a小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽4-3-1 三角形等高模型與鳥頭模型(一).教師版

ABAB4-3-1.形高與頭板塊一

例題精三角形等高模型我們已經(jīng)知道三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積．如果三角形的底不變，高越大小)，三角形面積也就越大小)；如果三角形的高不變，底越大小)，三角形面積也就越大小)；這說明當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化．但是，當(dāng)三角形的底高同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化．比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉淼?倍底變?yōu)樵瓉淼模蚊娣e與原來的一樣．這就是說：一個(gè)三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底變化．同時(shí)也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無數(shù)多個(gè)不同的形狀．在實(shí)際問題的研究中，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論：①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；②兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖:A

B

1

2a

b

C③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖S；反之，如果S，則可知直線平于④等底等高兩平四形面積相(長方形和正方形可以看特殊的平行四邊)；⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它的高之比．【1你有少方將意個(gè)三形成⑴個(gè)積等三形⑵個(gè)面積等三形⑶6個(gè)面相的角．【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度1星【型】解答【解析】⑴如圖，D、是BC的等分點(diǎn)，F(xiàn)、G分是對(duì)應(yīng)線段的中，答案不唯一：

A

G

E

C

D

B

D

⑵如圖，答案不唯一，以下僅供參考：

（1）（2（⑶如下圖，答案不唯一，以下僅供參考：

（）

（5【答案】⑴答案不唯一：

G

C

D

D

C⑵答不唯一：（1）

（）

（3）

（）

（5⑶答案不唯一：【2如圖BD長厘米DC長厘米，、和同條線．⑴求角ABC的積三形ABD面的少？⑵求角ABD的面是角面的多倍AB

D

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】因?yàn)榻切?、三角形和角形在別以BD和DC為時(shí)，它們的高都從A點(diǎn)向邊所作的垂線，也就是說三個(gè)三角形的高相等．于是：三角形ABD的面積三角形ABC的積三角形ADC的積所以，三角形ABC面積是三角形ABD面積的倍三角形ABD的積是三角形ADC面積的3倍【答案】

43

、3【3如右，和CDEF都是形AB的是厘米的長3厘，么中影分面是平厘．

FDC【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】圖中影部分的面積等長方形面積的一半，即4(平方厘米．【答案】6【固年中小升初入學(xué)測試如圖示平四形面是50平方米則影分面是平厘．【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】根據(jù)積比例模型，可圖中空白三角形面積等于平行四邊形面積的一半，所以陰影部分的面積也等于平行四邊形面積的一半，為50平厘米．【答案】25【固如圖長形FEB和方FDCE拼成了方ABCD，方的是，寬12，它部影分面是．FD

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答1【解析】根據(jù)積比例模型可知影部分面積等于長方形面積的一半，為2【答案】120【4如圖長形ABCD的面積平厘，、、分是方ABCD邊的點(diǎn)，H為AD邊上的意點(diǎn)求影分面．AE

G

AE

GB

F

C

B

F

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】本題等底等高的兩個(gè)角形面積相等的應(yīng)用．連接、．∵AEEB，∴S．eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)同，，，eq\o\ac(△,1)eq\o\ac(△,)△1∴S(平方厘米．22【答案】28【固圖的、FG分別正形ABCD三邊三分點(diǎn)如正形邊是12，么影

222分面是．222AD

A

D

GE

E

B

F

B

F

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】把另三個(gè)三等分點(diǎn)標(biāo)之后，正方形的3個(gè)就被分成了相等的三段．把H和這些分點(diǎn)以及正方形的頂點(diǎn)相連，把整個(gè)正方形分割成了個(gè)狀各不相同的三角形．這個(gè)角形的底邊分別是在正方形的個(gè)邊上它們的長度都是正方形邊長的三分一陰部分被分割成了3個(gè)三角形右邊三角形的面積和第1第個(gè)角形相等：中間三角形的面積和第第4個(gè)角形相等；左邊三角形的面積和第5個(gè)第個(gè)三角形相等．因此這3個(gè)影三角形的面積分別是ABH、BCH和CDH的分一因此部陰影的總面積就等于正方形面積的三分之一．正方形的面積1，陰影部分的面積就是．【答案】48【5長方的積為，E、F、為邊點(diǎn)H為AD邊任一，陰部面是多？

HG

F

CAHD

A

HDEG

EGBC

B

F

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】（法1特殊點(diǎn)法．由于H為AD上任意一點(diǎn)，找H的殊點(diǎn)，把H點(diǎn)與A點(diǎn)合如左上圖那么陰影部分的面積就是AEF與面積之和，而這兩個(gè)三角形的面積分別為長方形113面積的和，以陰影部分面積為長方形ABCD面的，．48（法）尋找可利用的條件，連接BH、HC如右上圖．11可得：、S、S，，1即S()；而S，BF))．所以陰影部分的面積是：【答案】

