華南理工大學(xué)200901期末考試2學(xué)分A解答

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》試卷第10頁(yè)共10頁(yè)一、假設(shè)一枚彈道導(dǎo)彈擊沉航空母艦的概率為，擊傷的概率為，擊不中的概率為，并設(shè)擊傷兩次也會(huì)導(dǎo)致航空母艦沉沒(méi)，求發(fā)射4枚彈道導(dǎo)彈能擊沉航空母艦的概率？解：設(shè)＝｛第i枚彈道導(dǎo)彈擊沉航空母艦｝，＝｛第i枚彈道導(dǎo)彈擊傷航空母艦｝＝｛第i枚彈道導(dǎo)彈沒(méi)有擊中航空母艦｝，i＝1，2，3，4D＝｛發(fā)射4枚彈道導(dǎo)彈能擊沉航空母艦｝，，，i＝1，2，3，4=0.99二、在某種牌賽中，5張牌為一組，其大小與出現(xiàn)的概率有關(guān)。一付52張的牌（四種花色：黑桃、紅心、方塊、梅花各13張，即2-10、J、Q、K、A），求（1）同花順（5張同一花色連續(xù)數(shù)字構(gòu)成）的概率；（2）3張帶一對(duì)（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字相同構(gòu)成）的概率；（3）3張帶2散牌（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字不同構(gòu)成）的概率。解：（1）A＝｛同花順（5張同一花色連續(xù)數(shù)字構(gòu)成）｝（2）A＝｛3張帶一對(duì)（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字相同構(gòu)成）｝（3）A＝｛3張帶2散牌（3張數(shù)字相同、2張數(shù)字不同構(gòu)成）｝三、某安檢系統(tǒng)檢查時(shí)，非危險(xiǎn)人物過(guò)安檢被誤認(rèn)為是危險(xiǎn)人物的概率是0.02；而危險(xiǎn)人物又被誤認(rèn)為非危險(xiǎn)人物的概率是0.05。假設(shè)過(guò)關(guān)人中有96%是非危險(xiǎn)人物。問(wèn)：（1）在被檢查后認(rèn)為是非危險(xiǎn)人物而確實(shí)是非危險(xiǎn)人物的概率？（2）如果要求對(duì)危險(xiǎn)人物的檢出率超過(guò)0.999概率，至少需安設(shè)多少道這樣的檢查關(guān)卡？解：（1）設(shè)A＝｛被查后認(rèn)為是非危險(xiǎn)人物｝，B＝｛過(guò)關(guān)的人是非危險(xiǎn)人物｝，則（2）設(shè)需要n道卡，每道檢查系統(tǒng)是相互獨(dú)立的，則Ci={第i關(guān)危險(xiǎn)人物被誤認(rèn)為非危險(xiǎn)人物}，，所以，，即=[3.0745]+1=4四、隨機(jī)變量服從，求的密度函數(shù)解：當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，五、設(shè)隨機(jī)變量X、Y的聯(lián)合分布律為：XXY-1012-2a000-10.14b0000.010.020.03010.120.130.140.15已知E(X+Y)=0，求：(1)a，b；（2）X的概率分布函數(shù)；（3）E(XY)。解：聯(lián)立解得：，（2）X的概率分布函數(shù)：XX-2-1010.170.230.060.54（3）E(XY)＝六、（10分）某學(xué)校北區(qū)食堂為提高服務(wù)質(zhì)量，要先對(duì)就餐率p進(jìn)行調(diào)查。決定在某天中午，隨機(jī)地對(duì)用過(guò)午餐的同學(xué)進(jìn)行抽樣調(diào)查。設(shè)調(diào)查了n個(gè)同學(xué)，其中在北區(qū)食堂用過(guò)餐的學(xué)生數(shù)為m，若要求以大于95%的概率保證調(diào)查所得的就餐頻率與p之間的誤差上下在10%以內(nèi)，問(wèn)n應(yīng)取多大？解：，因，；因?yàn)?，?96.04即七、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域：上服從均勻分布。（1）求(X,Y)的聯(lián)合概率密度及邊緣概率密度；（2）已知，求參數(shù)a、b；（3）判斷隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立？解：（1）二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度：邊緣概率密度：，（2），（3）隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，因?yàn)榘?、證明：如果存在，則解：九、（12分）設(shè)（X，Y）的密度函數(shù)為，（1）、常數(shù)A；（2）P(X<0.4，Y<1.3)；（3）；（4）EX，DX，Cov(X，Y)。解：（1）＝1，A＝4（2）P(X<0.4，Y<1.3)＝（3）（4），，十、電視臺(tái)有一節(jié)目“幸運(yùn)觀眾有獎(jiǎng)答題”：有兩類題目，A類題答對(duì)一題獎(jiǎng)勵(lì)1000元，B類題答對(duì)一題獎(jiǎng)勵(lì)500元。