2022-2023學年初中數(shù)學二輪復習 專題4-8 相似三角形的常見模型【八大題型】（浙教版）（解析版）

專題4.8相似三角形的常見模型【八大題型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1A字型】 2【題型2“8”字形】 6【題型3AX字型】 12【題型4子母型】 19【題型5三角形內(nèi)接矩形型】 26【題型6雙垂直型】 31【題型7手拉手型】 35【題型8一線三角型】 44【基本模型】①如圖，在中，點D在上，點E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結(jié)論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．【題型1A字型】【例1】（2022·湖南·永州柳子中學九年級期中）如圖，王華晚上由路燈下的處走到處時，測得影子的長為1米，繼續(xù)往前走2米到達處時，測得影子的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么路燈的高度等于_________．【答案】4.5【詳解】如圖，設(shè)之間的距離為x米，根據(jù)題意可得，，∴∴，，∴，，即，，∴，解得，經(jīng)檢驗是所列方程的解，∴，解得，經(jīng)檢驗是所列方程的解，故路燈的高為4.5米．故答案為：4.5．【變式1-1】（2022·江蘇·常州市金壇良常初級中學九年級階段練習）如圖，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一時刻，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點B勻速運動；同時，動點N從點D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點A勻速運動，運動的時間為ts．（1）求t為何值時，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）當以點A，M，N為頂點的三角形與△ABD相似時，求t值．【答案】（1），；（2）t＝3或【詳解】解：（1）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面積＝AN?AM＝×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面積為AB?AD＝×6×12＝36，∵△AMN的面積是△ABD面積的，∴6t﹣t2＝，∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：經(jīng)過4秒或2秒，△AMN的面積是△ABD面積的；（2）由題意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，則有，即，解得t＝3，若△AMN∽△ADB，則有，即，解得t＝，答：當t＝3或時，以A、M、N為頂點的三角形與△ABD相似．【變式1-2】（2022·全國·九年級專題練習）有一塊直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一個面積盡可能大的正方形桌面．甲、乙兩位同學的加工方法分別如圖1、圖2所示．請你用學過的知識說明哪位同學的加工方法更好（加工損耗忽略不計）．【答案】甲同學【詳解】解：如圖1所示，設(shè)甲同學加工的桌面邊長為xm，∵DE∥AB∴△CDE∽△CBA∴即∴x＝圖2所示，過點B作BH⊥AC，交AC于點H，交DE于點P．由勾股定理得：AC＝∵，∴設(shè)乙同學加工的桌面邊長為ym，∵DE∥AC∴△BDE∽△BAC∴即∴y＝∵＞，即x＞y，x2＞y2∴甲同學的加工方法更好．【變式1-3】（2022·云南楚雄·九年級期末）直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點D，則線段BD的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】分別過點A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，垂足為F、E、G，∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，∴AF=4，BE=DG=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∵∠EBC+∠BCE＝90°，∠BCE+∠FCA＝90°，∠FCA+∠CAF＝90°，∴∠EBC＝∠FCA，∠BCE＝∠CAF，在△BCE與△ACF中，，∴△BCE≌△CAF，∴CF=BE=3，∴AC==5，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF，∴，即，解得：CD=，∴BD==．故選：A．【基本模型】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．【題型2“8”字形】【例2】（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點，連接AC，BE交于點F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【詳解】∵平行四邊形ABCD∴，AD=BC∵E為邊AD的中點∴BC=2AE∵∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF如圖，過點F作FH⊥AD于點H，F(xiàn)G⊥BC于點G，則，∴，∵△AEF的面積為2∴故選C．【變式2-1】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，BC＝6，，動點P在射線EF上，BP交CE于點D，∠CBP的平分線交CE于點Q，當CQ＝CE時，EP+BP的值為（）A．