18．【固在長6厘米正形內(nèi)任一，正形一對(duì)二等，一對(duì)三分

分與P點(diǎn)連求影分積A()DA

CB

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】（法）特殊點(diǎn)法．由于P正方形內(nèi)部任意一點(diǎn)，可采用特殊點(diǎn)法，假設(shè)點(diǎn)A點(diǎn)合，則陰11影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個(gè)陰影三角形的面積分別占正方形面積的和，以陰影41分的面積為6)平厘米．4（法）連接PAPC．由于與PBC的積之和等于正方形面的一半，所以上、下兩個(gè)陰影三角形的面積1之和等于正方形ABCD面的，理可知左、右兩個(gè)陰影三角形的面積之和等于正方形ABCD面4積的

11，所以陰影部分的面積為)平厘米．64【答案】15【6如右，在上垂直，AD厘米，DE厘米．三形ABC的面是角面積的倍

D

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】因?yàn)锳D垂于BC所以當(dāng)BC為角形ABC和角形底時(shí)AD三角形的高，是三角形EBC的，于是：三角形ABC面積BCBC三角形面積BC所以三角形ABC的積是三角形EBC的積的4倍【答案】4【7如圖在行邊ABCD中，平，結(jié)BEAECF那么△等積的角一有幾三形A

EB

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】△AEC、△、△ABF．【答案】△AEC△AFC、△ABF．【固如，△中D是BC點(diǎn)，是中，結(jié)BECE那與△ABE等積三形共哪個(gè)角？

AB

ED

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】，△eq\o\ac(△,、)eq\o\ac(△,)BEDeq\o\ac(△,、)DEC．【解析】【答】3個(gè)，△eq\o\ac(△,、)、△DEC．【固如，梯中，有個(gè)三形其面相的角共哪對(duì)A

BC【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】△與△ACD，△ABC與△，△與△DCO【答案】△，△ABC與△DBC△△DCO【8如圖三形ABC的面為，中AEAB，BD，三形的面是多？A

B

E

A

B

EC【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答【關(guān)鍵詞】春杯【解析】連接CE，，AB，S2VBCEVACB又∵BD，∴．BDEBCEVABC【答案】4

【9如右，ADDBFC已陰部面為5平方米ABC的面是方米

平A

BDEF

A

BEC【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答【關(guān)鍵詞】2008年，四中考題【解析】連接CD．據(jù)題意可知，DEF面積為DAC面積的，的積為面的，所1以的積為面的．而的積為5平方厘米，所以面積為3

(平方厘米．【答案】30【固圖中角ABC面是180方米D是的中，的是長3倍，EF的是長倍．那三形AEF的面是多平厘？

VVABDVVZCYVDCBVZCYVVVABDVVZCYVDCBVZCYVABCDEFB

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答B(yǎng)D1【解析】ABDABC等，所以面積的比為底的比，有V,BC2VABC1AE所以S(平厘米)理平方厘米，22AD3VAFE

(方厘米．三角形的積是方厘米．BE【答案】【固如，長形ABCD中，是的中點(diǎn)Z是DY的中點(diǎn)如AB厘米厘米求三形的面．

CZ

YA

B【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】∵Y是的中點(diǎn)，Z是DY的點(diǎn)，∴ZY，S，41又∵ABCD是方形，∴SS(平方厘米)．42【答案】24【固如，角ABC的積24D、E和F分別、AC和AD的中．三角DEF的積F

D

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】三角ADC面積是三角形ABC面的半，三角形ADE又三角形ADC面的一半1．三角形FED的積是三角形面的一半，所以三角形FED的面積．【答案】3【固如，三形中厘米，是6厘，、F分為的點(diǎn)那三形EBF的積多平厘？

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】∵F是AC的點(diǎn)∴S同理S

2∴S平方厘米．2【答案】6【10如所，A、B、C都是方邊中eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)AOB大5平方米eq\o\ac(△,。)eq\o\ac(△,)AOB的面為平厘。CA

OE

B

D【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，級(jí)，決賽，第題10分【解析】S，所以，。CODABDABO【答案】7.5【11如ABCD一長形點(diǎn)E、和分是們?cè)谶呏校降姆e36個(gè)方位求角的面是少平單．D

G

C

D

G

CEA

FB

FB【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度2星【型】解答【解析】如右分割后可得，36（方單位矩形【答案】9【固如，方ABCD的積1M是AD的點(diǎn)，N在邊，且2.么，影分面是少

M

M

NC

N【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】春杯，決賽【解析】連接BM，因?yàn)槭屈c(diǎn)所以△ABM的面積為又為BN，以△BDC的積為15，又因?yàn)锽DC面為，以陰影部分的面積為：141212【答案】

512【12如，長形面是12平方米24平方厘、36平厘、48平方厘的個(gè)長形組而．陰部的積

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)Aeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

B12cm

36cm

12cmM

36cm

N24cm

48cm

24cmCD

48cm

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答12241【解析】如圖將大長方形的長長度設(shè)為，則AB，，1224481所以MN，陰影分面積為5(cm)．1212【答案】5【13圖ABCD個(gè)角形∠DAB∠ABC=90°)，以AD為一向作方，面為6.36平厘。接BE交AD于，連。圖陰部的積(平方米F

DC(A)6.36B)2.12（D）【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第5題【解析】如圖連AE，。因?yàn)锳D，則：eq\o\ac(△,S)PDCS陰影eq\o\ac(△,S)EPDeq\o\ac(△,S)PDCeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)EDA

