高考理科數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》題型歸納與訓(xùn)練

第2020年高考理科數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式例1（1）點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2＋y2＝1逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)eq\f(2π,3)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)) B．(－eq\f(\r(3),2)，－eq\f(1,2))C．(－eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)) D．(－eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))(2)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊上一點(diǎn)P(－4,3)，則的值為_(kāi)_______．【答案】（1）A（2）－eq\f(3,4)【解析】(1)設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則x＝coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，y＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2).∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))．(2)原式＝eq\f(－sinα·sinα,－sinα·cosα)＝tanα.根據(jù)三角函數(shù)的定義，得tanα＝eq\f(y,x)＝－eq\f(3,4)，∴原式＝－eq\f(3,4).【易錯(cuò)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)定義不熟練【思維點(diǎn)撥】(1)涉及與圓及角有關(guān)的函數(shù)建模問(wèn)題(如鐘表、摩天輪、水車等)，常常借助三角函數(shù)的定義求解．應(yīng)用定義時(shí)，注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)，與終邊上點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)．(2)應(yīng)用誘導(dǎo)公式時(shí)要弄清三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)過(guò)程要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡(jiǎn)等．題型二三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用例1已知曲線，，則下面結(jié)正確的是（）.A.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線B.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線D.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線【答案】D【解析】（1），，首先曲線、統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將用誘導(dǎo)公式處理．．橫坐標(biāo)變換需將變成，即．注意的系數(shù)，在右平移需將提到括號(hào)外面，這時(shí)平移至，根據(jù)“左加右減”原則，“”到“”需加上，即再向左平移．故選D.【易錯(cuò)點(diǎn)】函數(shù)圖像水平方向平移容易出錯(cuò)【思維點(diǎn)撥】平移變換理論(1)平移變換:①沿x軸平移,按“左加右減”法則;②沿y軸平移,按“上加下減”法則.(2)伸縮變換:①沿x軸伸縮時(shí),橫坐標(biāo)x伸長(zhǎng)(0<ω<1)或縮短(ω>1)為原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)y不變);②沿y軸伸縮時(shí),縱坐標(biāo)y伸長(zhǎng)(A>1)或縮短(0<A<1)為原來(lái)的A倍(橫坐標(biāo)x不變).2.注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致,若不一致,應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)再平移.例2函數(shù)的部分圖像大致為（）.【答案】C【解析】由題意知，函數(shù)為奇函數(shù)，故排除B；當(dāng)時(shí)，，排除D；當(dāng)時(shí)，，排除A.故選C.【易錯(cuò)點(diǎn)】函數(shù)圖形判斷通過(guò)過(guò)排除法【思維點(diǎn)撥】例3函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是()A．2，－eq\f(π,3) B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6) D．4，eq\f(π,3)【答案】A【解析】(1)因?yàn)閑q\f(T,2)＝eq\f(11π,12)－eq\f(5π,12)，所以T＝π.又T＝eq\f(2π,ω)(ω>0)，所以eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2.又2×eq\f(5π,12)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，且－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，故φ＝－eq\f(π,3).【易錯(cuò)點(diǎn)】求φ時(shí)，容易忽略討論k【思維點(diǎn)撥】題型三三角函數(shù)性質(zhì)例1（1）已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋eq\r(3)cos(ωx＋φ)(ω>0,0<|φ|<eq\f(π,2))為奇函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)的圖象的兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為eq\f(π,2).(1)求f(eq\f(π,6))的值；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位后，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）f(eq\f(π,6))＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3)（2）[kπ－eq\f(π,12)，kπ＋eq\f(5π,12)](k∈Z)．【解析】（1）f(x)＝sin(ωx＋φ)＋eq\r(3)cos(ωx＋φ)＝2[eq\f(1,2)sin(ωx＋φ)＋eq\f(\r(3),2)cos(ωx＋φ)]＝2sin(ωx＋φ＋eq\f(π,3))．因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(0)＝2sin(φ＋eq\f(π,3))＝0，又0<|φ|<eq\f(π,2)，可得φ＝－eq\f(π,3)，所以f(x)＝2sinωx，由題意得eq\f(2π,ω)＝2·eq\f(π,2)，所以ω＝2.故f(x)＝2sin2x.因此f(eq\f(π,6))＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3).(2)將f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位后，得到f(x－eq\f(π,6))的圖象，所以g(x)＝f(x－eq\f(π,6))＝2sin[2(x－eq\f(π,6))]＝2sin(2x－eq\f(π,3))．當(dāng)2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)(k∈Z)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，因此g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－eq\f(π,12)，kπ＋eq\f(5π,12)](k∈Z)．【易錯(cuò)點(diǎn)】【思維點(diǎn)撥】題型四三角函數(shù)范圍問(wèn)題例1函數(shù)的最大值是．