答錯(cuò)無(wú)獎(jiǎng)勵(lì)，并帶上前面得到的錢(qián)退出；答對(duì)后繼續(xù)答題，并假設(shè)節(jié)目可無(wú)限進(jìn)行下去（有無(wú)限的題目與時(shí)間），選擇A、B類型題目分別由拋硬幣的正、反面決定。已知某觀眾A類題答對(duì)的概率都為0.4，答錯(cuò)的概率都為0.6；B類題答對(duì)的概率都為0.6，答錯(cuò)的概率都為0.4。（1）求該觀眾答對(duì)題數(shù)的期望值。（2）求該觀眾得到獎(jiǎng)勵(lì)金額的期望值。解：（1）設(shè)表示該觀眾答對(duì)題數(shù)，則第+1次解答答錯(cuò)（即首次出錯(cuò)）。答對(duì)一題的概率為答錯(cuò)一題的概率為0.5所以；（2）觀眾得到獎(jiǎng)勵(lì)金額的期望值：令，則，=或：答一題得到獎(jiǎng)金的期望為：進(jìn)入第k題答題環(huán)節(jié)的概率為：因此，總獎(jiǎng)金的期望為：一．一個(gè)盒子中裝有4個(gè)白球、6個(gè)紅球，現(xiàn)投擲一枚均勻的骰子，骰子投擲出幾點(diǎn)就從盒中無(wú)放回地取幾個(gè)球。試求：（1）所取的全是白球的概率；（2）如果已知取出的都是白球，那么骰子所擲的點(diǎn)數(shù)恰為3的概率是多少？解：令A(yù)={取的全是白球}，Bj={骰子投擲出j點(diǎn)}（1），=2/21（2）=7/120二．設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的分布列為且（1）求、b；（2）求出X的邊緣分布列；（3）寫(xiě)出X的分布函數(shù)。解：（1）0.4+0.2+a+b=1聯(lián)立方程解得:(2)X的邊緣分布列:X12P0.60.4(3)X的分布函數(shù):三．設(shè)X服從（0，1）上均勻分布，（1）求的密度函數(shù)；（2），求一個(gè)，使得。解:X的密度函數(shù):lnX<0（1）當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)密度函數(shù)：當(dāng)（不做也給分），時(shí)（2）四．一袋中有10只白球、15只黑球、20只紅球。球除顏色外其他均相同。從袋中任取一球，放回后同時(shí)再放進(jìn)5只與該球同色的球，如此進(jìn)行下去。（1）求第2次取到紅球的概率；（2）求在第2次取到紅球的條件下，第1次也是取到紅球的概率；解：（1）A={第一次取得白球}，B={第一次取得黑球}，C={第一次取得紅球}，，，D={第2次取到紅球}，，，P（D）=++=（2）五．設(shè)（）的聯(lián)合密度函數(shù)是：，（1）說(shuō)明A=6/7；（2）求X的密度函數(shù)；（3）求P(X>Y)。解：（1），（2）X的密度函數(shù)：（3）六．設(shè)（X，Y）的密度函數(shù)為求（1）系數(shù)A；（2）EX，EY，DX，DY；（3）X，Y的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)。解：（1），（2）（3）X、Y協(xié)方差：X、Y相關(guān)系數(shù)：七．假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8。要使一批產(chǎn)品的合格率達(dá)到在76%與84%之間的概率不小于90%，問(wèn)這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？試用如下兩種指定的方法求解：（1）使用契比雪夫不等式。（2）使用中心極限定理。解：假設(shè)這批產(chǎn)品生產(chǎn)n件，令，則，，通過(guò)確定n。（1）使用契比雪夫不等式，，這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)1000件（2）使用中心極限定理，，這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)271件八．電視臺(tái)有一節(jié)目“幸運(yùn)觀眾有獎(jiǎng)答題”：第k題答對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)k1000元。答錯(cuò)則得-(k-1)1000元，并帶上余下的錢(qián)退出；答對(duì)后繼續(xù)答題。假設(shè)最多只可答5題。已知某觀眾答對(duì)第一題的概率為0.8，以后題的難度成倍增加，即答對(duì)題的概率為答對(duì)前面一題概率的一半。（1）求該觀眾答對(duì)題數(shù)的期望值；（2）求該觀眾得到獎(jiǎng)勵(lì)金額的期望值；（3）該觀眾應(yīng)采取何種答題策略才能得到最大期望獎(jiǎng)勵(lì)金額？解：設(shè)該觀眾答對(duì)題數(shù)為X，則X服從分布為計(jì)算過(guò)程為：，，，，觀眾答對(duì)題數(shù)的期望值:(2)觀眾得到獎(jiǎng)勵(lì)金額Y的期望值:(3)當(dāng)答某題期望獎(jiǎng)勵(lì)金額<0時(shí)，就選擇不答該題，答k題獎(jiǎng)勵(lì)