,又AB∥，則：,以，EBD13.18平方厘米）F

DC說明答和直角梯形形狀無關(guān)以讓邊近AD邊直和邊重合此P與A合，PE是ADEF的角線，所以，陰影部分的面積是面的一半等于3.18方厘米。【答案】3.18【14如，是徑圓O上弦且的度圓半相，圓外一，OA的度2，且OA與BC平行，么中影分面是3.14）BO

A

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯年級(jí)，第題【解析】由于OA與BC平，如果接、，ABC的積是等于的積，于是把求陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積。如1，接B、OC。于與BC平，根據(jù)面積比例模型，是邊三角形，那么為形BOC面積為

?！敬鸢浮俊竟淘谙轮蠥半為的0外點(diǎn)。弦∥A且BC。連AC陰面等CB

=3.14)O【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，級(jí)，決賽，第題10分【解析】為與交點(diǎn)，連接，，(見下圖)CB

O

D

A∵CBOD，CB==3，∴邊形CBDO是平行四邊形eq\o\ac(△,，)COB是邊三角SVCAB

=

VCOB∴陰影面積等于扇形COB的積，

=

C

=r2

×

×=4.71.【答案】【15如，角中，BD，AE，三形的面是20平方米三形的積多？AEB

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】∵CEAE，AC，4S；又∵DC，DC，S120(平方厘米)．【答案】120【16如在角ABC中已知角ADE三角DCE三形的積別8926那么角DBE的面是．

BAE【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】望杯，復(fù)賽，六年級(jí)【解析】根據(jù)意可知，117，所以BD:::9，那么:BD:AD:9，2故20．99【答案】

79【17如，梯ABCD它一對(duì)線BD成兩部．三形的面比角的積大10平分．知形上與底長度和15分米它的是分米求形的積

D

A

hC

B

E

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】數(shù)報(bào)【解析】如右作AB的行線DE角形BDE的積與三角形的積相等三角形DEC的積是三角形BDC與三角形ABD的積差(平分米)從而，可求出梯形三角形的)是：(分米)，梯形面積是：1530(平方分米．【答案】30【18圖VAOB的面為1

，段OB的度OD的倍求形ABCD的積D【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】在中，因?yàn)镾，且OBOD，以有因?yàn)閂ABDVACD等底等高，所以有S．

．從而S15cm在VBCD中所梯形面積15cm【答案】80【19如，四形改成個(gè)積三形D

D

A

C

A′

B

2【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【2【解析】本題兩點(diǎn)要求，一是四邊形改成一個(gè)三角形，二是改成的三角形與原四邊形面積相等．我們可以利用三角形等積變形的方法右圖把頂點(diǎn)移的長線上的處VBD與VABD面積相等從而VADC面與原四邊形ABCD面也相等樣就把四邊形等地改成了三角形A．問題是A位置的選擇是依據(jù)三角形等積變形原則．過作條和DB平行的直線與的延長線交于A點(diǎn)具體做法：⑴連接BD⑵過作的行線，與CB延長線交于A．⑶連AD，則ACD與四邊形積．【答案】具體做法：⑴連接BD⑵過作的行線，與CB延長線交于A．⑶連AD，則ACD與四邊形積．DAA′

B

【20一長形成個(gè)不的角，色角形積長形積，色角面是

．：方的積多平厘？黃紅

紅綠【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】杯賽，初賽【解析】黃色角形與綠色三角的底相等都等于長方形的長，高相加為長方形的寬，所以黃色三角形與綠色三角形的面積和為長方形面積的5，而綠色三角形面積占長方形面積1，以黃色三角面積占長方形面積的50%．已知黃色三角形面積是21

，所以長方形面積等于2135%60（

【答案】60【21是長形ABCD內(nèi)點(diǎn)已OBC的面是5cm

，OAB的積

，的面是多？A

PB【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答1【解析】由于長方形，所以，而S，所以S，則S，所以【答案】3

．【22如圖過平四形ABCD內(nèi)一作的行EFGH，PBD的積平方分，求行邊PHCF的積比行邊的面大少平分？

2222224

GDA

GDE

P

PEFBCB

H【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】根據(jù)不變?cè)?，要求行四邊形的積與平行四邊形PGAE的積差，相當(dāng)于求平行四邊形的積與平行四邊形的積差．如右上圖，連接、．1由于S，以．而

11，，所以S2SS(平方分米)．【答案】16【23如圖正形的積，正角BPC的面是5，求影面．

A

P

BC【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】連接交于O點(diǎn)并連接PO．如下圖所示，

OC可得PO//DC，以DPO與面積相等同底等高)所以有：，11因?yàn)镾，以．44【答案】10【固如圖正形ABCD的積是12，正角BPC面是，求陰的面．A

P

A

P

DB

B【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】連接交于O點(diǎn)并連接PO．如右上圖所示，可得//DC，所以DPO與面積相等同底等高)，所以:，1因?yàn)?，?．【答案】2【24在方內(nèi)有點(diǎn)形等的面為16等的積長方面的18%，么影的面是少

