2022年河南省方城縣九年級中招模擬考試一（一模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022年中招模擬考試（一）數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)

是正確的.

1.-工的相反數(shù)是（）

2

A.—2B.2C.---D.工

22

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0即可求解.

【詳解】解：因?yàn)?3+!=0，

所以的相反數(shù)是g.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，掌握相反數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.下列幾何體中，主視圖與俯視圖不相同的是（）

【答案】B

【解析】

【詳解】分析：根據(jù)主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的

圖形進(jìn)行分析.

詳解：四棱錐的主視圖與俯視圖不同.

故選BU

點(diǎn)睛：本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵.注意所有的看到的棱都應(yīng)表示在

三視圖中.

3.某紅外線遙控器發(fā)出的紅外線波長為0.00000094m,用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)是

（）

A.9.4xl0-7mB.9.4xl07mC.9.4xl0-8mD.

9.4xIO?m

【答案】A

【解析】

【詳解】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為axl(yn,與較大數(shù)的

科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)暴，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的

0的個(gè)數(shù)所決定

0.00000094=9.4x10-7.

故選A.

4.下列運(yùn)算正確的是()

A.a-2a—aB.(-4%)-a('b2

C.(a+bf=a2+b2D.6,xa

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的合并、幕的運(yùn)算法則、完全平方公式、二次根式的乘法法則即可完

成.

【詳解】A、a-2a=-a^a,故運(yùn)算錯(cuò)誤；

B、(-a3b)2=a6b1,故運(yùn)算正確；

C、+=a2+2ab+b2a2+b2,故運(yùn)算錯(cuò)誤；

D、->/2xV6—y[\2—2\/3,故運(yùn)算錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了同類項(xiàng)的合并、幕的運(yùn)算法則、完全平方公式、二次根式的乘法法則

等法則與公式，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

5.如圖，直線?！ㄘ?，ACLAB,ZC交直線力于點(diǎn)C,小=52。，則口2等于()

B.32°C.30°D.38°

【答案】D

【解析】

【分析】由直角三角形的兩銳角互余求出的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平

行，同位角相等即可求出/2的度數(shù).

詳解】VAC±AB,

：.ZBAC=90°,

Zl=52°,

/.ZB=90°-Zl=38°,

,:a〃b,

.\Z2=Z5=380,故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行同位角

相等是解答的關(guān)鍵.

6.若關(guān)于x的一元二次方程3—l)V—2x+2=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)。的最大值為

()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可求解.

【詳解】解：?.?一元二次方程(a—l)Y-2x+2=0有實(shí)數(shù)根，

,3

2解得

Z?-4ac=(-2)~-4x2(a-l)>0,

Ya取最大整數(shù)且

，a=0；

故選B

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解

題的關(guān)鍵.

7.如圖，在口/8。。中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，的長為半徑作弧，交

AO于點(diǎn)E;②分別以點(diǎn)S.E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在㈤。的內(nèi)

2

部交于點(diǎn)G,連接AG并延長交8c于點(diǎn)F.若AB=5,BE=6,則A尸的長是

()

/ED

G

BFC

A.4B.6C.8D.10

【答案】c

【解析】

【分析】如圖，設(shè)A尸交防于點(diǎn)。，連接EE,證明四邊形A5EE，由菱形的性質(zhì)得出

BE±AF，OB=OE=、BE=3,A/=2AO,然后由勾股定理得出

2

AO7AB°-OB。即可?

【詳解】解：設(shè)4F交的于點(diǎn)。，連接

由作圖知：AB=AE,ZBAF=ZEAF,

V四邊形A5CO是平行四邊形，

；?AD//BC,

；?N￡AF=ZAFB，

■■-ZBAF=ZAFB.

AB=BF=AE，

四邊形ABFE是平行四邊形，

又AB=AE，

四邊形A6FE是菱形，

又：A3=5,BE-6,

AAF=2OA^2OF,OB=OE=LBE=3,BE1AF，

2

在放AABO中，ZAOB=90°,

AO=VAB2—OB1—A/52-32=4，

AF=2OA=8.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查作圖一復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，勾股定理等知

識(shí).證明四邊形A5正是菱形是解題的關(guān)鍵.

