導(dǎo)數(shù)不等式恒成立求字母范圍方法技巧

第頁碼49頁/總NUMPAGES總頁數(shù)49頁四、不等式恒成立求字母范圍四、不等式恒成立求字母范圍恒成立之最值的直接應(yīng)用（2011北京理18倒數(shù)第3大題，最值的直接應(yīng)用）已知函數(shù)。⑴求的單調(diào)區(qū)間；⑵若對于任意的，都有≤，求的取值范圍.解：⑴，令，當(dāng)時，與的情況如下：+00+0所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是和：單調(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時，與的情況如下：0+00所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和：單調(diào)遞減區(qū)間是。⑵當(dāng)時，因為，所以不會有當(dāng)時，由（Ⅰ）知在上的最大值是，所以等價于,解綜上：故當(dāng)時，的取值范圍是[，0].（2008天津理20倒數(shù)第3大題，最值的直接應(yīng)用，第3問帶有小的處理技巧）已知函數(shù)，其中.⑴若曲線在點處切線方程為,求函數(shù)的解析式；⑵討論函數(shù)的單調(diào)性；⑶若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.解：⑴，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，于是．由切點在直線上可得，解得．所以函數(shù)的解析式為．⑵．當(dāng)時，顯然(),這時在，上內(nèi)是增函數(shù)．當(dāng)時，令，解得．當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：＋0－－0＋↗極大值↘↘極小值↗∴在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．⑶由⑵知，在上的最大值為與的較大者，對于任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，對任意的成立．從而得，所以滿足條件的的取值范圍是．（轉(zhuǎn)換變量，作差）已知函數(shù). ⑴若，求的單調(diào)區(qū)間；⑵已知是的兩個不同的極值點，且，若恒成立，求實數(shù)b的取值范圍。解：⑴，或1令，解得令，解得，的增區(qū)間為；減區(qū)間為，⑵，即由題意兩根為，，又且△，.設(shè)，或2+00+極大值極小值又，，，.恒成立之分離常數(shù)（分離常數(shù)）已知函數(shù)(1)若在處的切線平行于直線，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，且對時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解:(1)定義域為,直線的斜率為,,,.所以由;由所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為.(2)，且對時，恒成立,即.設(shè).當(dāng)時,,當(dāng)時,,.所以當(dāng)時,函數(shù)在上取到最大值,且所以,所以 所以實數(shù)的取值范圍為.（法二）討論法，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).當(dāng)≤時，≥，解得，∴≤.當(dāng)時，，解得，∴.綜上.（2011長春一模，恒成立，分離常數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)）已知函數(shù),（其中R,為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)當(dāng)時,求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)≥1時,若關(guān)于的不等式≥0恒成立,求實數(shù)的取值范圍.（改x≥0時，≥0恒成立.≤1）解：（1）當(dāng)時，,,, 切線方程為．（2）[方法一]≥1,12)(212)(2axxexfxa0xxex122 設(shè)xxexgxxexgx12)(22212)1()('xxexxgx 設(shè),則, 在上為增函數(shù),≥, ,在上為增函數(shù), ≥,≤．[方法二], , 設(shè),, ≥0,≥0,在上為增函數(shù), ≥. 又≥0恒成立,≥0,≤,≥,,在上為增函數(shù),此時≥≥0恒成立,≤．（改x≥0時，≥0恒成立.≤1）解：先證明在上是增函數(shù)，再由洛比達法則，∴，∴≤1.（正常的討論進行不了，除非系數(shù)調(diào)到二次項上，分兩種情況討論可得≤1）（兩邊取對數(shù)的技巧）設(shè)函數(shù)且）（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求的取值范圍；（3）已知對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍。解：（1）,當(dāng)時，即.當(dāng)時，即或.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由時，即，由（1）可知在上遞增，在遞減，所以在區(qū)間（－1，0）上，當(dāng)時，取得極大值，即最大值為.在區(qū)間上，.函數(shù)的取值范圍為.分（3），兩邊取自然對數(shù)得（分離常數(shù)）已知函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間其中a>0，上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅱ）如果當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；解：（Ⅰ）因為，x>0，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在（0，1）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值．