2222

COAB【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】先算長方形面積，再其一半減去的積(長方形面積的18%)，減去的積，即可求出面積．1根據(jù)模型可知，以S，2又與面積相等，它們的面積和等于長方形面積的一半，所以的積等于長方1形面積的，4所以S

12

25%18%．【答案】3.5【25如圖示在形中E、F別其腰AB、CD的點(diǎn)G是上的任一，已ADG的面為15cm是2

2，而BCG的面恰是形面的

，梯ABCD的積AD

ADE

E

B

B

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【關(guān)鍵詞】省身杯，六年級(jí)【解析】如果以求出與的積之和與梯形ABCD面積的比，那么就可以知道的積占梯形ABCD面的多少，從而可以求出梯形ABCD的積．如圖，連接CE、DE．S，S，于是S．要求CDE與形ABCD的積之比把梯形ABCD繞F點(diǎn)轉(zhuǎn)1個(gè)平行四邊形下圖所示：1從中容易看出的面積梯形ABCD的面積的一半．(可根據(jù)，1，得)1那么，根據(jù)題意可知的積占梯形積的1，所以梯形ABCD的積是2202031520

．小結(jié)：梯形一條腰的兩個(gè)端點(diǎn)與另一條腰的中點(diǎn)連接而成的三角形，其面積等于梯形面積的一，這是一個(gè)很有用的結(jié)論中知這一結(jié)論采用特殊點(diǎn)法與重

22222的面積占梯形面積的一半，那么與BCG合來占一半．22222【答案】100【26如所，邊ABCD與AEGF都是行邊，請(qǐng)證它的積等FBE

FE【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】本題要是讓學(xué)生了解會(huì)運(yùn)用等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等和三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半．證明：連接．我通過△這兩個(gè)看似無關(guān)的平行四邊形聯(lián)系在一起)1∵在平行四邊形中，AB邊的高，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)1∴．eq\o\ac(△,)同理，，平行四邊形ABCD與AEGF面相等．eq\o\ac(△,)【答案】證明：連接．我們通過△把兩個(gè)看似無關(guān)的平行四邊聯(lián)系在一起)∵在平行四邊形中，∴S．eq\o\ac(△,)

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

12

AB邊上的高，同理，

eq\o\ac(△,)

1，平行四邊形ABCDAEGF面相等．【固如圖示方ABCD的長為8厘米方的長BG為0厘米么方的為厘？

E

A

B

F

G

C

D

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】本題要是讓學(xué)生會(huì)運(yùn)等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長形正方形可以看作殊的平行四邊形．三角形面積等于與它等底等的平行四邊形面積的一半．證明：連接(們通過△ABG這兩個(gè)長方形和正方形聯(lián)系在一)．1∵在正方形ABCD中ABAB邊的高，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)∴

1(三角形面積等于與它等底等高平行四邊形面積的一)eq\o\ac(△,)同理，．eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)∴正方形ABCD與方形EFGB面相等．長形的寬(米)．【答案】6.4【27如，方邊長6AE＝1.5，＝．方EFGH的積

H

D

F

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，級(jí)，決賽，第題10分6年，決賽，第9題分【解析】連接DE，DF，則長方形EFGH的積是三角形面積的二倍。三角形的面積等于正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積，以長方形的面積為33?！敬鸢浮?3【28如，為平四形平，如果VADE面為4平厘．三角CDF面積C

DCFA

E

B

A

E

B【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】連結(jié)、CE∴；；又∵與EF平，∴∴(平方厘米)．【答案】4

．【固如圖在行邊ABCD中，線CF交于，DA延長于F若，△eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)的積C

BC

BED

EDAF【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】本題要是讓學(xué)生并會(huì)用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等(或在組平行線之間的三角形面積相等和等量代換的思想．連接．∵∥，∴同理∥，S又，，，即【答案】1【29梯ABCD中，AE與DC平行

15S

A

DFB

E

C

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級(jí)，第題【解析】連結(jié)DE，為AE與平行，根據(jù)蝴蝶定理易知

，同樣可知S

，

所以

，

那么

。【答案】15【30圖兩正形邊分是6厘米厘米，圖陰部三形面是少平厘．【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】4．【答案】8【31如，有個(gè)方的點(diǎn)D、G、K恰好同條線其正形GFEB的長厘米求影分面．

G

P

G

PO

OQ

K

Q

KAA

E【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】對(duì)于種幾個(gè)正方形并放在一起的圖形，一般可以連接正方形同方向的對(duì)角線，連得的這些對(duì)角線互相都是平行的，從而可以利用面積比例模型進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)化．如右圖所示，連接FK、GE、BD，BD/GE//，據(jù)幾何五大模型中的面積比例模型，可得S，，所以陰影部分的面積就等于正方形FEB的面積，即為10方厘米．【答案】100【固右是大小個(gè)方組的小方的長是厘，三形面．A