8.在四張背面完全相同的卡片上分別印有正方形、正五邊形、正六邊形、圓的圖案，現(xiàn)將

印有圖案的一面朝下，混合后從中隨機(jī)抽取兩張，則抽到卡片上印有的圖案都是中心對稱

圖形的概率為（)

【答案】C

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與抽到卡片上印

有的圖案都是中心對稱圖形的情況，再利用概率公式求解即可求得答案.

【詳解】解：分別用A、B、C、D表示正方形、正五邊形、正六邊形、圓，

其中正方形、正六邊形、圓是中心對稱圖形，

畫樹狀圖得：

開始

ABCD

/1\/NZN/1\

BCDACDABDABC

?.?共有12種等可能的結(jié)果，抽到卡片上印有的圖案都是中心對稱圖形的有6種情況，

，抽到卡片上印有圖案都是軸對稱圖形的概率為：4=-.

122

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是中心對稱圖形的概念，用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫

樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀

圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

9.如圖，一次函數(shù)丁=工+血的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)/、B,把直線A3繞點(diǎn)8順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。交x軸于點(diǎn)C,則線段AC長為（）

C.2+73D.

6+&

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式求出點(diǎn)N和點(diǎn)8坐標(biāo)，得到△0/8為等腰直角三角形和

的長，過點(diǎn)C作COLZ8,垂足為。，證明△48為等腰直角三角形，設(shè)CZ>/Z>x,結(jié)

合旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，用兩種方法表示出8。，得到關(guān)于x的方程，解之即可.

【詳解】解：；一次函數(shù)y=x+0的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)4B,

令x=0,貝U尸血,令尸0,則％=一正，

則Z（-72，0）,B（0,V2）,

則△ON8為等腰直角三角形，乙48。=45。，

；.70+曲=2,

過點(diǎn)C作CD_LZB,垂足為。，

ZCAD=ZOAB=45°,

為等腰直角三角形，設(shè)CZ>4>x,

，心y/AD2+CD2二夜x，

:旋轉(zhuǎn),

：.ZABC=30°,

：.BC=2CD=2x,

.?.瓦”JBC2_C￡>2=岳,

又BD=AB+AD=2+x,

2+x=yfix,

解得：行6+1,

：.AC=y/2x=y/2（73+1）=\/6+V2，

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角

三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，知識(shí)點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是作出輔助

線，構(gòu)造特殊三角形.

10.如圖，平行四邊形/BCD中，對角線ZC、8。相交于點(diǎn)O,且NC=6,BD=8,P是對

角線8。上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作EFIZ/C,與平行四邊形的兩條邊分別交于點(diǎn)E、F.設(shè)BP

=x,EF=y,則能大致表示y與x之間關(guān)系的圖象為（)

【解析】

【分析】根據(jù)圖形先利用平行線的性質(zhì)求出△BEFS/SB/C,再利用相似三角形的性質(zhì)得出

x的取值范圍和函數(shù)解析式即可解答

【詳解】當(dāng)02時(shí)，

「BO為△/8C的中線，EF//AC,

.?.8P為A8E/的中線，ABEFS^B4C,

BP—EF,即x二=v2，解得y=3

BOAC462'

3

同理可得，當(dāng)4〈爛8時(shí)，y=-（8-x）.

故選4

【點(diǎn)睛】此題考查動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解題關(guān)鍵在于利用三角形的相似

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.比一3小3的數(shù)是.

【答案】-6

【解析】

（分析］根據(jù)有理數(shù)的減法法則即可完成計(jì)算.

【詳解】一3-3=—6

故答案為：—6

【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)減法的應(yīng)用，根據(jù)題意列出算式是關(guān)鍵.

12.如圖，DE為LM8C的中位線，點(diǎn)尸在DE上，且N/FB=90。，若Z8=6,BC=8,則

EF=—.

【解析】

【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出。尸，據(jù)此計(jì)算即

可.