9 B．12 C．18 D．24【答案】C【詳解】解：如圖，延長EF交BQ的延長線于G．∵，∴EG∥BC，∴∠G＝∠GBC，∵∠GBC＝∠GBP，∴∠G＝∠PBG，∴PB＝PG，∴PE+PB＝PE+PG＝EG，∵CQ＝EC，∴EQ＝3CQ，∵EG∥BC，∴△EQG∽△CQB，∴＝＝3，∵BC＝6，∴EG＝18，∴EP+PB＝EG＝18，故選：C．【變式2-2】（2022·吉林·長春市赫行實驗學校二模）如圖，在中，，，，點為上一點，連接，為上一點，于點，當時，求的長．【答案】【詳解】解：如解圖，補成矩形，延長交于點，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴設(shè)，則，又∵在矩形中，，∴，∴，即，解得．∴．【變式2-3】（2022·陜西渭南·九年級階段練習）如圖，已知D是BC的中點，M是AD的中點．求的值．【答案】【詳解】解法1：如圖2，過點D作AC的平行線交BN于點H．因為．所以，所以．因為D為BC的中點，所以．因為，所以，所以．因為M為AD的中點，所以．所以，所以．解法2：如圖3，過點C作AD的平行線交BN的延長線于點H．因為，所以，所以．因為D為BC的中點，所以．因為M為AD的中點，所以，所以．因為，所以，所以．解法3：如圖4，過點A作BC的平行線交BN的延長線于點H．因為，所以，所以．因為M為AD的中點，所以，所以．因為，所以，所以．因為D為BC的中點，且，所以．解法4：如圖5，過點D作BN的平行線交AC于點H．在中，因為M為AD的中點，，所以N為AH的中點，即．在中，因為D為BC的中點，，所以H為CN的中點，即，所以．所以．【基本模型】A字型及X字型兩者相結(jié)合，通過線段比進行轉(zhuǎn)化.【題型3AX字型】【例3】（2022·河南新鄉(xiāng)·九年級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AC于點E，交AD于點F，交CD的延長線于點G，若AF＝2FD，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由AF＝2DF，可以假設(shè)DF＝k，則AF＝2k，AD＝3k，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故選：C．【變式3-1】（2022·河北石家莊·九年級期末）已知中，，（如圖）．以線段為邊向外作等邊三角形，點是線段的中點，連接并延長交線段于點．（1）求證：四邊形為平行四邊形；（2）連接，交于點．①若，求的長；②作，垂足為，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②證明見解析．【詳解】（1）∵是等邊三角形∴，在中，∴∵點是線段的中點∴∴是等邊三角形∴，∴∴∴∴四邊形為平行四邊形；（2）①如圖，連接，交于點∵∴∴∵，∴∵∴；②如圖，作，垂足為∵，，∴∴，∴，∴∴．【變式3-2】（2022·河南·鶴壁市淇濱中學九年級期中）已知，平行四邊形中，點是的中點，在直線上截取，連接，交于，則___________．【答案】；．【詳解】解：（1）點F在線段AD上時，設(shè)EF與CD的延長線交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF,∴HD：AE=DF：AF=1:2，即HD=AE，∵AB//CD，∴△CHG∽△AEG，∴AG：CG=AE：CH，∵AB=CD=2AE，∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，∴AG：CG=2：5，∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），即AG：AC=2：7；（2）點F在線段AD的延長線上時，設(shè)EF與CD交于H，∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH∵AB=CD=2AE，∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），即AG：AC=2：5．故答案為：或．【變式3-3】（2022·湖南株洲·九年級期末）如圖（1）所示：等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，過D點的直線B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1．（1）請你探究：，是否都成立？（2）請你繼續(xù)探究：若△ABC為任意三角形，線段AD為其內(nèi)角角平分線，請問一定成立嗎？并證明你的判斷．（3）如圖（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于點E，試求的值．【答案】（1）成立，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【詳解】解：（1）等邊△ABC中，線段AD為其內(nèi)角角平分線，因為B1C1⊥AC于C1交AB的延長線于B1，∠CAB＝60°，∠B1＝∠CAD＝∠BAD＝30°，AD＝B1D，綜上：這兩個等式都成立；（2）可以判斷結(jié)論仍然成立，證明如下：如圖所示，△ABC為任意三角形，過B點作BE∥AC交AD的延長線于E點，線段AD為其內(nèi)角角平分線∠E＝∠CAD＝∠BAD，△EBD∽△ACD∴BE＝AB，又∵BE＝AB．∴，即對任意三角形結(jié)論仍然成立；（3）如圖（2）所示，因為Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，，∵AD為△ABC的內(nèi)角角平分線，∴∵DE∥AC，∵DE∥AC，∴△DEF∽△ACF，∴【基本模型】如圖為斜“A”字型基本圖形．當時，，則有．．如圖所示，當E點與C點重合時，為其常見的一個變形，即子母型．當時，，則有．【題型4子母型】【例4】（2022·重慶實驗外國語學校九年級期末）如圖，在中，，，，，，則CD的長為______．【答案】5【詳解】解：在CD上取點F，使，，，由，，，，且，，，∽，，，，又，，∽，，又，，或舍去，經(jīng)檢驗：符合題意，．故答案為：5．【變式4-1】（2022·遼寧·阜新市第四中學九年級階段練習）已知：如圖1，中，是的角平分線，．求證：與互為母子三角形．（3）如圖2，中，是中線，過射線上點作，交射線于點，連結(jié)，射線與射線交于點，若與互為母子三角形．求的值．【答案】（1）C；（2）見解析；（3）或3．【詳解】（1）∵與互為母子三角形，∴或2，故選：C（2）是的角平分線，，，．又，與互為母子三角形．