100平

4

4

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】這道似乎缺少大正方的邊長這個(gè)條件上題的結(jié)果與大正方形的邊長沒關(guān)系A(chǔ)D見右上圖)，可以看出，三角形ABD三角形的都等于小正方形的邊長，高都等于大正方形的邊長，所以面積相等．因?yàn)槿切蜧D是角形與三角形ACD的共部分，所以去掉這個(gè)公共部分，根據(jù)差不變性質(zhì)，剩下的兩個(gè)部分，即三角形ABG三角形面仍然相等．根據(jù)等量代換，求三角形ABC的面積等于求三角形BCD的積，等于4．【答案】8【固如，ABCD與AEFG為方，角ABH面為平方米圖陰部的積為．

DC

CF

E

EH

G

AB

A

B【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】城實(shí)驗(yàn)【解析】如圖，接AF，較與，于ABAD，F(xiàn)GFE，即與的與高分別相等，所以ADF面積相等，那么陰影部分面積與的面積相等，為平方厘米．【答案】6【固正形和正形CEFG，正方ABCD邊長厘，則中影積多平厘？A

G

DFHB

C

E

C

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】方法：三角形的面積梯形EFDC的積CDBEEF角形BEF的積，而四邊形CEFH是們的公共部分，所以，三角形DHF的積角的面積，進(jìn)而可得面積角形的面積角的面積50(方厘米．方法二：連接，那么行，所以，陰影面積角的積角形的面積平方厘)【答案】50【固已正形ABCD邊長0，正方BEFG邊長6求陰部的積

F

F

I

I

C

E【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】大附中考題【解析】如果意到為個(gè)正方形的對(duì)角線或者說一個(gè)等腰直角三角形的斜邊)，么容易想到DF與是行的．所以可以連接CI、，上圖．由于與平，所以DFI的積與DFC的積相等．而DFC的面積為0以DFI的積也為20【答案】20【32于CF的三之，角CHG的積于6平厘，五形ABGEF的積

12

20，

EFEA

DH

A

DHB

GB

G【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】杯賽，決賽【解析】連接、GF，由于ACGF平行，可知四邊形構(gòu)一個(gè)梯形．由于HCG面為平方厘米且CH等CF的分之一所CH等FH的根梯形蝴蝶定理或相似三角形性質(zhì)可的積為平厘米，AHF的面積為平方厘米，AHC的面積為方厘米．那么正方形CGEF的積為方米，所其邊長為6厘．又AFC的積為平厘米，所以(厘米)，即正方形的邊長為厘米．那么，五邊形ABGEF的積為：2

49.5平方厘．【答案】【33如圖、分別梯的下BC和腰CD上點(diǎn)DF，并甲乙丙個(gè)三角面相．知形ABCD的面是平方厘．圖陰部的積A

D乙甲

丙B

E

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】數(shù)報(bào)，決賽【解析】因?yàn)?、丙兩個(gè)三角形積相等，底F．以A到的離與到CD的離相等，即與CD平行，四邊形ADCE是行邊，陰影部分的面積行四邊形ADCE面積的，所以陰影部分的面積的積．設(shè)甲、乙、的面積分別為份則陰影面積為2份梯形的面積為份從陰影部分的面積(平方厘米．【答案】【34如，知方的面，三角的積3，三形ACF的積，那三形ABC的積多？AF

AF

AFCB【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】方法：連接對(duì)角線AE．∵ADEF是方形

E

2246eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)824eq\o\ac(△,)2246eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)824eq\o\ac(△,)3∴DB3FC1∴，DE2BEDB5CE1∴，DEDE21∴S213∴S．方法二：連接，圖知，所以，由4，好是AEF面積的一半，以C是EF的點(diǎn)因S，所以2.5【答案】6.5【35如，平四形中，F(xiàn)D．陰面與白面的．A

D

HF【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】方法：因?yàn)锽EECFD，所以

1S，S．eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)四eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)四因?yàn)锳D，以AGGE，12所以S，S．3361同理可得，S，．eq\o\ac(△,)ADHeq\o\ac(△,)四邊111因?yàn)椋钥瞻撞糠值拿娣e)，221224831所以陰影部分的面積是．12:2，以陰影面積與空白面積的比1．3【答案】【36如所三形，是AB邊的中，E是邊的點(diǎn)AE，O為與BE的點(diǎn)若CEO面為a平方米面為平厘．b是平方米那么角的面是平方米

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【關(guān)鍵詞】機(jī)靈杯，五年級(jí)，復(fù)賽111【解析】，，所以SS2.5(平方厘224米．所以(平厘米．【答案】10

44【37如，梯ABCD中，ADBE，:EC2:3，且BOE的面比AOD面小10平方米梯的面是平厘．OEC【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答8【解析】根據(jù)意可知ADBE:8:6:9，，SS，41而S平厘米，所以S，則S40平厘米．9又，所以平厘米．88所以4075115(方厘米．梯【答案】115【固如，是梯形的條對(duì)線線與DC平行AE與BD相于點(diǎn)已三形的面比三形AOD的面積平方，且

25

BC．梯的面．A

DA

D

BECB【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】數(shù)報(bào)，初賽【解析】連接．據(jù)差不變?cè)砜芍切蔚拿娣e比三形大平方米，而三角形ABD與角形ACD面相等，因此也與三角形面相等，從而三角形ABE的面積比三角形的大平方米．22但ECBC，以三角形的積是三角形的，從而三角形ABE的積是52(平方米，梯形ABCD的積為：12128(平方米)．3【答案】28【38如圖示在方內(nèi)出些線，知上三面分是13，，49．那圖陰部的積多？49