【詳解】解：口。芯為M8C的中位線，

QDE=^BC=4,

VZAFB=90°,。是N8的中點(diǎn)，

：.DF=^AB=3,

□EF=DE-DF=4-3=1.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平

行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

13.已知一組數(shù)據(jù)：a、4、5、6、7的平均數(shù)為5,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是.

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義先算出。的值，再把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，找出最中間

的數(shù)，即為中位數(shù).

【詳解】解：；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,

EJO+4+5+6+7

則-------------=5,

解得：。=3,

將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列為：3,4,5,6,7,

觀察數(shù)據(jù)可知最中間的數(shù)是5,

則中位數(shù)是5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)和中位數(shù)的意義.中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到

?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個(gè)數(shù)（或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

14.如圖，在扇形CU8中，已知“108=90。，OA=O,過的中點(diǎn)C作CDU04,

CEOB,垂足分別為。、E,則圖中陰影部分的面積為

7T

［答案】---1

2

【解析】

【分析】連接OC，根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形CZJOE是矩形，再根據(jù)AAS證明

△CODZOE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到從而得到矩形CAOE是正方形,

求出正方形的邊長，再根據(jù)扇形和正方形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，連接0C,

'：CDLOA,CEVOB,

二ZCDO=ZCEO=ZA(95=90°,

四邊形COOE是矩形，

???點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，

ZAOC=ZBOC,

在△COZ)與△COE中，

Z.CDO=4CEO

,NAOC=NBOC,

oc=oc

：.△CODJ△CO￡(AAS),

OD=OE,

，矩形CCOE是正方形，

'：OC=OA=y/2，

/.2OE2=OC2=(V2)\

□□O￡=l,

圖中陰影部分的面積=9°〃x(8)］：］=乃i

3602

7T

故答案為：--1.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系、扇形面積的計(jì)算、矩形的判定、正方形的判

定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，正確識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，408=30。，04=4,。為。4的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是射線08上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)

AP,DP,將A4DP沿。尸折疊，折疊后得到4。以,，當(dāng)△。以'與ZOOP的重疊部分的面積

恰好為4ODP面積的一半時(shí)，0P的長為一

【答案】2或26##2#或2

【解析】

【分析】分兩種情況討論：①若為’與力。交于點(diǎn)E連接"。，易得SADF『LS.OD『L

22

S^DP,即可得到。尸=,。。=。尸，PF=-A'P=A'F.從而可得四邊形4APO是平行四邊

22

形，即可得到Of。，從而可求出。尸；②若DH與0C交于點(diǎn)G,連接44，，交。尸與

H,如圖，同理可得GP=OG,DG=-DA'=\,根據(jù)三角形中位線定理可得/42,此時(shí)點(diǎn)P

2

與點(diǎn)C重合，從而可求出0P.

【詳解】解：①若為’與為04交于點(diǎn)尸，連接⑷。，如圖.

?.?點(diǎn)。是的中點(diǎn),

：.OD=AD=1.

由折疊可得4。=/。=2,

由題可得SdDF產(chǎn)—SAOZV>=—SziD產(chǎn)—SAHOP,

222

DF=-OD=OF,PF=-A'P=A'F.

22

/.四邊形A'DPO是平行四邊形，

：.OP=A'D=2；

②若DT與8。交于點(diǎn)G,連接4T,交DP與H,如圖.

B

同理可得GP=，OP=OG,DG=-DA'=-^2=\.

222

\'OD=AD,

I

：.DG=-AP=\,

2

：.AP=2,

過點(diǎn)A作/CL05于點(diǎn)C,

：408=30。，OA=4,

：.AC=2,

.,.點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，

：.0P=0C=26.

故答案為：2或2G.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)、30。角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、

平行四邊形的判定與性質(zhì)、等高三角形的面積比等于底的比、三角形中位線定理等知識(shí)，

運(yùn)用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵.

