數(shù)項(xiàng)q分解成兩個(gè)數(shù)的積且使這兩數(shù)的和等于p，即如果有a，b兩數(shù)滿足a﹒b=a+b=p，則有x2+px+q=（x+a）（x+b）．如分解因式x2+5x+6．解：因?yàn)?×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．再如分解因式x2﹣5x﹣6．