因為函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，所以解得．（Ⅱ）不等式即為記所以令，則，，在上單調(diào)遞增，，從而，故在上也單調(diào)遞增，所以，所以．（2010湖南，分離常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)）已知函數(shù)對任意的恒有.⑴證明：當(dāng)⑵若對滿足題設(shè)條件的任意b、c，不等式恒成立，求M的最小值。（第3問不常見，有特點，由特殊到一般，先猜后證）已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的定義域（Ⅱ）確定函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.（Ⅲ）若x>0時恒成立，求正整數(shù)k的最大值.解：（1）定義域（2）單調(diào)遞減。當(dāng)，令，故在（－1，0）上是減函數(shù)，即，故此時在（－1，0）和（0，+）上都是減函數(shù)（3）當(dāng)x>0時，恒成立，令又k為正整數(shù)，∴k的最大值不大于3下面證明當(dāng)k=3時，恒成立當(dāng)x>0時恒成立令，則，，當(dāng)∴當(dāng)取得最小值當(dāng)x>0時，恒成立，因此正整數(shù)k的最大值為3(恒成立，分離常數(shù)，涉及整數(shù)、較難的處理)已知函數(shù)（Ⅰ）試判斷函數(shù)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）若恒成立，求整數(shù)k的最大值；（較難的處理）（Ⅲ）求證：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n－3.解：（I）上遞減.（II）則上單調(diào)遞增，又存在唯一實根a，且滿足當(dāng)∴故正整數(shù)k的最大值是3.（Ⅲ）由（Ⅱ）知∴令，則∴l(xiāng)n(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]>e2n－3(分離常數(shù)，雙參，較難)已知函數(shù)，.（１）若函數(shù)依次在處取到極值．①求的取值范圍；②若，求的值．（２）若存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立．求正整數(shù)的最大值．解：（1）①②.（2）不等式，即，即.轉(zhuǎn)化為存在實數(shù)，使對任意，不等式恒成立,即不等式在上恒成立。即不等式在上恒成立。設(shè)，則。設(shè)，則，因為，有。故在區(qū)間上是減函數(shù)。又故存在，使得。當(dāng)時，有，當(dāng)時，有。從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減。又所以當(dāng)時，恒有；當(dāng)時，恒有；故使命題成立的正整數(shù)的最大值為5.（2008湖南理22，分離常數(shù)，復(fù)合的超范圍）已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;⑵若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），求a的最大值.（分離常數(shù)）解:⑴函數(shù)的定義域是，設(shè)則令則當(dāng)時，在（－1，0）上為增函數(shù)，當(dāng)x＞0時，在上為減函數(shù).所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以，函數(shù)g(x)在上為減函數(shù).于是當(dāng)時，當(dāng)x＞0時，所以，當(dāng)時，在（－1，0）上為增函數(shù).當(dāng)x＞0時，在上為減函數(shù).故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為.⑵不等式等價于不等式由知，＞0，∴上式變形得設(shè)，則則由⑴結(jié)論知，（≤）即所以于是G(x)在上為減函數(shù).故函數(shù)在上的最小值為所以a的最大值為（變形，分離常數(shù)）已知函數(shù)(a為實常數(shù)).(1)若，求證：函數(shù)在(1,+∞)上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)在[1,e]上的最小值及相應(yīng)的值；(3)若存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：⑴當(dāng)時，，當(dāng)，，故函數(shù)在上是增函數(shù)．⑵，當(dāng)，．若，在上非負（僅當(dāng)，x=1時，），故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時．若，當(dāng)時,；當(dāng)時，，此時是減函數(shù)；當(dāng)時，，此時是增函數(shù)．故．若，在上非正（僅當(dāng)，x=e時，），故函數(shù) 在上是減函數(shù)，此時．⑶不等式，可化為．∵,∴且等號不能同時取，所以，即，因而（）令（），又，當(dāng)時，，，從而（僅當(dāng)x=1時取等號），所以在上為增函數(shù)，故的最小值為，所以a的取值范圍是．（分離常數(shù)，轉(zhuǎn)換變量，有技巧）設(shè)函數(shù).⑴若函數(shù)在處與直線相切：①求實數(shù)的值；②求函數(shù)在上的最大值；⑵當(dāng)時，若不等式≥對所有的都成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）①。∵函數(shù)在處與直線相切解得 .②當(dāng)時，令得；令，得，上單調(diào)遞增，在[1，e]上單調(diào)遞減，.（2）當(dāng)b=0時，若不等式對所有的都成立，則對所有的都成立，即對所有的都成立，令為一次函數(shù)，.上單調(diào)遞增，，對所有的都成立...（注：也可令所有的都成立，分類討論得對所有的都成立，，請根據(jù)過程酌情給分）恒成立之討論字母范圍（2007全國I，利用均值，不常見）設(shè)函數(shù)．⑴證明：的導(dǎo)數(shù)；⑵若對所有都有，求的取值范圍．解：⑴的導(dǎo)數(shù)．