三、解答題（本題共8題，滿分75分）

16.先化簡，再求值：（彳-2+=］尸+2*,其中

Ix+2Jx+2

、T

x=(^--2022)°-V4+-

【解析】

【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算順序進(jìn)行：先算括號再算除法，最后約分即可化簡；再求出工的

值，并把X的值代入化簡后的式子中即可求得值.

?、斗（c3、x2+2x+1

【詳解】解：X-2+-----k-----------

Ix+2Jx+2

(x+2)(x-2)3x+2

X-------------7

x+2x+2(x+l)-

廠―1x+2

--------x-----------

x+2(x+1)

(x+l)(x-l)x+2

x+2-X(x+1)2

x-1

-x+T

???x=(^-2022)°-V4+W=1-2+3=2

???原式=馬4

2+13

【點(diǎn)睛】本題是分式的化簡求值，考查了分式的混合運(yùn)算，算術(shù)平方根的計(jì)算、零指數(shù)

基、負(fù)整數(shù)指數(shù)基的意義，求代數(shù)式的值等知識(shí)，分式的化簡及求得x的值是關(guān)鍵，分式

運(yùn)算注意運(yùn)算順序不能出錯(cuò).

17.某校有學(xué)生2100人，在“文明我先行”的活動(dòng)中，開設(shè)了“法律、禮儀、感恩、環(huán)保、互

助''五門校本課程，規(guī)定每位學(xué)生必須且只能選一門課程.為了解學(xué)生的報(bào)名意向，學(xué)校隨

機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，并制成如下的統(tǒng)計(jì)表：

課程類別法律禮儀環(huán)保感恩互助合計(jì)

頻數(shù)Sa27b15100

頻率0.080.200.27m0.151.00

（1）在這次調(diào)查活動(dòng)中，學(xué)校采取的調(diào)查方式是（填“普查”或"抽樣調(diào)查”），表中的

b=：

（2）如果要畫“校本課程報(bào)名意向扇形統(tǒng)計(jì)圖”，那么“禮儀”類校本課程所對應(yīng)的扇形圓心

角應(yīng)為多少度？

（3）請估算該校2100名學(xué)生中選擇“感恩”類校本課程的學(xué)生約有多少人.

【答案】（1）抽樣調(diào)查，30

（2）“禮儀”類校本課程所對應(yīng)的扇形圓心角應(yīng)為72度

（3）該校2100名學(xué)生中選擇“感恩”類校本課程的學(xué)生約有630人

【解析】

【分析】（1）由題意即可知道調(diào)查方式；由統(tǒng)計(jì)表可求得，〃的值，由頻數(shù)與頻率的關(guān)系即

可求得b的值；

（2）由禮儀類的頻率即可求得對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)；

（3）由（1）求得的，〃值，即選擇“感恩”類校本課程所占的百分比，它與2100的積就是所

要求的結(jié)果.

【小問1詳解】

由題意知，所進(jìn)行的調(diào)查是抽樣調(diào)查；

由統(tǒng)計(jì)表知，/?=1-（0.08+0.20+0.27+0.15）=0.3,則6=100《3=30

故答案為：抽樣調(diào)查，30

【小問2詳解】

由表知，'‘禮儀”類校本課程的頻率為0.2,則360x0.2=72°

所以“禮儀”類校本課程所對應(yīng)的扇形圓心角應(yīng)為72度

【小問3詳解】

由（1）知，加=0.3=30%,則2100X30%=630（人）

即該校2100名學(xué)生中選擇“感恩”類校本課程的學(xué)生約有630人

【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)分布表，扇形統(tǒng)計(jì)圖中的扇形的圓心角，用樣本的百分比估計(jì)總

體的數(shù)量等知識(shí)，借助表中的信息求出相關(guān)的數(shù)據(jù)是解答本題的關(guān)鍵.

18.隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，無人機(jī)被廣泛應(yīng)用到實(shí)際生活中，小星利用無人機(jī)來測量

廣場8,C兩點(diǎn)之間的距離.如圖所示，小星站在廣場的B處遙控?zé)o人機(jī)，無人機(jī)在A處距

離地面的飛行高度是41.6m,此時(shí)從無人機(jī)測得廣場。處的俯角為63。，他抬頭仰視無人

機(jī)時(shí)，仰角為a,若小星的身高BE=1.6m,E4=50m（點(diǎn)在同一平面內(nèi)）.