【答案】1【解析】，令且，，則當(dāng)時(shí)，取最大值1．【易錯(cuò)點(diǎn)】換元之后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的定義域及最值【思維點(diǎn)撥】例2函數(shù)的最大值為.【答案】【解析】.【易錯(cuò)點(diǎn)】【思維點(diǎn)撥】輔助角公式運(yùn)用例3【2017年Ⅲ】函數(shù)的最大值為（）.A． B．1 C． D．【答案】A【解析】.故選A.【易錯(cuò)點(diǎn)】本題屬于中檔題，基礎(chǔ)差一點(diǎn)的學(xué)生在解題思路方面可能會(huì)存在一定問(wèn)題，三角恒等變換中公式的選擇對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)于老師教學(xué)來(lái)說(shuō)是一個(gè)重點(diǎn)，選擇合適的公式能起到事半功倍的效果！【思維點(diǎn)撥】題型五三角函數(shù)求值問(wèn)題例1已知，，則.【答案】【解析】由又，所以.因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所?【易錯(cuò)點(diǎn)】【思維點(diǎn)撥】例2（1）若，則（）(A)(B)(C)1(D)（2）（）A．B．C．D．【答案】（1）A（2）【解析】（1）由，，得，或，，所以，則，故選A（2）原式=【易錯(cuò)點(diǎn)】【思維點(diǎn)撥】例3已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)討論f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的單調(diào)性．【答案】（1）f(x)的最小正周期為π，最大值為eq\f(2－\r(3),2),（2）f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(2π,3)))上單調(diào)遞減【解析】(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))sinx－eq\r(3)cos2x＝cosxsinx－eq\f(\r(3),2)(1＋cos2x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq\f(\r(3),2)，因此f(x)的最小正周期為π，最大值為eq\f(2－\r(3),2).(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))時(shí)，0≤2x－eq\f(π,3)≤π，從而當(dāng)0≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)，即eq\f(π,6)≤x≤eq\f(5π,12)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤π，即eq\f(5π,12)≤x≤eq\f(2π,3)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減．綜上可知，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(2π,3)))上單調(diào)遞減．【易錯(cuò)點(diǎn)】【思維點(diǎn)撥】解答技巧，方法策略等題型六簡(jiǎn)單的三角恒等變換例1(2018·新疆第二次適應(yīng)性檢測(cè))的值是________．【答案】2【解析】依題意得eq\f(cos10°1＋\r(3)tan10°,cos50°)＝eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos50°)＝eq\f(2sin10°＋30°,cos50°)＝eq\f(2sin40°,sin40°)＝2.【易錯(cuò)點(diǎn)】【思維點(diǎn)撥】解答技巧，方法策略等例2已知tanα＝2.(1)求taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))的值；(2)求eq\f(sin2α,sin2α＋sinαcosα－cos2α－1)的值．【答案】（1）-3（2）1【解析】(1)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(2＋1,1－2×1)＝－3.(2)eq\f(sin2α,sin2α＋sinαcosα－cos2α－1)＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋sinαcosα－2cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋tanα－2)＝eq\f(2×2,4＋2－2)＝1.【易錯(cuò)點(diǎn)】【思維點(diǎn)撥】解三角函數(shù)的給值求值問(wèn)題的基本步驟(1)先化簡(jiǎn)所求式子或所給條件；(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系；(3)將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值．例3若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則α＋β的值是()A.eq\f(7π,4) B.eq\f(9π,4)C.eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4) D.eq\f(5π,4)或eq\f(9π,4)【答案】A【解析】選A∵α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，∴2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，2π))，∵sin2α＝eq\f(\r(5),5)，∴2α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).∴α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))且cos2α＝－eq\f(2\r(5),5)，又∵sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，∴β－α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，cos(β－α)＝－eq\f(3\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))－eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(\r(2),2)，又α＋β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)，2π))，所以α＋β＝eq\f(7π,4).【易錯(cuò)點(diǎn)】【思維點(diǎn)撥】對(duì)于給值求角問(wèn)題，通過(guò)先求角的某個(gè)三角函數(shù)值來(lái)求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵循以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)．(2)已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，選正弦或余弦函數(shù)皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦函數(shù)較好；若角的范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，選正弦函數(shù)較好．【鞏固訓(xùn)練】題型一三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角關(guān)系式1.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，若是角終邊上一點(diǎn)，且，則.【答案】-8.【解析】由taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(1－tanθ,1＋tanθ)＝eq\f(1,2)，得tanθ＝eq\f(1,3)，∴sinθcosθ＝eq\f(sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tanθ,tan2θ＋1)＝eq\f(\f(1,3),\f(1,9)＋1)＝eq\f(3,10).故填eq\f(3,10).2.