2020北京一六一中學(xué)初三（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

16/162020北京一六一中學(xué)初三（上）期中數(shù)學(xué)班級______________姓名______________學(xué)號_________考生須知1．本試卷共5頁，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘。2．試卷答案一律寫在答題紙上，在試卷上作答無效。3．在答題紙上，用黑色字跡簽字筆作答。4．考試結(jié)束后，將答題紙交回。選擇題：（本題共16分，每小題2分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目的要求．1．二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是Ａ．(1,3) Ｂ．(-1,3) Ｃ．(-1,-3) Ｄ．(1,-3)已知⊙O的半徑為3cm，點(diǎn)P到圓心O的距離OP＝2cm，則點(diǎn)P在A.在⊙O外B.在⊙O上C.在⊙O內(nèi)D.不能確定3．如圖，點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，若，則的度數(shù)是A．18° B．36°C．30° D．72°4.若要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度B．先向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度C．先向左平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度D．先向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移2個(gè)單位長度5.如圖，△ABC中，∠BAC=80°，AB=4，AC=6．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)分別在△ABC內(nèi)畫出一個(gè)陰影三角形與△ABC相似，其中畫的錯(cuò)誤的是A.甲B．乙C．丙D．丁6.關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則a滿足A.a≥1B．a(chǎn)＞1且a≠5C．a(chǎn)≥1且a≠5D．a(chǎn)≠57.已知函數(shù)，其中，此函數(shù)的圖象可以是8．如圖，拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，D是以點(diǎn)C（0，4）為圓心，1為半徑的圓上的動點(diǎn)，E是線段AD的中點(diǎn)，連接OE，BD，則線段OE的最小值是A.2B.C.D.3二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.請寫出一個(gè)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根的一元二次方程是__________________________.10.若一個(gè)扇形的半徑是18cm，且它的弧長是15πcm，則此扇形的圓心角等于°.11．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且DE∥BC．若AD=2，AB=3，DE=8，則BC的長為．（（11題圖）12.如果△ABC∽△DEF，相似比為3∶1，且△DEF的面積為4，那么△ABC的面積為．13.“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用數(shù)學(xué)語言可以表述為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦于E，如果CE=1，AB=10，那么半徑OC的長為.”14.直線和拋物線都經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),B(3,2)觀察圖象直接寫出不等式的解集．OOyxBA（（14題圖）15.方程的兩根為，，則的值為.16.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，線段AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）后，直線AB與⊙O相切，則α的值為____________（（16題圖）三、解答題（本題共68分，第17--20題，每小題5分，第21題6分，第22題5分，第23題6分，第24題5分，第25題6分，第26題6分，第27--28題，每小題7分.）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.解方程：（1）（2分）（2）（3分）18.下面是小文設(shè)計(jì)的“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的作圖過程.已知：⊙O和圓外一點(diǎn)P．求作：過點(diǎn)P的⊙O的切線．作法：①連接OP；②以O(shè)P為直徑作⊙M，交⊙O于點(diǎn)A，B；③作直線PA，PB；所以直線PA，PB為⊙O的切線.根據(jù)小文設(shè)計(jì)的作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，按上述作法補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明.證明：連接OA，OB.∵OP為⊙M的直徑，∴∠OAP=∠OBP=90°（）(填推理的依據(jù)).∴OA⊥AP，OB⊥BP.∵OA，OB為⊙O半徑，∴直線PA，PB為⊙O的切線.（）(填推理的依據(jù)).已知:如圖，AB為⊙O的直徑，OD∥AC.求證：點(diǎn)D平分拋物線QUOTEy=ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表x012y0－408（1）寫出該拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出拋物線的解析式，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出該拋物線的圖象；(3)結(jié)合圖象回答：①不等式QUOTEx2-2x-3<0的解集是___________________；②當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是__________________.21.如圖，是一座古代拱橋的截面圖，拱橋橋洞的上沿是拋物線形狀，當(dāng)水面的寬度為10m時(shí)，橋洞與水面的最大距離是5m．經(jīng)過討論，同學(xué)們得出三種建立平面直角坐標(biāo)系的方案（如下圖），你選擇的方案是_____(填方案一，方案二，或方案三)，則B點(diǎn)坐標(biāo)是______，（1）求出你所選方案中的拋物線的表達(dá)式；（2）因?yàn)樯嫌嗡畮煨购椋鎸挾茸優(yōu)?m，求水面上漲的高度．