A

---n----

//V、63°

■\

.\

/\

/、

/、

￡/\a'、'

q\

BC

（1）求仰角々的正弦值；

（2）求￡C兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到1m）.

（sin63°?0.89,cos63°?0.45,tan63°?1.96,sin27°?0.45,cos27°?0.89,tan27°?0.51）

4

【答案】（1）y;（2）B,C兩點(diǎn)之間的距離約為51m.

【解析】

【分析】（1）如圖，過4點(diǎn)作2c于。，過E點(diǎn)作E/，/。于尸，利用四邊形8DFE

為矩形得到《尸二口），=8E=1.6m,則//=40m,然后根據(jù)正弦的定義求解；

（2）先利用勾股定理計(jì)算出EF=30m,再在E&4CD中利用正切的定義計(jì)算出CD,然

后計(jì)算BO+CD即可.

【詳解】解：（1）如圖，過/點(diǎn)作于。，過￡點(diǎn)作EFL49于F,

A

---n----

Z：V63°

/:

/:\

/：\

/?、

//I'、

Ek\

q……￥\

BDC

VZEBD=ZFDB=ZDFE=90Q,

???四邊形BDFE為矩形,

:,EF=BD,DF=BE=L6m,

：.AF=AD-DF=4l.6-1,6=40（m）,

4/4044

在/^△4￡77中，sinZAEF=---=——=—,即sina=—.

AE5055

4

答：仰角。的正弦值為二；

（2）在用中，EF=（SO2一正=30m,

在/?，△/(?￡)中，ZACD=63°,ZD=41.6m,

AD

,：tanZACD=——，

CD

.*.CZ>=41,64-tan630=41.64-1.96^21.22m,

BC=BD+CD=30+21.22g51m.

答：B,C兩點(diǎn)之間的距離約為51m.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題：根據(jù)題意畫出幾何圖形，當(dāng)圖

形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問題劃歸為直角三角

形中邊角關(guān)系問題加以解決.

4

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2的圖象與y軸相交于點(diǎn)A,與反比

例函數(shù)y=A在第一象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn)B（m,2）,過點(diǎn)B作3Cy軸于點(diǎn)C.

x

（1）求反比例函數(shù)的解析式;

（2）求△ABC的面積.

【答案】（1）y=9；（2）6

x

【解析】

【分析】（1）因?yàn)橐淮魏瘮?shù)與反比例函數(shù)交于B點(diǎn)，將8代入到一次函數(shù)解析式中，可以

求得8點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得上，得到反比例函數(shù)解析式；

（2）因?yàn)?C_Ly軸，所以C（0,2）,利用一次函數(shù)解析式可以求得它與V軸交點(diǎn)A的坐

標(biāo)（0,—2）,由A,B,。三點(diǎn)坐標(biāo)，可以求得AC和的長度，并且3C7/X軸，所以

即可求解?

【詳解】解：（1）：8點(diǎn)是直線與反比例函數(shù)交點(diǎn)，

...8點(diǎn)坐標(biāo)滿足一次函數(shù)解析式，

一ITI—2=2,

3

772=3,

B（3,2）,

：.k=6f

反比例函數(shù)的解析式為y=—；

x

（2）軸,

C（0,2）,8C7/X軸，

:.BC=3,

4

令x=0,則丁=一工一2二-2,

3

???A（0,-2）,

AC—4，

:.SZ△A4/iBoCe=~2AC?BC—6,

...AABC的面積為6

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，三角形的面積，同時(shí)要注意在平面

直角坐標(biāo)系中如何利用坐標(biāo)表示水平線段和豎直線段.

20.如圖，是口。的直徑，過點(diǎn)/作n。的切線并在其上取一點(diǎn)C,連接0C交口。于點(diǎn)

D,8。的延長線交NC于E,連接40.

（1）求證：LICAE」」。。；

（2）若4B=2,AC=2y/2）求ZE的長.