（3）如圖，當分別在線段上時，與互為母子三角形，，，是中線，，又，．，，．如圖，當分別在射線上時，與互為母子三角形，，，是中線，，又，．，，．綜上所述，或3【變式4-2】（2022·遼寧鞍山·二模）在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于點D．（1）如圖（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的長；（2）如圖（2），過點A分別作AC，BD的垂線，分別交BC，BD于點E，F(xiàn)．①求證：∠ABC＝∠EAF；②求的值．【答案】（1）AD＝；（2）①見解析；②．【詳解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB.又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴，即，∴AD＝①證明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°.又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA.∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP.②如圖，取CE的中點M，連接AM.在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C.∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB，∴．【變式4-3】（2022·北京市第一五六中學九年級期中）如圖，中，點分別是的中點，與點．（1）求證：；（2）求的大??；（3）若，求的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）2．【詳解】（1），，在和中，，，，；，是等腰直角三角形，，由（1）可知，，，點E是AC的中點，，，在和中，，，，又，，；（3）設(shè)，是等腰直角三角形，，點分別是的中點，，在中，，，由（1）知，，，即，解得，在中，，，在和中，，，，即，解得，又，，解得，，則的面積為．【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推導出來的。結(jié)論：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【題型5三角形內(nèi)接矩形型】【例5】（2022秋?南崗區(qū)校級月考）如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的頂點D、G分別在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DEFG的邊長；（2）如圖2，在BC邊上放兩個小正方形DEFG、FGMN，則DE=．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：過點作AM⊥BC于點M，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=BC=3，在Rt△ABM中，AM==4，∵四邊形DEFG是矩形，∴DG∥EF，DE⊥BC，∴AN⊥DG，四邊形EDMN是矩形，∴MN=DE，設(shè)MN=DE=x，∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴DG：BC=AN：AM，∴，解得：DG=﹣x+6，∵四邊形DEFG為正方形，∴DE=DG，即x=﹣x+6，解得x=，∴正方形DEFG的邊長為；（2）由題意得：DN=2DE，由（1）知：，∴DE=．故答案為．【變式5-1】（2022秋?道里區(qū)期末）如圖，正方形EFGH內(nèi)接于△ABC，AD⊥BC于點D，交EH于點M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的邊長．【答案】【詳解】解：∵四邊形EFGH是正方形∴EH∥BC∴△AEH∽△ABC∴，即解得：EH=∴四邊形EFGH的邊長為【變式5-2】（2022秋?八步區(qū)期中）一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學過的知識說明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分數(shù)可保留）．【答案】乙木匠的加工方法符合要求．說明見解析．【詳解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如圖∵∴∵∴∴又∵DE∥AC∴∴，解得設(shè)正方形的邊長為x米，如圖乙∵DE∥AB∴∴，解得∵∴乙木匠的加工方法符合要求．【變式5-3】（2022秋?渭濱區(qū)期末）（1）如圖1，在△ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P，求證：；（2）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點．①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；②如圖3，求證MN2=DM·EN．