由于，故．（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．⑵令，則，①若，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，所以，時，，即．②若，方程的正根為，此時，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)．所以，時，，即，與題設(shè)相矛盾．綜上，滿足條件的的取值范圍是．設(shè)函數(shù)f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).(Ⅰ)若x=0是F(x)的極值點,求a的值；(Ⅱ)當(dāng)a=1時,設(shè)P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(x1>0,x2>0),且PQ//x軸,求P、Q兩點間的最短距離；(Ⅲ):若x≥0時,函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F(－x)的圖象上方,求實數(shù)a的取值范圍．解：(Ⅰ)F(x)=ex+sinx－ax,.因為x=0是F(x)的極值點,所以.又當(dāng)a=2時,若x<0,;若x>0,.∴x=0是F(x)的極小值點,∴a=2符合題意.(Ⅱ)∵a=1,且PQ//x軸,由f(x1)=g(x2)得:,所以.令當(dāng)x>0時恒成立.∴x∈[0,+∞時,h(x)的最小值為h(0)=1.∴|PQ|min=1.(Ⅲ)令則.因為當(dāng)x≥0時恒成立,所以函數(shù)S(x)在上單調(diào)遞增,∴S(x)≥S(0)=0當(dāng)x∈[0,+∞時恒成立;因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)x∈[0,+∞時恒成立.當(dāng)a≤2時,,在[0,+∞單調(diào)遞增,即.故a≤2時F(x)≥F(－x)恒成立.（用到二階導(dǎo)數(shù)，二次）設(shè)函數(shù).⑴若，求的最小值；⑵若當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）時，，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)減小，在上單調(diào)增加故的最小值為（2），當(dāng)時，，所以在上遞增，而，所以，所以在上遞增，而，于是當(dāng)時，.當(dāng)時，由得當(dāng)時，，所以在上遞減，而，于是當(dāng)時，，所以在上遞減，而，所以當(dāng)時，.綜上得的取值范圍為.(第3問設(shè)計很好，2問是單獨的，可以拿掉)已知函數(shù)，斜率為的直線與相切于點.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）當(dāng)實數(shù)時，討論的極值點。（Ⅲ）證明：.解：（Ⅰ）由題意知：………………2分解得：；解得：所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減………………4分（Ⅱ）=得：.若即，+-+極大值極小值此時的極小值點為，極大值點………………7分若即，，則，在上單調(diào)遞增，無極值點.若即，，+-+極大值極小值此時的極大值點為，極小值點.綜上述：當(dāng)時，的極小值點為，極大值點；當(dāng)時，無極值點；當(dāng)時，的極大值點為，極小值點.（2011全國I文21，恒成立，一次，提出一部分再處理的技巧）設(shè)函數(shù).⑴若a=，求的單調(diào)區(qū)間；⑵若當(dāng)≥0時≥0，求a的取值范圍.解：⑴時，，.當(dāng)時;當(dāng)時，;當(dāng)時，.故在，單調(diào)增加，在(－1，0)單調(diào)減少.⑵.令，則.①若，則當(dāng)時，，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)x≥0時≥0，即≥0，符合題意.②若，則當(dāng)時，，為減函數(shù)，而，從而當(dāng)時＜0，即＜0,不合題意.綜合得的取值范圍為（2011全國新理21，恒成立，反比例，提出公因式再處理的技巧，本題的創(chuàng)新之處是將一般的過定點（0,0）變?yōu)檫^定點（1,0），如果第2問范圍變?yōu)閯t更間單）已知函數(shù)在點處的切線方程為.⑴求、的值；⑵如果當(dāng)，且時，，求的取值范圍。解：⑴，依意意且，即，，解得，.⑵由⑴知，所以.設(shè)，則.（注意h(x)恒過點(1,0)，由上面求導(dǎo)的表達式發(fā)現(xiàn)討論點0和1）① 當(dāng)，由，（變形難想，法二）當(dāng)時，.而，故當(dāng)時，，可得；當(dāng)x(1,+)時，<0，可得>0,從而當(dāng)x>0,且x1時，－(+)>0，即>+.法二：的分子≤＜0，∴.②當(dāng)0<k<1，由于當(dāng)x(1,)時，(k－1)(x2+1)+2x>0,故>0,而=0，故當(dāng)x(1,)時，>0，可得<0,不合題意.③當(dāng)k≥1，此時>0，則x(1，+)時，遞增，，∴<0,不合題意. 綜上，k的取值范圍為(－,0](恒成立，討論,較容易，但說明原理)已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）.當(dāng)時，，在上增,無極值；當(dāng)時，，在上減，在上增,∴有極小值，無極大值.（2）當(dāng)時，在上恒成立，則是單調(diào)遞增的，則只需恒成立，所以.當(dāng)時，在上減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，這與恒成立矛盾，故不成立.綜上：.（2010新課程理21，恒成立，討論，二次，用到結(jié)論）設(shè)函數(shù).⑴若，求的單調(diào)區(qū)間；⑵若當(dāng)時，求的取值范圍.解：命題意圖：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、不等式恒成立問題以及參數(shù)取值范圍問題，考查分類討論、轉(zhuǎn)化與劃歸解題思想及其相應(yīng)的運算能力.⑴時，，.當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.