【答案】（1）證明見解析

（2）72

【解析】

【分析】⑴由是口。直徑得到口/。8=90。，則有「歸+口"〃>90。，由/C為口。的切線

得□胡￡>+口。/￡=90°,則口8=口?。，由于口8=口。。8,QODB=JCDE,所以口8二口口后，

則力口上,則可得到口。。后口口。。；

(2)在RfU40C中，04=1,AC=2y/2，由勾股定理可得OC=3,則C3=OC-OO=2,由

□C￡>￡nnG4Z),根據(jù)相似比可計(jì)算出CE的長，從而可得4E的長.

【詳解】解：(1)力8是一。的直徑，

□□405=90。，

□□B+」BAD=90。，

□ZC為□。的切線，

\JBAJAC,

□□B心90。,即口54。+□。力E=90。,

□□5=DG4L>,

□0B=0D,

□口B=DODB,

而」ODB=UCDE,

□□S=nCDE,

r\QCAD=JCDEf

^3ECD=UDCAy

□□CDEDEICW；

(2)QAB=2f

□0Z=l,

在出口/OC中，AC=2y/2，

□0C=L+AC2=3,

UCD=OC-0D=3-1=2,

□□CDEDDC^D,

□CE=O.

UAE=AC-CE=y[i

B

21.某商店分兩次購進(jìn)AEJ8兩種商品進(jìn)行銷售，兩次購進(jìn)同一種商品的進(jìn)價(jià)相同，具體情

況如下表所示：

購進(jìn)數(shù)量（件）購進(jìn)所需費(fèi)用（元）

AB

第一次30403800

第二次40303200

□1）求4口8兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

□2）商場決定工種商品以每件30元出售，8種商品以每件100元出售.為滿足市場需求,

需購進(jìn)48兩種商品共1000件，且1種商品的數(shù)量不少于8種商品數(shù)量的4倍，請你求

出獲利最大的進(jìn)貨方案，并確定最大利潤.

【答案】（1）/種商品每件的進(jìn)價(jià)為20元，8種商品每件的進(jìn)價(jià)為80元；（2）當(dāng)購進(jìn)/種

商品800件、8種商品200件時(shí),銷售利潤最大，最大利潤為12000元.

【解析】

【詳解】試題分析：（1）設(shè)A種商品每件的進(jìn)價(jià)為x元，B種商品每件的進(jìn)價(jià)為y元，根據(jù)

兩次進(jìn)貨情況表，可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)購進(jìn)B種商品m件，獲得的利潤為w元，則購進(jìn)A種商品（1000-m）件，根據(jù)

總利潤=單件利潤x購進(jìn)數(shù)量，即可得出w與m之間的函數(shù)關(guān)系式，由A種商品的數(shù)量不

少于B種商品數(shù)量的4倍，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值

范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.

試題解析：（1）設(shè)A種商品每件的進(jìn)價(jià)為x元，B種商品每件的進(jìn)價(jià)為y元，

皿皿皿.后（"后

根據(jù)題意得：\30x+40y=3800,,解得：\fx=20,.

[40x+30y=3200[y=80.

答:A種商品每件的進(jìn)價(jià)為20元，B種商品每件的進(jìn)價(jià)為80元.

（2）設(shè)購進(jìn)B種商品m件，獲得的利潤為w元，則購進(jìn)A種商品（1000-m）件，

根據(jù)題意得：w=（30-20）（1000-m）+（100-80）m=10m+10000.

□A種商品的數(shù)量不少于B種商品數(shù)量的4倍，

□1000-m>4m,

解得：m<200.

口在w=10m+10000中，k=10>0,

口w的值隨m的增大而增大，

口當(dāng)m=200時(shí)，w取最大值，最大值為10x200+10000=12000,

□當(dāng)購進(jìn)A種商品800件、B種商品200件時(shí)，銷售利潤最大，最大利潤為12000元.

考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，解一元一次不等式.

