線性代數(shù)期末考試重點

線性代數(shù)期末考試重點LTA的所有的特征值均不等于零求法：①伴隨矩陣法：②初等變換法：或，E是單位矩陣性質：（1）矩陣可逆，則的逆矩陣是唯一的（2）設是階矩陣，則有下列結論①若可逆，則也可逆，且②若可逆，則③若可逆，數(shù)也可逆，且，則可逆，且④若為同階矩陣且均可逆，則也可逆，且5．方陣A的行列式：滿足下述運算規(guī)律（設為階方陣，為數(shù)）6．伴隨矩陣：行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構成的如下的矩陣，稱為矩陣的伴隨矩陣（注意行與列的標記的不同）伴隨矩陣具有性質：常見的公式有：①等7．初等矩陣：由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換后所得的矩陣稱為初等矩陣。三種初等變換對應著三種初等矩陣，分別記為：（1）（2）（3）（互換E的第、列）（E的第行乘以不為零的數(shù)）（把E的行的倍加到第行上）初等矩陣具有下述性質：初等矩陣的轉置仍為初等矩陣；初等矩陣都是可逆矩陣，其逆矩陣仍為初等矩陣且、、；初等矩陣的行列式分別是-1，k,1。8．矩陣的初等變換：初等行變換:下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：1對調兩行；記為2以數(shù)乘某一行中的所有元素；記為對換第行第行乘3把某一行所有元素的倍加到另一行對應的元素上去；記為中矩陣的行換成列，即得矩陣的初等列變換的定義.第行倍加到第行上。把定義矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱矩陣初等變換矩陣的初等變換與初等矩陣的關系：設A是一個矩陣，則1對A施行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應的階初等矩陣；2對A施行一次初等列變換，相當于在A的右邊乘以相應的階初等矩陣9．矩陣的等價：如果矩陣經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與矩陣B等價。且若矩陣經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B行等價；若僅經(jīng)過初等列變換，就稱A與B列等價。設為矩陣與行等價與列等價等價階可逆矩陣，使得階可逆矩陣，使得階可逆矩陣，階可逆矩陣，使得利用矩陣的初等變換解矩陣方程，，，可以：，可以：，從而解出X。10．矩陣的秩：非零子式的最高階數(shù)。記為求法：A行階梯形矩陣B，=B的非零行的行數(shù)。相關公式：若A是矩陣，則=若設為，則矩陣，均為可逆矩陣，則若均為矩陣，則⑧若，則11．分塊矩陣：主要記?。海?）分塊對角矩陣：設為階方程，若的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且非零子塊都是方塊，即其行列式與逆矩陣具有下述性質：②若，則，故可逆，并有:,則③設是階方陣,是階方陣,,且另有：（2）設有分塊矩陣，其中分別為階、階可逆矩陣，則矩陣可逆且（3）設有分塊矩陣，其中分別為階、階可逆矩陣，則矩陣可逆且第三部分向量組1．線性組合：給定向量組A：，對于任意一組實數(shù)，稱向量為向量組的一個線性組合，稱為該線性組合的系數(shù)。給定向量組A：和向量，如果存在一組數(shù)，使得=則向量是向量組A的線性組合，也稱向量可以由向量組A線性表示向量能由向量組A線性表示方程組有解矩陣A=（）的秩等于矩陣B=(，)的秩2．等價：設有兩個向量組A：及B：，若B中的每個向量都可以由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向量組B能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價。