⑵①當(dāng)≤時，，由⑴結(jié)論知≥，則，故，從而當(dāng)，即時，，而，于是當(dāng)時，，符合題意.②時，由可得.（太難想，法二），故當(dāng)時,，而，于是當(dāng)時,.綜合得的取值范圍為.法二：設(shè),則,令，得.當(dāng)，，在此區(qū)間上是增函數(shù)，∴≤，∴在此區(qū)間上遞增，∴≤，不合題意.（恒成立，2010全國卷2理數(shù)，利用⑴結(jié)論，較難的變形討論）設(shè)函數(shù)．⑴證明：當(dāng)時，；⑵設(shè)當(dāng)時，，求a的取值范圍．解：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查考生綜合運用知識的能力及分類討論的思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力.【點評】導(dǎo)數(shù)常作為高考的壓軸題，對考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識、基本技能，還要求考生具有較強的分析能力和計算能力.估計以后對導(dǎo)數(shù)的考查力度不會減弱。作為壓軸題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等，常伴隨對參數(shù)的討論，這也是難點之所在.已知函數(shù)，且函數(shù)是上的增函數(shù)。 （1）求的取值范圍； （2）若對任意的，都有（e是自然對數(shù)的底），求滿足條件的最大整數(shù)的值。解析：（1）設(shè)，所以，得到．所以的取值范圍為………2分（2）令，因為是上的增函數(shù)，且，所以是上的增函數(shù)?！?分由條件得到（兩邊取自然對數(shù)），猜測最大整數(shù)，現(xiàn)在證明對任意恒成立?！?分等價于，………………8分設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以對任意的都有，即對任意恒成立，所以整數(shù)的最大值為2．……………………14分（2008山東卷21）已知函數(shù)其中n∈N*,a為常數(shù).⑴當(dāng)n=2時，求函數(shù)f(x)的極值；⑵當(dāng)a=1時，證明：對任意的正整數(shù)n,當(dāng)x≥2時，有f(x)≤x－1.解：⑴由已知得函數(shù)f(x)的定義域為{x|x＞1}，當(dāng)n=2時，所以①當(dāng)a＞0時，由f(x)=0得＞1，＜1，此時=.當(dāng)x∈（1，x1）時，＜0,f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x1+∞）時，＞0,f(x)單調(diào)遞增.②當(dāng)a≤0時，＜0恒成立，所以f(x)無極值.綜上所述，n=2時，當(dāng)a＞0時，f(x)在處取得極小值，極小值為當(dāng)a≤0時，f(x)無極值.⑵證法一：因為a=1,所以①當(dāng)n為偶數(shù)時，令則）=1+＞0（x≥2）.所以當(dāng)x∈[2,+∞]時，g(x)單調(diào)遞增，又g(2)=0，因此≥g(2)=0恒成立，所以f(x)≤x－1成立.②當(dāng)n為奇數(shù)時，要證≤x－1,由于＜0，所以只需證ln(x－1)≤x－1,令h(x)=x－1－ln(x－1),則=1－≥0(x≥2),所以,當(dāng)x∈[2，+∞]時，單調(diào)遞增，又h(2)=1＞0，所以當(dāng)x≥2時，恒有h(x)＞0,即ln(x－1)＜x－1命題成立.綜上所述，結(jié)論成立.證法二：當(dāng)a=1時， 當(dāng)x≤2，時，對任意的正整數(shù)n，恒有≤1， 故只需證明1+ln(x－1)≤x－1. 令 則 當(dāng)x≥2時，≥0，故h(x)在上單調(diào)遞增， 因此，當(dāng)x≥2時，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x－1)≤x－1成立. 故當(dāng)x≥2時，有≤x－1. 即f（x）≤x－1.回歸課本:高考數(shù)學(xué)考前100個提醒一、集合與簡易邏輯1、區(qū)分集合中元素的形式，如，，.解題時要利用數(shù)形結(jié)合思想盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩圖等工具；2、已知集合A、B，當(dāng)時，切記要注意到“極端”情況：或；求集合的子集時別忘記；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、含n個元素的有限集合的子集個數(shù)為,真子集為其非空子集、非空真子集的個數(shù)依次為4、反演律(摩根律)：.容斥原理:card（）=card（A）+card（B）-card（）.5、A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U.6、補集思想常運用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題(正難則反)。7、原命題:;逆命題:;否命題:；逆否命題:；要注意利用“互為逆否的兩個命題是等價的”來解題.8、若且，則p是q的充分非必要條件（或q是p的必要非充分條件）;9、注意命題的否定與它的否命題的區(qū)別:命題的否定只否定結(jié)論；否命題是條件和結(jié)論都否定.命題的否定是；否命題是.10、要熟記真值表噢！常見結(jié)論的否定形式如下：原結(jié)論否定原結(jié)論否定是不是至少有一個一個也沒有都是不都是至多有一個至少有兩個大于不大于至少有個至多有個小于不小于至多有個至少有個對所有,成立存在某,不成立或且對任何,不成立存在某,成立且或二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)11、函數(shù):是特殊的對應(yīng)關(guān)系．特殊在定義域和值域都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與軸的垂線至多有一個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個．函數(shù)的三要素：定義域,值域,對應(yīng)法則．