22.2022年北京冬奧會(huì)即將召開，激起了人們對冰雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情.如圖是某跳臺(tái)滑雪

訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺(tái)終點(diǎn)A作水平線的垂線為》

軸，建立平面直角坐標(biāo)系.圖中的拋物線Cjy=一一/+一尤+1近似表示滑雪場地上的

126

一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)O正上方4米處的A點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線

1、

C2:y=一一x+Z7x+c運(yùn)動(dòng).

y/米

(1)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離A處的水平距離為4米時(shí)，離水平線的高度為8米，求拋物線G

的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；

(2)在(1)的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)水平線的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的

豎直距離為1米？

(3)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時(shí)，求。的取值范圍.

1335

【答案】（1）V=-x~H—x+4；（2）12米；（3）bN—.

8224

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意可知：點(diǎn)A(0,4)點(diǎn)B(4,8),利用待定系數(shù)法代入拋物線

1,

C,：y=—x"+bx+c即可求解；

28

(2)高度差為1米可得C=1可得方程，由此即可求解;

]"7C1

(3)由拋物線C/y=——/+-工+1可知坡頂坐標(biāo)為(7,一)，此時(shí)即當(dāng)尤=7時(shí)，運(yùn)

12612

動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，若與坡頂距離超過3米，即丁=-1*72+78+。之處+3,由此

812

即可求出b的取值范圍.

【詳解】解：(1)根據(jù)題意可知：點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)B(4,8)代入拋物線

1.

。2:y=—§+bx+c得，

c=4

<1,

一一x4"9+4b+c=8

I8

c=4

解得：L3，

b=—

2

i3

口拋物線G的函數(shù)解析式曠=一石/+彳彳+4；

82

(2)?.?運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為1米，

13...1

(z—X~2HX+4)—(---.V'2H—X+1)=],

82126

解得：王=-4(不合題意，舍去)，々=12,

故當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)水平線的水平距離為12米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為1米；

(3)?.?點(diǎn)A(0,4),

口拋物線G：y=-^x2+bx+4,

171,61

?.?拋物線C]:y=--x29+-x+l=一一(x-7)2+—,

1261212

□坡頂坐標(biāo)為(7,*),

???當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時(shí)，

□y=_lx72+7ft+4>—+3,

812

35

解得：b>—.

24

【點(diǎn)睛】本題屬二次函數(shù)應(yīng)用中的難題.解決函數(shù)應(yīng)用問題的一般步驟為：(1)審題：弄清

題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系；(2)建模：將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)

知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將用數(shù)

學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題.

23.在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

(1)口/8c是邊長為3的等邊三角形，E是邊/C上的一點(diǎn)，且4E=1,小亮以8E為邊作

等邊三角形BEF,如圖(1)所示.則CF的長為一.(直接寫出結(jié)果，不說明理由)

cF

圖⑴

(2)EU3C是邊長為3的等邊三角形，E是邊ZC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以8E為邊作等邊三

角形BEF,如圖(2)所示.在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)4的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)尸所經(jīng)過的路徑

長.

DDABC,口跳戶都是等邊三角形

□BA=BC,BE=BF,aABC=GEBF=60°

□□[JABE+=DCBF+；

QQABE=QCBF

JDABEQaCBF

JUBAE=aBCF=60°

又口ZBC=60°

JQBCF=UABC

□□□；

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)/處時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合.

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C處時(shí)，CF=CA.

口口點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為.

(3)1N8C是邊長為3的等邊三角形，/是高CZ)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以8/W為邊作等邊

三角形5MM如圖(3)所示.在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過的路

徑長.

(4)正方形的邊長為3,E是邊C8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)8的運(yùn)動(dòng)過

程中，小亮以8為頂點(diǎn)作正方形8EG”,其中點(diǎn)凡G都在直線ZE上，如圖(4).當(dāng)點(diǎn)E

到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)F，G,H與點(diǎn)、B重合.則點(diǎn)〃所經(jīng)過的路徑長為.(直接寫出結(jié)

果，不說明理由)

【答案】(1)1(2)DDCBE；DCBE；DCF；AB；D3

(3)點(diǎn)N所經(jīng)過的