(1)已知tanα＝2，求值：①eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)；②4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.(2)已知θ∈(0，π)，且sinθ＋cosθ＝eq\f(1,3)，求sinθ－cosθ的值．【答案】(1)①-1②1(2)eq\f(\r(17),3)【解析】(1)①eq\f(2sinα－3cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－3,4tanα－9)＝eq\f(2×2－3,4×2－9)＝－1.②4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝eq\f(4sin2α－3sinαcosα－5cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(4tan2α－3tanα－5,tan2α＋1)＝eq\f(4×4－3×2－5,4＋1)＝1.(2)∵sinθ＋cosθ＝eq\f(1,3)，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,9)，∴sinθcosθ＝－eq\f(4,9).∵θ∈(0，π)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，θ))，∴sinθ>0>cosθ，sinθ－cosθ>0.由(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1＋eq\f(8,9)＝eq\f(17,9)，得sinθ－cosθ＝eq\f(\r(17),3).3.若cos(π－α)＝eq\f(\r(5),3)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則sin(π＋α)＝()A．－eq\f(\r(5),3) B．－eq\f(2,3)C．－eq\f(1,3) D．±eq\f(\r(2),3)【答案】B【解析】cos(π－α)＝－cosα＝eq\f(\r(5),3)，∴cosα＝－eq\f(\r(5),3).又∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),3)))2)＝eq\f(2,3)，∴sin(π＋α)＝－sinα＝－eq\f(2,3)，故選B．題型二三角函數(shù)圖像1.為了得到函數(shù)y＝sin3x＋cos3x的圖象，可以將函數(shù)y＝eq\r(2)cos3x的圖象(A)A．向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位 B．向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位C．向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位 D．向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位【答案】A【解析】因?yàn)閥＝sin3x＋cos3x＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))，所以將y＝eq\r(2)cos3x的圖象向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位后可得到y(tǒng)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))的圖象.2.函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，若x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)＝()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)【答案】D【解析】觀察圖象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ).將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))代入上式得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋φ))＝0.由|φ|<eq\f(π,2)，得φ＝eq\f(π,3)，則f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x＝eq\f(－\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq\f(π,12).又x1，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))，且f(x1)＝f(x2)，∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(π,12)，∴x1＋x2＝eq\f(π,6)，∴f(x1＋x2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,6)＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)，故選D．3.已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期為π.(1)求ω的值；(2)討論f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的單調(diào)性.【答案】(1)ω＝1(2)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,8)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減.【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))的最小正周期為π，且ω>0.從而有eq\f(2π,2ω)＝π，故ω＝1．(2)因?yàn)閒(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).若0≤x≤eq\f(π,2)，則eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4).當(dāng)eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)，即0≤x≤eq\f(π,8)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)eq\f(π,2)<2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，即eq\f(π,8)<x≤eq\f(π,2)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減.綜上可知，f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,8)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減.題型三三角函數(shù)性質(zhì)1.已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) D．[0,2]【答案】A【解析】由eq\f(π,2)<x<π，ω>0得，eq\f(ωπ,2)＋eq\f(π,4)<ωx＋eq\f(π,4)<ωπ＋eq\f(π,4).又y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上遞減，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ωπ,2)＋\f(π,4)≥\f(π,2)，,ωπ＋\f(π,4)≤\f(3π,2)，))解得eq\f(1,2)≤ω≤eq\f(5,4)，故選A．2.設(shè)函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．f(x)的一個(gè)周期為－2πB．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(8π,3)對(duì)稱C．