研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則．12、一次函數(shù):(k≠0),b=0時是奇函數(shù);依據(jù)單調(diào)性,利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號性可解決求一類參數(shù)的范圍問題.二次函數(shù)：①三種形式:一般式(軸-b/2a,頂點?);b=0為偶函數(shù);頂點式(軸?);零點式;②區(qū)間最值:配方后一看開口方向,二討論對稱軸與區(qū)間的相對位置關(guān)系;③實根分布:先畫圖再研究△>0、軸與區(qū)間關(guān)系、區(qū)間端點函數(shù)值符號;反比例函數(shù):平移的對稱中心為(a,b).13、指數(shù)式、對數(shù)式：，，，，，，，，(對數(shù)恒等式).要特別注意真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1，字母底數(shù)還需討論的呀.對數(shù)的換底公式及它的變形，.14、你知道函數(shù)嗎？該函數(shù)在或上單調(diào)遞增；在或上單調(diào)遞減，求導(dǎo)易證，這可是一個應(yīng)用廣泛的函數(shù)！對號函數(shù)是奇函數(shù),;,.要熟悉其圖像噢.15、確定函數(shù)單調(diào)性的方法有定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖像法和特值法(用于小題)等．注意：①.能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。②.單調(diào)區(qū)間是最大范圍，注意一定不能寫成“并”.③.復(fù)合函數(shù)由同增異減判定、圖像判定.作用:比大小,解證不等式.16、奇偶性：f(x)是偶函數(shù)，脫號性，避免討論;f(x)是奇函數(shù)f(-x)=-f(x);定義域含零的奇函數(shù)必定過原點(f(0)=0);定義域關(guān)于原點對稱是為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要而不充分條件。奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)則為相反的單調(diào)性；注意：既奇又偶的函數(shù)有無數(shù)個(如，只要定義域關(guān)于原點對稱即可)．17、周期性:①函數(shù)滿足，則是周期為2的周期函數(shù)；②若恒成立，則；③滿足條件的函數(shù)的周期.18、圖象變換:“左加右減”（注意是針對而言）、“上加下減”(注意是針對而言).①函數(shù)的圖象是把的圖象沿軸向左或向右平移個單位得到的；②函數(shù)+的圖象是把的圖象沿軸向上或向下平移個單位得到的；③函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的；④函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的.19、函數(shù)的對稱性:①滿足條件的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；②點關(guān)于軸的對稱點為；③點關(guān)于軸的對稱點為；④函數(shù)關(guān)于原點的對稱曲線方程為；⑤點關(guān)于直線的對稱點為；曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為；點關(guān)于直線的對稱點為；曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為.區(qū)別:若,則圖像關(guān)于直線對稱（自對稱）;函數(shù)與的圖像關(guān)于直線互對稱；兩函數(shù)與關(guān)于直線互對稱.(由確定).⑥如果函數(shù)對于一切，都有，⑦形如的圖像是雙曲線，對稱中心是點.⑧的圖象、的圖象你會畫嗎？20、幾類常見的抽象函數(shù)模型：借鑒模型函數(shù)進行類比探究。①正比例函數(shù)型：；②冪函數(shù)型：，；③指數(shù)函數(shù)型：，；④對數(shù)函數(shù)型：，；⑤三角函數(shù)型：。21、反函數(shù):求一個函數(shù)的解析式和一個函數(shù)的反函數(shù)時，你別忘記注明該函數(shù)的定義域喲?、俸瘮?shù)存在反函數(shù)的條件是一一映射；②奇函數(shù)若有反函數(shù)則反函數(shù)是奇函數(shù)；③周期函數(shù)、定義域為非單元素集的偶函數(shù)無反函數(shù)；④互為反函數(shù)的兩函數(shù)具有相同的單調(diào)性；⑤f(x)定義域為A,值域為B,則有還原性：,；⑥單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，但反之不然，如.原函數(shù)與反函數(shù)圖象的交點不全在y=x上（如：單調(diào)遞減函數(shù)），但單調(diào)遞增函數(shù)則交點都在y=x上；只能理解為在x+a處的函數(shù)值。22、題型方法總結(jié)Ⅰ判定相同函數(shù):定義域相同且對應(yīng)法則相同.Ⅱ求函數(shù)解析式的常用方法：（1）待定系數(shù)法――已知所求函數(shù)的類型.（2）代換（配湊）法――已知形如的表達式，求的表達式。這里值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應(yīng)是的值域。（3）方程的思想――對已知等式進行賦值，得到關(guān)于及另外一個函數(shù)的方程組。Ⅲ求定義域:使函數(shù)解析式有意義(如:分母?偶次根式被開方數(shù)?對數(shù)真數(shù)?底數(shù)?零指數(shù)冪的底數(shù)?)實際問題有意義;若f(x)定義域為[a,b],復(fù)合函數(shù)f[g(x)]定義域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定義域為[a,b],則f(x)定義域相當(dāng)于x∈[a,b]時g(x)的值域；Ⅳ求值域:①配方法；②逆求法（反求法）；③三角有界法；④單調(diào)性法；⑤數(shù)形結(jié)合；⑥換元法：運用換元法時，要特別注意新元的取值范圍；⑦分離參數(shù)法;⑧不等式法――利用基本不等式求函數(shù)的最值。