A

35

E

13B

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】三角形的積角形的積49)方面積影分面積；又因?yàn)槿?/p>

形ABC的面積角形面積陰影部分面積．

12

長方形面積，所以可得：【答案】97【39圖是個(gè)條分為厘、12厘米13厘的角角．它的直邊折斜上去斜相合那圖的影分(即未被住部的面是少方米【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】如下，為了方便說明將某些點(diǎn)標(biāo)上字母．C

有為角，而，以為直角VADE與VCED同，8所以面積比為底的比==的積為8的積為5VCEDEC5是由折疊而成，所以有VCED、VCDB面相等，由VADE、VCED、VCDB組，所以SV

5=“8“5“5”=“18”對(duì)為30，所以“1”份應(yīng)為，么△ADE的面積為31平方厘米．即陰影部分的面積為13平方厘米．【答案】13

【40如，方的積平厘，ECDEF是的中．影部的積多平厘？

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】如下，連接，、VBFG的積相等，設(shè)為平厘;、的積相等，設(shè)為y平厘米，那么VDEF的積A

y方厘米．

DxF

y

EB

x

y

CSV

1xyV=x+y=l333

y0.5．所以有．較、①式，②式左邊比①②式左邊多x，②式右邊比①式右邊大有20.5，,．而陰影部分面積為

2y22y2

2y0.25平方厘米．312【答案】

512【41如三形地有條路AE和CF交處D張大常這條路知DFDC且ADDE．兩地ACFCFB的面比是．

E

B

E

B

E

B

F

F

G

FA【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【關(guān)鍵詞】年級(jí)，希望杯，復(fù)賽，試題【解析】方法：連接．

A設(shè)△的積為1，△的積x則根據(jù)題上說給出的條件由DFDC得S即△BDF的面積為、S;又有ADDE，S、Sx，x；得，以S:(22):(1．△

，y方法二：連接，設(shè)(份，則,設(shè)S有，解得，所以::(42△方法三：過F點(diǎn)∥BC交于點(diǎn)，由似得::DG1:1,又為ADDE，所以AG:GEAF:FB，以兩塊田地ACF和CFB的積比AF:2【答案】【42如，BC，21，被成個(gè)積等小三形那DID

．

H

IG

F

K

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【關(guān)鍵詞】而思杯，六年級(jí)第題【解析】由題意可知，BD:BC

BAD

:S

ABC

2:9，所以BD

29

BC，BCBD35；又DI:DC

DIF

:

:，以DI

25

DC，同樣分析得，DI24．【答案】24【固如，角MON的兩邊分有A、C、E、D、F六點(diǎn)并且、、BCDCDE、面都于，面等．

D

BACE

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】華附中入學(xué)測試題【解析】根據(jù)意可知，:

:

1:1，以DFOD，．4444【答案】

34【43別直梯兩邊的且DQCP彼平若ADBC，，EB．陰部的積．Q

DM

Q

DM

CB

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】連接CE、．由于DQ、、彼平行，所以四邊形C是形，且ME與梯形的兩個(gè)底平行，那么三角形QME與DEM三形PME與CEM的面積分別相等所以三角形的面積與三角形DE的面積相等．而三角形CDE的積根據(jù)已知條件很容易求出來．由于ABCD為角梯形，且，BC，AE，以三角形DE的積的面為：15525．所以三角形PQM的面積為25．22【答案】25【44已為等邊角，積400，、E、F分別三的點(diǎn)已甲乙丙面和143，求影邊的積(丙三形HBC)A甲IJB

E

丙

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【關(guān)鍵詞】大附中分班考試題【解析】因?yàn)镈、、F分別為三邊的中點(diǎn)，所以、EF是角形ABC的位線，也就與對(duì)應(yīng)的邊平行面比例模型形和角形AMC面積都等于三角形ABC的半．根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有，200，所以丙

．又S

，所以S陰影

甲乙

．【答案】43

【45如，知CD，DE，EF15，F(xiàn)G，線段將形成部，邊分積，邊分積65，么角ADG面是．

ACD

G

CD

E

G【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【關(guān)鍵詞】四中入學(xué)測試題【解析】連接AF，．

B根據(jù)題意可知，CF27；DG28；所以，

1512217，S，S，S，27272821712于是：；；2827可得S40故三角形的積是．【答案】40【固如，D、E、F在線CG上已厘米DE厘，EF厘米厘米將整個(gè)形成下部，下部面是方米上部面是平厘米則三形的面是少方米

F

FA

E

B

A

E

BDC

DC【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【關(guān)鍵詞】望杯【解析】連接AF設(shè)的面積x由于FEED8所以AFE的面積x△的是x由半部分的面積是166平方以的是(x)平方厘米下部分的面積是6平厘米所以△EBC的積是()平方厘米，因?yàn)镕E是2倍以可以列方程為：(67)解，的面積為xxx平方厘米【答案】128【46如，方的長10，四形的積，么影分面是．A