f(x＋π)的一個(gè)零點(diǎn)為x＝eq\f(π,6)D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))單調(diào)遞減【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)f(x)的最小正周期為2π，所以函數(shù)一個(gè)周期為－2π，A項(xiàng)正確；當(dāng)x＝eq\f(8π,3)時(shí)，x＋eq\f(π,3)＝3π，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝－1，所以B項(xiàng)正確；f(x＋π)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋π＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4π,3)))，當(dāng)x＝eq\f(π,6)時(shí)，x＋eq\f(4π,3)＝eq\f(3π,2)，所以f(x＋π)＝0，所以C項(xiàng)正確；函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2,3)π))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π))上單調(diào)遞增，故D項(xiàng)不正確，故選D．3.已知函數(shù)①y＝sinx＋cosx，②y＝2eq\r(2)sinxcosx，則下列結(jié)論正確的是()A．兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))中心對(duì)稱B．兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于直線x＝－eq\f(π,4)對(duì)稱C．兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上都是單調(diào)遞增函數(shù)D．將函數(shù)②的圖象向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位得到函數(shù)①的圖象【答案】C【解析】函數(shù)①y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，②y＝2eq\r(2)·sinxcosx＝eq\r(2)sin2x，由于①的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))中心對(duì)稱，②的圖象不關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))中心對(duì)稱，故A項(xiàng)不正確；由于函數(shù)①的圖象不可能關(guān)于直線x＝－eq\f(π,4)對(duì)稱，故B項(xiàng)不正確；由于這兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上都是單調(diào)遞增函數(shù)，故C項(xiàng)正確；將函數(shù)②的圖象向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位得到函數(shù)y＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的圖象，而y＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))≠eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，故D項(xiàng)不正確，故選C．題型四三角函數(shù)范圍問(wèn)題1.已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x,則f(x)的最小值是.

【答案】3【解析】由題意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x的一個(gè)周期,所以求f(x)的最小值可考慮求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sinx+sin2x,得f'(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2.令f'(x)=0,可得cosx=12或cosx=-1,x∈[0,2π)時(shí),解得x=π3或x=5π3或x=π.因?yàn)閒(x)=2sinx+sin2x的最值只能在x=π3,x=5π3,x=π或x=0時(shí)取到,且fπ32.已知y＝3－sinx－2cos2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，求y的最大值與最小值之和．【答案】eq\f(23,8)【解析】∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，∴sinx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1)).又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,4)))2＋eq\f(7,8)，∴當(dāng)sinx＝eq\f(1,4)時(shí)，ymin＝eq\f(7,8)；當(dāng)sinx＝－eq\f(1,2)或sinx＝1時(shí)，ymax＝2.故函數(shù)的最大值與最小值的和為2＋eq\f(7,8)＝eq\f(23,8).3.已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，0))對(duì)稱.(1)求ω，φ的值；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,2)))，求f(x)的最大值與最小值，【答案】(1)ω＝eq\f(2,3).(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3kπ－\f(3π,2)，3kπ))，k∈Z(3)函數(shù)f(x)的最大值為1，最小值為0.【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函數(shù)，所以φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，則φ＝eq\f(π,2)，即f(x)＝cosωx.因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，0))對(duì)稱，所以ω×eq\f(3,4)π＝eq\f(π,2)＋mπ，m∈Z，ω＝eq\f(2,3)＋eq\f(4m,3)，又0<ω<1，所以ω＝eq\f(2,3).(2)由(1)得f(x)＝coseq\f(2,3)x，由－π＋2kπ≤eq\f(2,3)x≤2kπ，且k∈Z得，3kπ－eq\f(3π,2)≤x≤3kπ，k∈Z，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3kπ－\f(3π,2)，3kπ))，k∈Z.(3)因?yàn)閤∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,2)))，所以eq\f(2,3)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,3)))，當(dāng)eq\f(2,3)x＝0時(shí)，即x＝0，函數(shù)f(x)的最大值為1，當(dāng)eq\f(2,3)x＝－eq\f(π,2)時(shí)，即x＝－eq\f(3π,4)，函數(shù)f(x)的最小值為0.題型五三角函數(shù)求值問(wèn)題1.設(shè)α，β為鈍角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝－eq\f(3\r(10),10)，則α＋β的值為()A．eq\f(3π,4) B．eq\f(5π,4)C．eq\f(7π,4) D．eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4)【答案】C【解析】∵α，β為鈍角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝－eq\f(3\r(10),10)，∴cosα＝eq\f(－2\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(\r(2),2)>0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴α＋β＝eq\f(7π,4).2.已知函數(shù)f(x)＝2cos2ωx－1＋2eq\r(3)sinωxcosωx(0<ω<1)，直線x＝eq\f(π,3)是函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知函數(shù)y＝g(x)的圖象是由y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，然后再向左平移eq\f(2π,3)個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，若geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝eq\f(6,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求sinα的值.