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②證明見解析．【詳解】解：（1）在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴，同理在△ACQ和△APE中，，∴；（2）①作AQ⊥BC于點Q．∵BC邊上的高AQ=，∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC∴AD：AB=1：3，∴AD=，DE=，∵DE邊上的高為，MN：GF=：，∴MN：=：，∴MN=．故答案為：．②證明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，∴∠B=∠CEF，又∵∠BGD=∠EFC，∴△BGD∽△EFC，∴，∴DG?EF=CF?BG，又∵DG=GF=EF，∴GF2=CF?BG，由（1）得，∴，∴，∵GF2=CF?BG∴MN2=DM?EN．【基本模型】①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結(jié)論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、長方形中經(jīng)常會出現(xiàn)射影定理模型，如圖，在和內(nèi)均有射影定理模型．（2）如圖，在圓中也會出現(xiàn)射影定理模型．【題型6雙垂直型】【例6】（2022秋?青羊區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E為AB上一點，分別以ED、EC為折痕將兩個角(∠A、∠B)向內(nèi)折起，點A、B恰好落在CD邊的點F處，若AD＝3，BC＝5，則EF的長是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)【解析】∵AD∥BC，∴∠ADF＋∠FCB＝180°.根據(jù)折疊前后的圖形全等得到DF＝DA＝3，∠ADE＝∠FDE，CF＝CB＝5，∠BCE＝∠FCE，∠EFC＝∠B＝90°，∴∠FDE＋∠FCE＝90°，∠FCE＋∠FEC＝90°，∠DFE＝∠EFC＝90°，∴∠FDE＝∠FEC，∴△DEF∽△ECF，∴eq\f(EF,CF)＝eq\f(DF,EF)，∴EF2＝DF·CF＝3×5＝15，∴EF＝eq\r(15).故選A.【變式6-1】（2022秋?杜爾伯特縣期末）如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點，則圖中與△ABC相似的三角形有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，∴共有四個三角形與Rt△ABC相似．故選：A．【變式6-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．【變式6-3】（2022秋?汝州市校級月考）中，，，點E為的中點，連接并延長交于點F，且有，過F點作于點H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4．【詳解】證明：（1），，，，在和中，，；（2）點為的中點，，由（1）已證：，，設(shè)，則，，，（等腰三角形的三線合一），，又，，即；（3）由（2）已證：，，，，，即，解得，，，，，在和中，，，，由（2）可知，設(shè)，則，，解得或（不符題意，舍去），，則在中，．【基本模型】①如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來源:Zxxk.Com]②如圖所示，和都是等腰直角三角形，的延長線與相交于點P，則，且相似比為，與的夾角為．總結(jié)：旋轉(zhuǎn)相似型中由公共旋轉(zhuǎn)頂點、一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應點組成的三角形與由公共旋轉(zhuǎn)頂點、另一點及其旋轉(zhuǎn)后的對應點組成的三角形相似．③如圖所示，，則，，且．【題型7手拉手型】【例7】（2022春?江陰市期中）如圖，在△ABC與△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，連接BD、CE，若AC：BC＝3：4，則BD：CE為（）A．5：3 B．4：3 C．5：2 D．2：3【解答】∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，ACAB∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，∵ACAB=AEAD，∴△∴BDCE∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5，∴BD：CE＝5：3，故選：A．【變式7-1】（2022秋?岳陽縣期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點P為線段CA延長線上一動點，連接PB，將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．（1）如圖1，當α＝60°時，求證：PA＝DC；（2）如圖2，當α＝120°時，猜想PA和DC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．（3）當α＝120°時，若AB＝6，BP＝，請直接寫出點D到CP的距離．