A

N

E

G

E

GB

BFC【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答

【關(guān)鍵詞】華考題【解析】如圖示，設(shè)上的兩個(gè)點(diǎn)分別為M、N．連接．根據(jù)面積比例模型CMF與CNF的積是相等的與BNF的積之和CNF與的積之和，即等于BCN的積．而BCN的面積為正方形面的一半，為

又的積之和與陰影部分的面積相比較，多了2個(gè)邊形的積，所以陰影部分的面積為：50．【答案】40【固如，方的長，影分面為，那么邊的面是．A

A

N

E

G

E

GB

BFC【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】如圖示，設(shè)上的兩個(gè)點(diǎn)分別為M、N．接．根據(jù)面積比例模型CMF與CNF的積是相等的與BNF的積之和CNF與的積之和，即等于BCN的積．而BCN的積為正方形ABCD面的一半，為1122．2又的積之和與陰影部分的面積相比較，多了2個(gè)邊形的積，所以四邊形EFGH的積為：【答案】6【47如所，方內(nèi)陰部的積和70，，AD，四邊EFGO的面積．AE

BF

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】美杯，六年級(jí)，初賽【解析】利用形中的包含關(guān)系以先求出三角形AOE、和邊形EFGO面積之和，以及三角形DOG的積之和，進(jìn)而求出四邊形EFGO的積．1由于長方形ABCD的積為15120三角形的積為三角形和43DOG的面積之和為；41又三角形AOE、和邊形EFGO的積之和為120，所以四邊形EFGO的積4為．另解體來看形EFGO的面積三角形面三角形BFD積色部分的面積，而三角形AFC面角形BFD面為長方形面積的一半，即，色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即12070，所以四邊形的面積為．

形【固如所，形ABCD的積為24平方米三形與角的面之為平方厘，四形PMON的積平方厘．D

P

C

NOA

B【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】杯賽，初賽【解析】因?yàn)榻切闻c三角形的面積之和是矩形ABCD的積的一半，12平厘米，又三角形與三角形BCN的積之和為7.8平方厘米三形AMO與三角形的面積之和是4.2平方厘米四形PMON面積角形ABP面角AMO與三角形BNO的積之和角形ABO面1.8(平厘)．【答案】1.8【固如所，形ABCD的積為36平方米四形PMON的面是3平厘，陰部的面是平厘．

P

A

B【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】因?yàn)榻切蜛BP面為矩形ABCD的積的一半，即18平厘米，三角形ABO面為矩形ABCD1的面積的9平厘米邊形PMON的積為3平方厘米以三角形AMO與角形BNO4的面積之和是1平厘米．又三角形ADO與角形BCO的面積之和是矩形的面積的一半，即平厘米，所以陰影部分面積為8(平厘)．【答案】12【固如圖長方形ABCD的面積36E的三分，AE，則陰部分面為．

D

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】華附中【解析】如圖連接OE．1根據(jù)蝴蝶定理，ONND::，以；22OM:MA::4，以S．111又，2，以陰影部分積為：32.7．32

【答案】2.7【48如，果方ABCD的面是平厘，么邊MNPQ的面積多平厘？D

C

D

CN6

6

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】清華附中，分班考試【解析】如圖過M、分作長方形的各邊的平行線．易知交成中間的陰影正方形的邊長為3厘積等于9平厘米NAMPBNQCP的積之和為邊MNPQ56的面積等于，，解得x(方厘米)【答案】【49如，影分邊的接形邊長

10cm的正形則影部四形面是cm

2．

G

PQ

NM

A

E

B【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】日本，小學(xué)算術(shù)奧林匹克大賽，初賽【解析】如圖示，分別過陰影邊形EFGH的個(gè)頂點(diǎn)作正方形各邊的平行線，相交得長方形M，知長方形MNPQ的面積為平厘．從圖中可以看出圖中四個(gè)空三角形的面積之和的2于AENHDHPG四個(gè)長方形的面積之和，等于正方形ABCD的積加上長方形的積，為1104平方厘米，所以四個(gè)空白三角形的面積之和104平厘米，那么陰影四邊形的積為10048平方厘米．【答案】48【固如，影分邊的接形邊為米正形則影分邊的積多平方厘？

GC2

4

PNQMA

B【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】如圖示，分別過陰影邊形E的個(gè)頂點(diǎn)作正方形各邊的平行線，相交得長方形M，

知長方形MNPQ的面積為4平厘米．從圖中可以看出圖中四個(gè)空三角形的面積之和的2于AENHBFMECGQFDHPG四個(gè)長方形的面積之和，等于正方形ABCD的積加上長方形的積為152平方厘米，所以四個(gè)空白三角形的面積之和152平厘米，那么陰影四邊EFGH面積為平方厘米．【答案】68【固已正形邊為，EC，，SDDF

N

．

CE【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】如圖作BMAE于M，BM于則四邊形分為個(gè)角三角形和中間的一個(gè)長方形，其中的個(gè)角三角形分別與四邊形周圍的三角形相等所以它們的面積和相等而中間的小長方形的面積為所

2

53．【答案】53【50如，角AEF的面是7，DE、BF的度別1、3．長形的面．AB

A

BD

E【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【解析】如圖過作FH∥，E，F(xiàn)H、于M，接．則矩