【答案】（1）f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)（2）【解析】(1)f(x)＝cos2ωx＋eq\r(3)sin2ωx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))，（2）eq\f(4\r(3)－3,10)由于直線x＝eq\f(π,3)是函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))的圖象的一條對(duì)稱軸，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)ω＋\f(π,6)))＝±1，因此eq\f(2π,3)ω＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得ω＝eq\f(3,2)k＋eq\f(1,2)(k∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).由2kπ－eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(2π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z).(2)由題意可得g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,3)))＋\f(π,6)))，即g(x)＝2coseq\f(x,2)，由geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(6,5)，得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故eq\f(π,6)<α＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，所以sinα＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(4,5)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(4\r(3)－3,10).3.已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))的值.【答案】－eq\f(\r(3)＋2,3)【解析】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)π＋α))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))－sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－eq\f(\r(3),3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝－eq\f(\r(3)＋2,3).題型六簡(jiǎn)單的三角恒等變換1.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))，則cos2α＝()A．1 B．－1C.eq\f(1,2) D．0【答案】選D【解析】∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))，∴eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))sinα＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))cosα，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－1，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,tan2α＋1)＝0.2.計(jì)算eq\f(cos10°－\r(3)cos－100°,\r(1－sin10°))＝________(用數(shù)字作答)．【答案】eq\r(2)【解析】eq\f(cos10°－\r(3)cos－100°,\r(1－sin10°))＝eq\f(cos10°＋\r(3)cos80°,\r(1－cos80°))＝eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,\r(2)sin40°)＝eq\f(2sin10°＋30°,\r(2)sin40°)＝eq\r(2).3.已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0<β<α<eq\f(π,2)，則β＝________.【答案】eq\f(π,3)【解析】由cosα＝eq\f(1,7)，0<α<eq\f(π,2)，得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)))2)＝eq\f(4\r(3),7)，由0<β<α<eq\f(π,2)，得0<α－β<eq\f(π,2)，又∵cos(α－β)＝eq\f(13,14)，∴sin(α－β)＝eq\r(1－cos2α－β)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,14)))2)＝eq\f(3\r(3),14).由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(1,7)×eq\f(13,14)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(1,2).∴β＝eq\f(π,3).回歸課本:高考數(shù)學(xué)考前100個(gè)提醒一、集合與簡(jiǎn)易邏輯1、區(qū)分集合中元素的形式，如，，.解題時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合思想盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具；2、已知集合A、B，當(dāng)時(shí)，切記要注意到“極端”情況：或；求集合的子集時(shí)別忘記；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、含n個(gè)元素的有限集合的子集個(gè)數(shù)為,真子集為其非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為4、反演律(摩根律)：.容斥原理:card（）=card（A）+card（B）-card（）.5、A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U.6、補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問(wèn)題(正難則反)。7、原命題:;逆命題:;否命題:；逆否命題:；要注意利用“互為逆否的兩個(gè)命題是等價(jià)的”來(lái)解題.8、若且，則p是q的充分非必要條件（或q是p的必要非充分條件）;9、注意命題的否定與它的否命題的區(qū)別:命題的否定只否定結(jié)論；否命題是條件和結(jié)論都否定.命題的否定是；否命題是.10、要熟記真值表噢！常見(jiàn)結(jié)論的否定形式如下：原結(jié)論否定原結(jié)論否定是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)大于不大于至少有個(gè)至多有個(gè)小于不小于至多有個(gè)至少有個(gè)對(duì)所有,成立存在某,不成立或且對(duì)任何,不成立存在某,成立且或二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)11、函數(shù):是特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系．特殊在定義域和值域都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn),但與軸垂線的公共點(diǎn)可能沒(méi)有,也可能有任意個(gè)．函數(shù)的三要素：定義域,值域,對(duì)應(yīng)法則．研究函數(shù)的問(wèn)題一定要注意定義域優(yōu)先的原則．12、一次函數(shù):(k≠0),b=0時(shí)是奇函數(shù);依據(jù)單調(diào)性,利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性可解決求一類參數(shù)的范圍問(wèn)題.