【答案】（1）見解析；（2）；（3）或【詳解】解：（1）當α＝60°時，∵AB＝AC∴△ABC為等邊三角形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴△PBD為等邊三角形，∴，∴在和中，∴，∴（2）過點作，如下圖：∵當α＝120°時，，∴，，∴由勾股定理得∴，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴，又∵，∴又∵，∴，∴，∴∴（3）過點作于點，過點作于點，則點D到CP的距離就是的長度當在線段上時，如下圖：由題意可得：，∵α＝120°，∴在中，，∴，在中，，，∴∴，由（2）得由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得，則當在線段延長線上，如下圖：則，由（2）得，，設(shè)，則由勾股定理可得：即，解得，則綜上所述：點D到CP的距離為或【變式7-2】（2022秋?炎陵縣期末）如圖，以的兩邊、分別向外作等邊和等邊，與交于點，已知，，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)及的長；（3）若點、分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點），連接、、，作出圖象，求的長．【答案】（1）見解析；（2）60°，12；（3）【詳解】解：（1）∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△ADC與△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS）；（2）∵△ADC≌△ABE；∴∠ADP=∠ABP，設(shè)AB，PD交于O，∵∠AOD=∠POB，∴∠DPB=∠DAB=60°；如圖①，在PE上取點F，使∠PCF=60°，同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，∴EF=AP=3，△CPF為等邊三角形，∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；（3）如圖②，過點Q作QG⊥AD于G，設(shè)QG=x，∵點Q、R分別是等邊△ABD和等邊△ACE的重心，∴AQ=2x，AG=x，AB=x，∵，∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，∴∠QAR=∠BAE，∴△ABE∽△AQR，∴QR：BE=AQ：AB，∴．【變式7-3】（2022春?棲霞市期末）如圖，正方形ABCD，對角線AC，BD相交于O，Q為線段DB上的一點，，點M、N分別在直線BC、DC上．（1）如圖1，當Q為線段OD的中點時，求證：；（2）如圖2，當Q為線段OB的中點，點N在CD的延長線上時，則線段DN、BM、BC的數(shù)量關(guān)系為；（3）在（2）的條件下，連接MN，交AD、BD于點E、F，若，，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）BM?DN=BC；（3）EF的長為．【詳解】解：（1）如圖，過Q點作QP⊥BD交DC于P，∴∠PQB=90°．∵∠MQN=90°，∴∠NQP=∠MQB，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，∴∠DPQ=∠DBC=45°，∴△QPN∽△QBM，∴，∵Q是OD的中點，且PQ⊥BD，∴DO=2DQ，DP=DC，∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，∴BQ=3PQ，∴，∴NP=BM，∴DN+BM=BC；（2）如圖，過Q點作QH⊥BD交BC于H，∴∠BQH=∠DQH=90°，∴∠BHQ=45°，∵∠COB=90°，∴QH∥OC，∵Q是OB的中點，∴BH=CH=BC，∵∠NQM=90°，∴∠NQD=∠MQH，∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，∴∠QND=∠QMH，∴△QHM∽△QDN，∴，∴HM=ND，∵BM-HM=HB，∴BM?DN=BC．故答案為：BM?DN=BC；（3）MB：MC=3：1，設(shè)CM=x，∴MB=3x，∴CB=CD=4x，∴HB=2x，∴HM=x．∵HM=ND，∴ND=3x，∴CN=7x，∵四邊形ABCD是正方形，∴ED∥BC，∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，∴，∴，∴DE=x，∴，∵NQ=9，∴QM=3，在Rt△MNQ中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，設(shè)EF=a，則FM=7a，∴，∴．∴EF的長為．【基本模型】(1)“三垂直”模型：如圖1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，則△ABC∽△CDE.(2)“一線三等角”模型：如圖2，∠B＝∠ACE＝∠D，則△ABC∽△CDE.特別地，連接AE，若C為BD的中點，則△ACE∽△ABC∽△CDE.補充：其他常見的一線三等角圖形【題型8一線三角型】【例8】（2022秋?灌云縣期末）【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．易證．（不需要證明）【探究】如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），．若，，，求AP的長．【拓展】如圖③，在中，，，點P在邊AB上（點P不與點A、B重合），連結(jié)CP，作，PE與邊BC交于點E，當是等腰三角形時，直接寫出AP的長．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【詳解】探究：證明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，當CP=CE時，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；當PC=PE時，△ACP≌△BPE，則PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；當EC=EP時，∠CPE=∠ECP