AGAHSDEBF67

S

S

另解：設(shè)三角形ADE、CEFABF面積之和為s，則正方形ABCD面積為s．從圖中可以看出，三角形ADE、CEF、ABF的積之和的2倍等于正方形ABCD的面積與長方形AGMH面積之和，即s50，所以正方形的面積為5067．【答案】67【51如長形中ABE分別、邊的點(diǎn)那么三形DEF面的最值．CF

FBEB

22322232【關(guān)鍵詞】兩岸四地華羅庚金杯數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽【解析】由于方形ABCD的積是一定的，要使三角形DEF面最小，就必須使、、CDF的面積之和最大．由于、BEFCDF都直角三角形，可以分過E、F作、CD的行線，可構(gòu)成三個(gè)矩形ADME、CDNFBEOF，圖所示．容易知道這三個(gè)矩形的面積之和等于BEF、CDF面積之和倍，而這三個(gè)矩形的面積之和又等于長方形ABCD的積加上長方形的積．所以為使、、的面積之和最大，只需使長方形的積最大．長方形MDNO的積等于其長與寬的積，而其長DM，寬DNCF，題知CF

BC

49，兩個(gè)數(shù)的和定，差越小，積越，所以當(dāng)與CF的0即AE與CF相時(shí)它們的積最大時(shí)長方形MDNO的積也最大所此時(shí)三角形面最小．當(dāng)與相時(shí)，AECF48，時(shí)三角形的積為：

1717(也可根據(jù)2

43

得三角形DEF的積【答案】717【52ABCD是邊為的正形如所，是部意點(diǎn)DM、DN那么影分面是．

A(P)L

K

KKDMC

D

DM

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【關(guān)鍵詞】資優(yōu)杯【解析】（法1特殊點(diǎn)法．由是部任意一點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)A重合(上中圖)，那么陰影部分就是和．AMN的積為，ALK的面積為20所以陰影部分的面積為120．（法）尋找可以利用的條件，連接AP、、、DP可右上圖所示：11則有S

72同理可得：72;而:DMDC1:3即

1S；155同理：S,S;31212所以：

5())()(S)而(S

)

)S))141；所以陰影部分的面積是：

1()())3

2222即為：72242034．312【答案】34【53如所，四形中，E，F(xiàn)，，H分是ABCD各的點(diǎn)求影分四形PQRS

的積比D

DH

HA

AP

PE

R

Q

G

E

R

Q

GBF

CF

C【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】(法1)設(shè)S，S，S，．1連接知，，，；2所以

11SS；1同理．是；注意到這四個(gè)三角形重合的部分是四塊陰影小三角形，沒算的部分是四邊形；因此四塊陰影的面積和就等于四邊形的面積．(法2)特殊值法(只用于填空題、選擇題，將四邊形畫成正方形，很容易得到結(jié)果．【答案】1:1【固如，E、F、G、分別四形ABCD各邊中，F(xiàn)GFH于點(diǎn)，S、、分表四小邊的積試較與的小

SS

GO

CSS

SS

GO

CSS

A

B

AE

B【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度3星【型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯，二試，六年級(jí)【解析】如右，連接AO、、CO、DO則可判斷出，每條邊與O點(diǎn)構(gòu)成的三角形都被分為面積相等的兩部分，且每個(gè)三角形中的兩部分都分屬于、這個(gè)不同的組合，所以可知．【答案】相等【54如，邊ABCD中，DE::FC2:1，BG:GH:AH2:1，AD:2，知邊形ABCD面等4則邊形EFHG的面積

．

2222222BMD2222222BMD32E

F

C

E

F

CD

DA

H

A

HB【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【解析】運(yùn)用角形面積與底和的關(guān)系解題．連接、、、，為EF:FC3:2:1，:GHAH3:2:1，所以，1在ABC中SS，1在ACD中，1在中，S，1在CEG中，S．111因?yàn)镾SS，222所以S．又因?yàn)?/p>

11所以4【答案】3

3，34．23【展如，于意邊ABCD，通各邊等點(diǎn)相連，到間邊EFGH，四邊EFGH的面是邊ABCD的幾分之？

BAE

KD

HP

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度5星【型】解答【解析】分層來考慮：2⑴如下左圖，，，32所以SS)．又因?yàn)镾，，1所以SS；

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

1．2

A

ME

F

B

K

J

A

E

N

F

B

KH

GD

P

O

P

C12⑵如右上圖，已知BD，OKBD；以MJ:BD2；3所以:EO2，是等分點(diǎn)；同理，可知、、H都三等分點(diǎn)；所以再次應(yīng)用⑴的結(jié)論，可知，S1【答案】9

11．33【55有三形，在AB、、CA的正間別點(diǎn)L、M、N，在、、上分取P、、R使，PM和、PM、QN的交分是、Y時(shí)使．時(shí)三形X的面積三形ABC的面的分幾請(qǐng)出思過．

Z

R

【考點(diǎn)】三角形的等高模型【度4星【型】解答【關(guān)鍵】日本小學(xué)算數(shù)奧林匹克，決賽【解析】連接LN、、ML，然，是三角形將放至如圖