二次函數(shù)：①三種形式:一般式(軸-b/2a,頂點(diǎn)?);b=0為偶函數(shù);頂點(diǎn)式(軸?);零點(diǎn)式;②區(qū)間最值:配方后一看開(kāi)口方向,二討論對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系;③實(shí)根分布:先畫圖再研究△>0、軸與區(qū)間關(guān)系、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào);反比例函數(shù):平移的對(duì)稱中心為(a,b).13、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式：，，，，，，，，(對(duì)數(shù)恒等式).要特別注意真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1，字母底數(shù)還需討論的呀.對(duì)數(shù)的換底公式及它的變形，.14、你知道函數(shù)嗎？該函數(shù)在或上單調(diào)遞增；在或上單調(diào)遞減，求導(dǎo)易證，這可是一個(gè)應(yīng)用廣泛的函數(shù)！對(duì)號(hào)函數(shù)是奇函數(shù),;,.要熟悉其圖像噢.15、確定函數(shù)單調(diào)性的方法有定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖像法和特值法(用于小題)等．注意：①.能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。②.單調(diào)區(qū)間是最大范圍，注意一定不能寫成“并”.③.復(fù)合函數(shù)由同增異減判定、圖像判定.作用:比大小,解證不等式.16、奇偶性：f(x)是偶函數(shù)，脫號(hào)性，避免討論;f(x)是奇函數(shù)f(-x)=-f(x);定義域含零的奇函數(shù)必定過(guò)原點(diǎn)(f(0)=0);定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要而不充分條件。奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)則為相反的單調(diào)性；注意：既奇又偶的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)(如，只要定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可)．17、周期性:①函數(shù)滿足，則是周期為2的周期函數(shù)；②若恒成立，則；③滿足條件的函數(shù)的周期.18、圖象變換:“左加右減”（注意是針對(duì)而言）、“上加下減”(注意是針對(duì)而言).①函數(shù)的圖象是把的圖象沿軸向左或向右平移個(gè)單位得到的；②函數(shù)+的圖象是把的圖象沿軸向上或向下平移個(gè)單位得到的；③函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來(lái)的倍得到的；④函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來(lái)的倍得到的.19、函數(shù)的對(duì)稱性:①滿足條件的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；②點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為；③點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為；④函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線方程為；⑤點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為；點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為；曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線的方程為.區(qū)別:若,則圖像關(guān)于直線對(duì)稱（自對(duì)稱）;函數(shù)與的圖像關(guān)于直線互對(duì)稱；兩函數(shù)與關(guān)于直線互對(duì)稱.(由確定).⑥如果函數(shù)對(duì)于一切，都有，⑦形如的圖像是雙曲線，對(duì)稱中心是點(diǎn).⑧的圖象、的圖象你會(huì)畫嗎？20、幾類常見(jiàn)的抽象函數(shù)模型：借鑒模型函數(shù)進(jìn)行類比探究。①正比例函數(shù)型：；②冪函數(shù)型：，；③指數(shù)函數(shù)型：，；④對(duì)數(shù)函數(shù)型：，；⑤三角函數(shù)型：。21、反函數(shù):求一個(gè)函數(shù)的解析式和一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，你別忘記注明該函數(shù)的定義域喲！①函數(shù)存在反函數(shù)的條件是一一映射；②奇函數(shù)若有反函數(shù)則反函數(shù)是奇函數(shù)；③周期函數(shù)、定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)無(wú)反函數(shù)；④互為反函數(shù)的兩函數(shù)具有相同的單調(diào)性；⑤f(x)定義域?yàn)锳,值域?yàn)锽,則有還原性：,；⑥單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，但反之不然，如.原函數(shù)與反函數(shù)圖象的交點(diǎn)不全在y=x上（如：?jiǎn)握{(diào)遞減函數(shù)），但單調(diào)遞增函數(shù)則交點(diǎn)都在y=x上；只能理解為在x+a處的函數(shù)值。22、題型方法總結(jié)Ⅰ判定相同函數(shù):定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.Ⅱ求函數(shù)解析式的常用方法：（1）待定系數(shù)法――已知所求函數(shù)的類型.（2）代換（配湊）法――已知形如的表達(dá)式，求的表達(dá)式。這里值得注意的是所求解析式的定義域的等價(jià)性，即的定義域應(yīng)是的值域。（3）方程的思想――對(duì)已知等式進(jìn)行賦值，得到關(guān)于及另外一個(gè)函數(shù)的方程組。Ⅲ求定義域:使函數(shù)解析式有意義(如:分母?偶次根式被開(kāi)方數(shù)?對(duì)數(shù)真數(shù)?底數(shù)?零指數(shù)冪的底數(shù)?)實(shí)際問(wèn)題有意義;若f(x)定義域?yàn)閇a,b],復(fù)合函數(shù)f[g(x)]定義域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定義域?yàn)閇a,b],則f(x)定義域相當(dāng)于x∈[a,b]時(shí)g(x)的值域；Ⅳ求值域:①配方法；②逆求法（反求法）；③三角有界法；④單調(diào)性法；⑤數(shù)形結(jié)合；⑥換元法：運(yùn)用換元法時(shí)，要特別注意新元的取值范圍；⑦分離參數(shù)法;⑧不等式法――利用基本不等式求函數(shù)的最值。⑨判別式法；=10\*GB3⑩導(dǎo)數(shù)法.Ⅴ解應(yīng)用題:審題(理順數(shù)量關(guān)系)、建模、求模、驗(yàn)證.Ⅵ恒成立問(wèn)題:分離參數(shù)法;最值法;化為一次或二次方程根的分布問(wèn)題.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;Ⅶ利用一些方法（如賦值法（令＝0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進(jìn)行邏輯探究。如：若，滿足，則的奇偶性是______（答：奇函數(shù)）；23、函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指：曲線在點(diǎn)處切線的斜率,即,切線方程為.24、常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:(為常數(shù))；．25、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:⑴過(guò)某點(diǎn)的切線不一定只有一條;⑵研究單調(diào)性步驟:分析y=f(x)定義域;求導(dǎo)數(shù);解不等式f/(x)≥0得增區(qū)間;解不等式f/(x)≤0得減區(qū)間;注意f/(x)=0的點(diǎn);⑶求極值、最值步驟:求導(dǎo)數(shù);求的根;檢驗(yàn)在根左右兩側(cè)符號(hào),若左正右負(fù),則f(x)在該根處取極大值;若左負(fù)右正,則f(x)在該根處取極小值;把極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小的是最小值.