記為：（主要結論：）（）（1）矩陣A與B若行等價，則A的行向量組與B的行向量組等價；若矩陣A與B若列等價，則A的列向量組與B的列向量組等價（2）向量組B：AX=B有解能由向量組A:線性表示存在矩陣K，使得B=AK方程（3）向量組A:與向量組B：能由向量組A:等價，其中，A,B是向量組構成的矩陣（4）向量組B：線性表示，則R()R()3．線性相關與線性無關對向量組A：，如果存在不全為零的一組數(shù)，使得：則稱向量組A是線性相關的，否則稱為線性無關，都是零時才能使（Ⅲ）式成立，則也就是說當且僅當主要結論：線性無關。（1）向量組線性相關齊次線性方程組有非零解它所構成的矩陣=（）的秩小于；同樣線性無關僅有零解（2）n個n維向量，線性相關行列式，線性無關行列式（3）m個n維向量，當維數(shù)時，向量組一定線性相關。特別地，個維向量必線性相關；一定線性相關；反之，向（4）若向量組A：線性相關向量組B:量組B若線性無關向量組A線性無關或敘述為：整體無關，則任意部分無關；只要有一部分相關，則整體相關；（5）若向量組A：線性無關，而向量組B:,線性相關必能由向量組A線性表示，且表達式唯一（6）若維向量組線性無關，則在每一個向量上再添加個分量所得到的維向量組也是線性無關的（7）向量組A：線性相關其中至少有一個向量是其余個向量的線性組合；線性無關每一個向量都不能由其余向量線性表示。（8）如果向量組A：可由向量組B:線性表示，并且向量組A：線性相關；（逆否命題:A：線性無關且可由向量組B線性表示）4．最大（極大）線性無關組：設有向量組A，如果在A中能選出個向量，滿足（1）向量組：線性無關；（2）向量組A中任意個向量（如果A中有個向量的話）都是線性相關的那么稱是向量組A的一個最大（極大）線性無關部分組條件（2）也可以改為：向量組A中任意一個向量都可以由結論:線性表示，①一個向量組的極大無關組是它的線性無關部分組中個數(shù)最多的那一個②一個向量組的極大無關組不是唯一的③向量組的任意一個極大無關組所含向量的個數(shù)是唯一確定的④若向量組線性無關，其極大無關組就是其本身⑤任一向量組和它的極大無關組等價⑥向量組中任意兩個極大無關組等價5．向量組的秩：向量組中極大無關組所含向量的個數(shù)稱為向量組A的秩。記為：（）主要結論：（1）如果向量組與向量組，則等價，則它們的秩相等（2）如果向量組可由向量組線性表示，且，（3）矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩6．向量空間：設V為維向量的集合，如果集合V非空，且集合V對于加法及乘數(shù)兩種運算封閉，那么就稱V為向量空間。（1）設是兩個已知的維向量，則集合是一個向量空間。稱為由向量所生成的向量空間。（2）向量空間的基---設為向量空間，如果個向量，且滿足①線性無關；則稱向量組（3）在（中任何一個向量都可以由線性表示是向量空間的一個基，稱為向量空間的維數(shù)，并稱為維向量空間。中取定一個基，再取一個新基，設（），），則=稱為從舊基到新基的過渡矩陣7．向量的內積：(1)設有維向量，，令，稱為向量與的內積.當與都是列向量時，有.(2)內積具有下列性質（其中為維向量，為實數(shù)）：；；.④當時，；當時，⑤施瓦茨（Schwarz）不等式(3)向量的長度：=，稱為維向量的長度。（范數(shù)）.(4)向量的正交----當時，稱向量與正交.(5)正交向量組----兩兩正交的非零向量組稱為正交向量組.正交向量組的性質若維向量是一組兩兩正交的非零向量組，則線性無關.（6）施密特（Schimidt）正交化過程：設是線性無關的：??；，….兩兩正交，且與等價第四部分線性方程組1．解的判定：線性方程組其系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別記為：，或（A,b）=則方程組的矩陣表示形式為：若記：，，，則方程組的向量形式為：判定定理：元非齊次線性方程組且有唯一解有解，有無窮多解對應的齊次線性方程組，稱謂原方程組的導出組。有結論：①元齊次線性方程組僅有零解系數(shù)矩陣的秩元齊次線性方程組有非零解系數(shù)矩陣的秩②若系數(shù)矩陣A為方陣，則有：元齊次線性方程組僅有零解元齊次線性方程組有非零解2．基礎