22.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一點(diǎn)，且BE=BD．（1）求證：△ABE∽△ACD；（2）若BD=1，CD=2，求的值．23.已知關(guān)于x的一元二次方程.（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個(gè)根為負(fù)數(shù)，求的取值范圍.24.如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，⊙O的切線BD交OC的延長線于點(diǎn)D.（1）求證：；（2）若∠BAC=30°，AC=2.求CD的長.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）有兩個(gè)不相等且非零的實(shí)數(shù)根，探究a，b，c滿足的條件．小華根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為可以從二次函數(shù)的角度看一元二次方程，下面是小華的探究過程：第一步：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）對應(yīng)的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c（a>0）；第二步：借助二次函數(shù)圖象，可以得到相應(yīng)的一元二次方程中a，b，c滿足的條件，列表如下：方程兩根的情況對應(yīng)的二次函數(shù)的大致圖象a，b，c滿足的條件方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根①_______方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根②__________③____________（1）請幫助小華將上述表格補(bǔ)充完整；（2）參考小華的做法，解決問題：若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)負(fù)實(shí)根和一個(gè)正實(shí)根，且負(fù)實(shí)根大于－1，求實(shí)數(shù)的取值范圍．26.（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求拋物線和圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；②如果拋物線和圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界)恰有個(gè)整點(diǎn)，求出的取值范圍．27.已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)．點(diǎn)M為線段BC上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接AM，將線段AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ME，連接EC．（1）如圖1，若點(diǎn)M在線段BD上．①依據(jù)題意補(bǔ)全圖1；②求∠MCE的度數(shù)．圖1圖1（2）如圖2，若點(diǎn)M在線段CD上，請你補(bǔ)全圖形后，直接用等式表示線段AC、CE、CM之間的數(shù)量關(guān)系．圖圖2如圖28-1，已知線段與點(diǎn)，若在線段上存在點(diǎn)，滿足，則稱點(diǎn)為線段的“限距點(diǎn)”.圖28-1如圖28-2，在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，.在，，中，是線段的“限距點(diǎn)”的是________；點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，若點(diǎn)是線段的“限距點(diǎn)”，請求出點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.圖28-2在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若線段上存在線段的“限距點(diǎn)”，請求出的取值范圍.

2020北京一六一中學(xué)初三（上）期中數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：（本題共16分，每小題2分）在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目的要求．12345678ACBCDCDA二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.（答案不唯一）如：10.150°11.1212.3613.1314.1<x<315.-316.60°或120°三、解答題（本題共68分，第17--20題，每小題5分，第21題6分，第22題5分，第23題6分，第24題5分，第25題6分，第26題6分，第27--28題，每小題7分.）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.17.（1）解：（2）解：【解法一】...……………1分..∴，.……………3分【解法二】.==.…………1分∴.∴，.………………3分18.作圖：3分證明：連接OA，OB.∵OP為⊙E的直徑，∴∠OAP=∠OBP=90°.（直徑所對的圓周角是直角）.∴OA⊥AP，OB⊥BP.∵OA，OB為⊙O的半徑，∴直線PA，PB為⊙O的切線.（經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）.……5分19.證明：連接CB.…1分∵AB為⊙O的直徑，∴.…2分∵OD∥AC，∴OD⊥CB，.…4分∴點(diǎn)D平分.…5分（1）直線，頂點(diǎn)（2）圖像略（3）21.（1）方案一，B(5,0)y=-x2+5方案二，B(10,0)y=-x2+2x方案三，B(5,-5)y=-x2(2)水面上張高度為3.2m.22.（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∵BE=BD，∴∠BED=∠BDE．∴∠AEB=∠ADC．∴△ABE∽△ACD．（2）解：∵△ABE∽△ACD，∴．∵BE=BD=1，CD=2，∴．23.（1）證明：．∵，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解：依題意，．∴，．∵方程有一個(gè)根為負(fù)數(shù)，∴．∴．24.（1）證明：∵DB是⊙O的切線，∴∠OBD=∠OBC+∠DBC=90°.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°.∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB.∴∠DBC=∠OCA.（2）解：在Rt△ACB中，∠A=30°，AC=2，可得CB=.∵∠A=30°，∴∠COB=2∠A=60°.∴∠D=90°∠COB=30°.∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30°.∴∠DBC=∠OCA=30°.∴∠D=∠DBC.∴CB=CD.∴CD=.25.(1)①方程有一個(gè)負(fù)實(shí)根，一個(gè)正實(shí)根②圖略③（2）解：，∵一元二次方程有一個(gè)負(fù)實(shí)根，一個(gè)正實(shí)根，且負(fù)實(shí)根大于-1，∴解得．∴m的取值范圍是．26.（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；…….………….…...….……………2分QUOTE（2）①當(dāng)時(shí)，，．….…...….……………3分QUOTE根據(jù)圖象可知，和圍成的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)整點(diǎn)有5個(gè)．…4分②拋物線在和圍成的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)恰有個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，可得拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為≤．將（1，）代入，得到，……………分將（2，）代入，得到，結(jié)合圖象可得≤．….…...…..……分27.(1)=1\*GB3①補(bǔ)全圖1：………………2分=2\*GB3②解：過點(diǎn)M作BC邊的垂線交CA延長線于點(diǎn)F∴∠FMC=90°∴∠FMA+∠AMC=90°∵將線段AM繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ME∴∠AME=90°∴∠CME+∠AMC=9