特別提醒：（1）是極值點(diǎn)的充要條件是點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不僅是＝0，＝0是為極值點(diǎn)的必要而不充分條件。（2）給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗(yàn)“左正右負(fù)”(“左負(fù)右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒(méi)有用完，這一點(diǎn)一定要切記！千萬(wàn)別上當(dāng)噢.三、數(shù)列26、,注意一定要驗(yàn)證a1是否包含在an中,從而考慮要不要分段.27、;在等差數(shù)列中;仍成等差數(shù)列；28、首項(xiàng)為正的遞減(或首項(xiàng)為負(fù)的遞增)等差數(shù)列前n項(xiàng)和最大(或最小)問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為解不等式組,或用二次函數(shù)處理;(等比前n項(xiàng)積?……).29、等差數(shù)列;;等比數(shù)列中;當(dāng)q=1,Sn=na1；當(dāng)q≠1,Sn==.30、常用性質(zhì)：等差數(shù)列中：；若，則；等比數(shù)列中：；若，則；31、常見(jiàn)數(shù)列：{an}、{bn}等差則{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比則{kan}(k≠0)、、{anbn}、等比;{an}等差,則(c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,則{logcbn}(c>0且c1)等差.32、三數(shù)等差可設(shè)為;四數(shù);等比三數(shù)可設(shè)；四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：(為什么？q2>0)33、等差數(shù)列的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等差數(shù)列,公差為；等比數(shù)列的任意連續(xù)m項(xiàng)的和（且不為零時(shí)）構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等比數(shù)列,公比為.注：公比為-1，n為偶數(shù)時(shí)就不對(duì)，此時(shí)、-、-、…不成等比數(shù)列？34、等差數(shù)列,①項(xiàng)數(shù)2n時(shí),S偶-S奇＝nd;項(xiàng)數(shù)2n-1時(shí),S奇-S偶＝an;②項(xiàng)數(shù)為時(shí)，則;項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，.35、求和常法:公式、分組、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減法、倒序相加法.關(guān)鍵是要找準(zhǔn)通項(xiàng)結(jié)構(gòu).在等差數(shù)列中求；在應(yīng)用等比數(shù)列求前n項(xiàng)和時(shí)，需要分類討論：時(shí)，；時(shí)，.在等比數(shù)列中你還要時(shí)刻注意到.常見(jiàn)和：，，；.你還記得常用裂項(xiàng)形式(拆項(xiàng)消去法)嗎？如：；；；;；;;常見(jiàn)放縮公式：．36、求通項(xiàng)常法:（1）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,你現(xiàn)在會(huì)求通項(xiàng)了嗎？（2）先猜后證;（3）疊加法(迭加法)：；疊乘法(迭乘法)：.（4）構(gòu)造法(待定系數(shù)法):形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列。（5）涉及遞推公式的問(wèn)題，常借助于“迭代法”解決.高中數(shù)學(xué)資料共享群（734924357）（6）倒數(shù)法形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。37、“分期付款”中的單利問(wèn)題、復(fù)利問(wèn)題你熟悉嗎？四、三角38、一般說(shuō)來(lái)，周期函數(shù)加絕對(duì)值或平方，其周期減半．（如的周期都是,但的周期為，的周期為）．弧長(zhǎng)公式,扇形面積公式,1弧度.39、函數(shù)y=b（）①五點(diǎn)法作圖;②振幅?相位?初相?周期T=,頻率?=kπ時(shí)奇函數(shù);=kπ+時(shí)偶函數(shù).③對(duì)稱軸處y取最值,對(duì)稱中心處y為0;（問(wèn)問(wèn)自己：正弦曲線、余弦曲線、正切曲線的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心你熟記了嗎？）求單調(diào)區(qū)間：①確保x系數(shù)為正；②讓角進(jìn)入單調(diào)區(qū)間;④變換:正左移負(fù)右移；b正上移負(fù)下移;;.40、解斜三角形,易得：,①;;;②銳角中,,;類比得鈍角結(jié)論．③,射影定理；④正弦定理:;內(nèi)切圓半徑r=;⑤余弦定理：;=6\*GB3⑥,=7\*GB3⑦術(shù)語(yǔ):坡度、仰角、俯角、方位角、方向角.41、在三角中，這些統(tǒng)稱為1的代換，常數(shù)“1”的代換有著廣泛的應(yīng)用．42、誘導(dǎo)公式簡(jiǎn)記:奇變偶不變,符號(hào)看象限．(注意：公式中始終視a為銳角)記住奇,偶,象限指什么？三角函數(shù)“正號(hào)”記憶口訣：“一全正二正弦,三兩切四余弦”．43、重要公式：如；；;;.巧變角(角的拆拼)：如，，，，等.高中數(shù)學(xué)資料共享群（734924357）44、輔助角公式：(其中角所在的象限由a,b的符號(hào)確定，角的值由確定)在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩向量的夾角、兩條異面直線所成的角等時(shí)，你要注意到它們各自的取值范圍及意義：=1\*GB3①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次是；②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是；③向量的夾角的取值范圍是.五、平面向量45、向量定義、向量模、零向量、單位向量、逆向量、共線向量、相等向量、平行向量.注意:不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）46、加、減法的平行四邊形與三角形法則:;.47、,向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，,其夾角為,則：①;若，,則,的充要條件要熟記.②；.48、想一想如何求向量的模？在方向上的投影是什么？(是個(gè)實(shí)數(shù),可正可負(fù)可為零!).49、若和是平面一組基底,則該平面任一向量(唯一).特別：＝則是三點(diǎn)P、A、B共線的充要條件。50、三角形中向量性質(zhì)：①過(guò)邊的中點(diǎn)：；②為的重心；;③為的垂心,；④為的內(nèi)心；向量所在直線過(guò)的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；外心;⑤向量面積公式你記住了嗎？設(shè),．．51、定比分點(diǎn)公式中P分的比為,則=,＞0內(nèi)分;＜0且外分.＝;若λ＝1則＝(+);設(shè)P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)則;中點(diǎn)；重心;52、平移公式你記住了嗎?（這可是平移問(wèn)題最基本的方法）.六、不等式53、如果不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式，如果正負(fù)號(hào)未定，要注意分類討論噢!54、比較大小的常用方法：（1）作差：作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量與“0”比，與“1”比或放縮法；(8)圖象法。55、常用不等式：;.利用重要不等式以及變式等求函數(shù)的最值時(shí)，你要注意到a，b，且“等號(hào)成立”時(shí)的條件？積ab或和a＋b其中之一應(yīng)是定值。注意：①一正二定三等；②積定和最小,和定積最大。