⑨判別式法；=10\*GB3⑩導(dǎo)數(shù)法.Ⅴ解應(yīng)用題:審題(理順數(shù)量關(guān)系)、建模、求模、驗證.Ⅵ恒成立問題:分離參數(shù)法;最值法;化為一次或二次方程根的分布問題.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;Ⅶ利用一些方法（如賦值法（令＝0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。如：若，滿足，則的奇偶性是______（答：奇函數(shù)）；23、函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是指：曲線在點處切線的斜率,即,切線方程為.24、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:(為常數(shù))；．25、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:⑴過某點的切線不一定只有一條;⑵研究單調(diào)性步驟:分析y=f(x)定義域;求導(dǎo)數(shù);解不等式f/(x)≥0得增區(qū)間;解不等式f/(x)≤0得減區(qū)間;注意f/(x)=0的點;⑶求極值、最值步驟:求導(dǎo)數(shù);求的根;檢驗在根左右兩側(cè)符號,若左正右負,則f(x)在該根處取極大值;若左負右正,則f(x)在該根處取極小值;把極值與區(qū)間端點函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小的是最小值.特別提醒：（1）是極值點的充要條件是點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不僅是＝0，＝0是為極值點的必要而不充分條件。（2）給出函數(shù)極大(小)值的條件，一定要既考慮，又要考慮檢驗“左正右負”(“左負右正”)的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點一定要切記！千萬別上當(dāng)噢.三、數(shù)列26、,注意一定要驗證a1是否包含在an中,從而考慮要不要分段.27、;在等差數(shù)列中;仍成等差數(shù)列；28、首項為正的遞減(或首項為負的遞增)等差數(shù)列前n項和最大(或最小)問題,轉(zhuǎn)化為解不等式組,或用二次函數(shù)處理;(等比前n項積?……).29、等差數(shù)列;;等比數(shù)列中;當(dāng)q=1,Sn=na1；當(dāng)q≠1,Sn==.30、常用性質(zhì)：等差數(shù)列中：；若，則；等比數(shù)列中：；若，則；31、常見數(shù)列：{an}、{bn}等差則{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比則{kan}(k≠0)、、{anbn}、等比;{an}等差,則(c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,則{logcbn}(c>0且c1)等差.32、三數(shù)等差可設(shè)為;四數(shù);等比三數(shù)可設(shè)；四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：(為什么？q2>0)33、等差數(shù)列的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等差數(shù)列,公差為；等比數(shù)列的任意連續(xù)m項的和（且不為零時）構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍為等比數(shù)列,公比為.注：公比為-1，n為偶數(shù)時就不對，此時、-、-、…不成等比數(shù)列？34、等差數(shù)列,①項數(shù)2n時,S偶-S奇＝nd;項數(shù)2n-1時,S奇-S偶＝an;②項數(shù)為時，則;項數(shù)為奇數(shù)時，.35、求和常法:公式、分組、裂項相消、錯位相減法、倒序相加法.關(guān)鍵是要找準(zhǔn)通項結(jié)構(gòu).在等差數(shù)列中求；在應(yīng)用等比數(shù)列求前n項和時，需要分類討論：時，；時，.在等比數(shù)列中你還要時刻注意到.常見和：，，；.你還記得常用裂項形式(拆項消去法)嗎？如：；；；;；;;常見放縮公式：．36、求通項常法:（1）已知數(shù)列的前n項和,你現(xiàn)在會求通項了嗎？（2）先猜后證;（3）疊加法(迭加法)：；疊乘法(迭乘法)：.（4）構(gòu)造法(待定系數(shù)法):形如、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列。（5）涉及遞推公式的問題，常借助于“迭代法”解決.高中數(shù)學(xué)資料共享群（734924357）（6）倒數(shù)法形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。37、“分期付款”中的單利問題、復(fù)利問題你熟悉嗎？四、三角38、一般說來，周期函數(shù)加絕對值或平方，其周期減半．（如的周期都是,但的周期為，的周期為）．弧長公式,扇形面積公式,1弧度.39、函數(shù)y=b（）①五點法作圖;②振幅?相位?初相?周期T=,頻率?=kπ時奇函數(shù);=kπ+時偶函數(shù).③對稱軸處y取最值,對稱中心處y為0;（問問自己：正弦曲線、余弦曲線、正切曲線的對稱軸、對稱中心你熟記了嗎？）求單調(diào)區(qū)間：①確保x系數(shù)為正；②讓角進入單調(diào)區(qū)間;④變換:正左移負右移；b正上移負下移;;.40、解斜三角形,易得：,①;;;②銳角中,,;類比得鈍角結(jié)論．③,射影定理；④正弦定理:;內(nèi)切圓半徑r=;⑤余弦定理：;=6\*GB3⑥,=7\*GB3⑦術(shù)語:坡度、仰角、俯角、方位角、方向角.41、在三角中，這些統(tǒng)稱為1的代換，常數(shù)“1”的代換有著廣泛的應(yīng)用．42、誘導(dǎo)公式簡記:奇變偶不變,符號看象限．(注意：公式中始終視a為銳角)記住奇,偶,象限指什么？三角函數(shù)“正號”記憶口訣：“一全正二正弦,三兩切四余弦”．43、重要公式：如；；;;.巧變角(角的拆拼)：如，，，，等.高中數(shù)學(xué)資料共享群（734924357）44、輔助角公式：(其中角所在的象限由a,b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩向量的夾角、兩條異面直線所成的角等時，你要注意到它們各自的取值范圍及意義：=1\*GB3①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次是；②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是；③向量的夾角的取值范圍是.五、平面向量45、向量定義、向量模、零向量、單位向量、逆向量、共線向量、相等向量、平行向量.注意:不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）46、加、減法的平行四邊形與三角形法則:;.47、,向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量，,其夾角為,則：①;若，,則,的充要條件要熟記.②；.48、想一想如何求向量的模？在方向上的投影是什么？(是個實數(shù),可正可負可為零!).49、若和是平面一組基底,則該平面任一向量(唯一).特別：＝則是三點P、A、B共線的充要條件。50、三角形中向量性質(zhì)：①過邊的中點：；②為的重心；;③為的垂心,；④為的內(nèi)心；向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；外心;⑤向量面積公式你記住了嗎？設(shè),．．51、定比分點公式中P分的比為,則=,＞0內(nèi)分;＜0且外分.＝;若λ＝1則＝(+);設(shè)P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)則;中點；重心;52、平移公式你記住了嗎?（這可是平移問題最基本的方法）.六、不等式53、如果不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式，如果正負號未定，要注意分類討論噢!54、比較大小的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量與“0”比，與“1”比或放縮法；(8)圖象法。55、常用不等式：;.利用重要不等式以及變式等求函數(shù)的最值時，你要注意到a，b，且“等號成立”時的條件？積ab或和a＋b其中之一應(yīng)是定值。注意：①一正二定三等；②積定和最小,和定積最大。常用的方法為：拆、湊、平方.56、(何時取等號？)；|a|≥a；|a|≥－a.57、證法:①比較法:差比:作差--變形(分解或通分配方)--定號.另:商比、平方差比；②綜合法—由因?qū)Ч?③分析法--執(zhí)果索因．基本步驟：要證…需證…,只需證…；④反證法--正難則反。⑤放縮法：將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達證題目的：⑴添加或舍去一些項，如：；.⑵將分子或分母放大（或縮?。?，如：.⑶利用基本不等式，如：；.⑷利用常用結(jié)論：，Ⅰ、；Ⅱ、；（程度大）Ⅲ、；（程度?。迵Q元法：常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如：已知，可設(shè)；已知，可設(shè)()；⑦最值法,如：方程有解(為的值域)；恒成立,恒成立．58、解絕對值不等式:①幾何法(圖像法)②定義法(零點分段法);③兩邊平方;④公式法.不等式的解集的規(guī)范書寫格式是一般要寫成集合的表達式!解指對不等式應(yīng)該注意指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)的真數(shù)大于零.59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根軸法（穿線法）.注意偶次式與奇次式符號.奇穿偶回。在解含有參數(shù)的不等式時，是要進行討論的（特別是指數(shù)和對數(shù)的底或）討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解是…．七、立幾60、位置：①空間兩直線:平行、相交、異面;判定異面直線用定義或反證法;②直線與平面呢?③平面與平面呢?61、你知道三垂線定理的關(guān)鍵是一面四直線，垂線是關(guān)鍵，垂直三處見，故曰三垂線.62、求空間角：①異面直線所成角的求法：（1）范圍：；（2）求法：平移以及補形法、向量法。用“平移法”時要注意平移后所得角是所求角或其補角。②直線和平面所成的角：（1）范圍；（2）斜線與平面中所有直線所成角中最小的角。（3）求法：作垂線找射影或求點線距離（向量法）；③二面角的求法：定義法、三垂線法、垂面法、面積射影法、法向量法。63、平行六面體→直平行六面體→長方體→正四棱柱→正方體間有什么聯(lián)系?三棱錐中:側(cè)棱長相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點在底面射影為底面外心;側(cè)棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底面射影為底面垂心;斜高相等(側(cè)面與底面所成相等)頂點在底面射影為底面內(nèi)心;正棱錐各側(cè)面與底面所成角相等為θ,則:S側(cè)cosθ=S底;正三角形四心?內(nèi)切外接圓半徑?64、空間距離:①異面直線間距離:找公垂線;②平行線與面間距離(兩平行面間距離)→點到面距離:直接法、等體積、轉(zhuǎn)移法、垂面法、向量法.③點到線距離:用三垂線定理作垂線后再求;正四面體(設(shè)棱長為)的性質(zhì)：高，全面積，體積；相鄰面所成二面角；外接球半徑；內(nèi)切球半徑.直角四面體的性質(zhì)：(直角四面體—三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體)．在直角四面體中,兩兩垂直,令,則⑴底面三角形為銳角三角形；⑵直角頂點在底面的射影為三角形的垂心；⑶；⑷；⑸；⑹外接球半徑．65、求球面兩點A、B距離:關(guān)鍵是求出球心角。①求|AB|;②算球心角∠AOB弧度數(shù);③用公式L球面距離=球心角×R;緯線半徑r＝Rcos緯度.