常用的方法為：拆、湊、平方.56、(何時(shí)取等號(hào)？)；|a|≥a；|a|≥－a.57、證法:①比較法:差比:作差--變形(分解或通分配方)--定號(hào).另:商比、平方差比；②綜合法—由因?qū)Ч?③分析法--執(zhí)果索因．基本步驟：要證…需證…,只需證…；④反證法--正難則反。⑤放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的：⑴添加或舍去一些項(xiàng)，如：；.⑵將分子或分母放大（或縮?。?，如：.⑶利用基本不等式，如：；.⑷利用常用結(jié)論：，Ⅰ、；Ⅱ、；（程度大）Ⅲ、；（程度?。迵Q元法：常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：已知，可設(shè)；已知，可設(shè)()；⑦最值法,如：方程有解(為的值域)；恒成立,恒成立．58、解絕對(duì)值不等式:①幾何法(圖像法)②定義法(零點(diǎn)分段法);③兩邊平方;④公式法.不等式的解集的規(guī)范書寫格式是一般要寫成集合的表達(dá)式!解指對(duì)不等式應(yīng)該注意指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零.59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根軸法（穿線法）.注意偶次式與奇次式符號(hào).奇穿偶回。在解含有參數(shù)的不等式時(shí)，是要進(jìn)行討論的（特別是指數(shù)和對(duì)數(shù)的底或）討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解是…．七、立幾60、位置：①空間兩直線:平行、相交、異面;判定異面直線用定義或反證法;②直線與平面呢?③平面與平面呢?61、你知道三垂線定理的關(guān)鍵是一面四直線，垂線是關(guān)鍵，垂直三處見(jiàn)，故曰三垂線.62、求空間角：①異面直線所成角的求法：（1）范圍：；（2）求法：平移以及補(bǔ)形法、向量法。用“平移法”時(shí)要注意平移后所得角是所求角或其補(bǔ)角。②直線和平面所成的角：（1）范圍；（2）斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。（3）求法：作垂線找射影或求點(diǎn)線距離（向量法）；③二面角的求法：定義法、三垂線法、垂面法、面積射影法、法向量法。63、平行六面體→直平行六面體→長(zhǎng)方體→正四棱柱→正方體間有什么聯(lián)系?三棱錐中:側(cè)棱長(zhǎng)相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點(diǎn)在底面射影為底面外心;側(cè)棱兩兩垂直(兩對(duì)對(duì)棱垂直)頂點(diǎn)在底面射影為底面垂心;斜高相等(側(cè)面與底面所成相等)頂點(diǎn)在底面射影為底面內(nèi)心;正棱錐各側(cè)面與底面所成角相等為θ,則:S側(cè)cosθ=S底;正三角形四心?內(nèi)切外接圓半徑?64、空間距離:①異面直線間距離:找公垂線;②平行線與面間距離(兩平行面間距離)→點(diǎn)到面距離:直接法、等體積、轉(zhuǎn)移法、垂面法、向量法.③點(diǎn)到線距離:用三垂線定理作垂線后再求;正四面體(設(shè)棱長(zhǎng)為)的性質(zhì)：高，全面積，體積；相鄰面所成二面角；外接球半徑；內(nèi)切球半徑.直角四面體的性質(zhì)：(直角四面體—三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體)．在直角四面體中,兩兩垂直,令,則⑴底面三角形為銳角三角形；⑵直角頂點(diǎn)在底面的射影為三角形的垂心；⑶；⑷；⑸；⑹外接球半徑．65、求球面兩點(diǎn)A、B距離:關(guān)鍵是求出球心角。①求|AB|;②算球心角∠AOB弧度數(shù);③用公式L球面距離=球心角×R;緯線半徑r＝Rcos緯度.球內(nèi)接長(zhǎng)方體;;.66、平面圖形翻折(展開(kāi)):注意翻折(展開(kāi))后在同一平面圖形中角度、長(zhǎng)度不變;67、立平斜三角余弦公式,你熟練掌握了嗎?68、常用轉(zhuǎn)化思想:①構(gòu)造四邊形、三角形把問(wèn)題化為平面問(wèn)題;②將空間圖展開(kāi)為平面圖;③割補(bǔ)法;④等體積轉(zhuǎn)化;⑤線線平行線面平行面面平行;⑥線線垂直線面垂直面面垂直;⑦有中點(diǎn)等特殊點(diǎn)線,用“中位線、重心”轉(zhuǎn)化.69、長(zhǎng)方體:對(duì)角線長(zhǎng);正方體和長(zhǎng)方體外接球直徑=體對(duì)角線長(zhǎng);已知長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為因此有或；若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為,則有高中數(shù)學(xué)資料共享群（734924357）或．八、解析70、解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)。要注意，但誰(shuí)也別忘了它還是幾何，要注意畫圖。71、傾斜角,.斜率.當(dāng)，但是直線是存在的.直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正，可負(fù)，也可為0。（截距不是距離”?。┲本€方程:點(diǎn)斜式;斜截式;一般式:;兩點(diǎn)式:;截距式:(a≠0,b≠0);求直線方程時(shí)要防止由于零截距和無(wú)斜率造成丟解,(由局限性，所以設(shè)方程的點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)，就應(yīng)該先考慮斜率不存在的情形）。直線Ax+By+C=0的方向向量為=(B,-A)=(1,k).72、兩直線平行和垂直你記住了嗎?點(diǎn)線距呢?是什么?到的角;夾角;73、線性規(guī)劃：利用特殊點(diǎn)來(lái)判斷.求最值?求范圍?整點(diǎn)問(wèn)題?（文科）74、圓:⑴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?⑵圓的一般方程圓心為,半徑為;⑶圓的參數(shù)方程：;⑷圓的直徑式方程你會(huì)寫嗎?75、若，則P(x0,y0)在內(nèi)(上、外).在圓中，注意利用半徑、半弦長(zhǎng)、及弦心距組成的直角三角形。圓的幾何性質(zhì)別忘了。76、處理直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：（1）點(diǎn)到直線的距離；（2）直線方程與圓的方程聯(lián)立，判別式法。一般來(lái)說(shuō)，前者更簡(jiǎn)捷。弦長(zhǎng)公式.77、圓與圓的位置關(guān)系,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關(guān)系．設(shè)兩圓的圓心距為,兩圓的半徑分別為：相離公切線有4條；外切公切線有3條；相交公切線有2條；內(nèi)切公切線有1條；內(nèi)含沒(méi)有公切線；兩圓同心．78、直線系方程系：過(guò)定點(diǎn)、平行、垂直的直線系方程你會(huì)設(shè)嗎？推廣:橢圓、雙曲線、拋物線?過(guò)曲線f1(x,y)=0與曲線f2(x,y)=0交點(diǎn)的曲線系方程為:f1(x,y)+λf2(x,y)=0.過(guò)圓：,：交點(diǎn)的圓(相交弦)系方程為．時(shí)為兩圓相交弦所在直線方程，即兩圓方程相減可得相交弦所在直線方程；79、圓上動(dòng)點(diǎn)到某條直線(或某點(diǎn))的距離的最大、最小值的求法(過(guò)圓心).圓上一點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)的切線方程為：；圓上點(diǎn)切線方程為.過(guò)圓x2+y2=r2外點(diǎn)P(x0,y0)作切線后切點(diǎn)弦方程:x0x+y0y=r2;過(guò)圓外點(diǎn)作圓切線有兩條.若只求出一條,則另一條垂直ｘ軸.80、橢圓:①方程;參數(shù)方程;②定義:;注意：當(dāng)軌跡為線段F1F2;軌跡為;③e=,，橢圓有何特性？④長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b;⑤焦半徑：(“左加右減”);左焦點(diǎn)弦,右焦點(diǎn)弦;⑥通徑(最短焦點(diǎn)弦),焦準(zhǔn)距p=;⑦=,當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)∠PF1F2最大,近地點(diǎn)a-c,遠(yuǎn)地點(diǎn)a+c;=8\*GB3⑧點(diǎn)在