球內(nèi)接長方體;;.66、平面圖形翻折(展開):注意翻折(展開)后在同一平面圖形中角度、長度不變;67、立平斜三角余弦公式,你熟練掌握了嗎?68、常用轉(zhuǎn)化思想:①構(gòu)造四邊形、三角形把問題化為平面問題;②將空間圖展開為平面圖;③割補法;④等體積轉(zhuǎn)化;⑤線線平行線面平行面面平行;⑥線線垂直線面垂直面面垂直;⑦有中點等特殊點線,用“中位線、重心”轉(zhuǎn)化.69、長方體:對角線長;正方體和長方體外接球直徑=體對角線長;已知長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有或；若長方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為,則有高中數(shù)學(xué)資料共享群（734924357）或．八、解析70、解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)。要注意，但誰也別忘了它還是幾何，要注意畫圖。71、傾斜角,.斜率.當(dāng)，但是直線是存在的.直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正，可負，也可為0。（截距不是距離”?。┲本€方程:點斜式;斜截式;一般式:;兩點式:;截距式:(a≠0,b≠0);求直線方程時要防止由于零截距和無斜率造成丟解,(由局限性，所以設(shè)方程的點斜式或斜截式時，就應(yīng)該先考慮斜率不存在的情形）。直線Ax+By+C=0的方向向量為=(B,-A)=(1,k).72、兩直線平行和垂直你記住了嗎?點線距呢?是什么?到的角;夾角;73、線性規(guī)劃：利用特殊點來判斷.求最值?求范圍?整點問題?（文科）74、圓:⑴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?⑵圓的一般方程圓心為,半徑為;⑶圓的參數(shù)方程：;⑷圓的直徑式方程你會寫嗎?75、若，則P(x0,y0)在內(nèi)(上、外).在圓中，注意利用半徑、半弦長、及弦心距組成的直角三角形。圓的幾何性質(zhì)別忘了。76、處理直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法：（1）點到直線的距離；（2）直線方程與圓的方程聯(lián)立，判別式法。一般來說，前者更簡捷。弦長公式.77、圓與圓的位置關(guān)系,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關(guān)系．設(shè)兩圓的圓心距為,兩圓的半徑分別為：相離公切線有4條；外切公切線有3條；相交公切線有2條；內(nèi)切公切線有1條；內(nèi)含沒有公切線；兩圓同心．78、直線系方程系：過定點、平行、垂直的直線系方程你會設(shè)嗎？推廣:橢圓、雙曲線、拋物線?過曲線f1(x,y)=0與曲線f2(x,y)=0交點的曲線系方程為:f1(x,y)+λf2(x,y)=0.過圓：,：交點的圓(相交弦)系方程為．時為兩圓相交弦所在直線方程，即兩圓方程相減可得相交弦所在直線方程；79、圓上動點到某條直線(或某點)的距離的最大、最小值的求法(過圓心).圓上一點,則過點的切線方程為：；圓上點切線方程為.過圓x2+y2=r2外點P(x0,y0)作切線后切點弦方程:x0x+y0y=r2;過圓外點作圓切線有兩條.若只求出一條,則另一條垂直ｘ軸.80、橢圓:①方程;參數(shù)方程;②定義:;注意：當(dāng)軌跡為線段F1F2;軌跡為;③e=,，橢圓有何特性？④長軸長為2a，短軸長為2b;⑤焦半徑：(“左加右減”);左焦點弦,右焦點弦;⑥通徑(最短焦點弦),焦準(zhǔn)距p=;⑦=,當(dāng)P為短軸端點時∠PF1F2最大,近地點a-c,遠地點a+c;=8\*GB3⑧點在橢圓.高中數(shù)學(xué)資料共享群（734924357）81、雙曲線:①方程;等軸雙曲線a=b,.②定義:,注意：是兩射線;無軌跡.③e=,;④四點坐標(biāo)？x,y范圍?實虛軸、漸近線交點為中心;在不含焦點的區(qū)域.共軛雙曲線有何結(jié)論？⑤焦半徑;、焦點弦用第二定義推(注意左右支及左右焦點不同);到焦點距離常化為到準(zhǔn)線距離;⑥通徑(最短焦點弦),焦準(zhǔn)距p;⑦=;⑧漸近線或,令“1”為0即可;焦點到漸近線距離為;82、拋物線:①方程;②定義:;③頂點為焦點到準(zhǔn)線垂線段中點;范圍?軸？焦點,準(zhǔn)線;④焦半徑，，焦點弦;，；⑤通徑2p(最短的弦),焦準(zhǔn)距p.點P在內(nèi)部；⑥已知A、B是拋物線y2=2px上的兩點，且則直線AB過定點M（2p，0）.83、你會用相關(guān)點法來求有關(guān)的對稱問題嗎？如：求對稱點:關(guān)于直線？84、相交弦問題:在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解消元后要注意：二次項的系數(shù)是否為零？判別式的限制．（求交點，弦長，中點，斜率，對稱，存在性問題都在下進行）。①用直線和圓錐曲線方程消元得二次方程后,注意用判別式、韋達定理、弦長公式;注意對參數(shù)分類討論和數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求思想的運用;注意焦點弦可用焦半徑公式,焦點弦長;其它用弦長公式:②涉及弦中點與斜率問題常用“差分法”.如:曲線(a,b>0)上A(x1,y1)、B(x2,y2)中點為M(x0,y0),則KABKOM=;對拋物線y2=2px(p≠0)有KAB＝.垂直問題:;;.85、軌跡方程:直接法(建系、設(shè)點、列式、化簡、定范圍)、定義法、幾何法、代入法(動點P(x,y)依賴于動點Q(x1,y1)而變化,Q(x1,y1)在已知曲線上,用x、y表示x1、y1,再將x1、y1代入已知曲線即得所求方程即相關(guān)點法)、參數(shù)法、交軌法等.86、解題注意:①考慮圓錐曲線焦點位置,拋物線還應(yīng)注意開口方向,以避免錯誤;②求圓錐曲線方程常用待定系數(shù)法、定義法、軌跡法;③焦點、準(zhǔn)線有關(guān)問題常用圓錐曲線定義來簡化運算或證明過程;④運用假設(shè)技巧以簡化計算.如:中心在原點,坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓(雙曲線)方程可設(shè)為Ax2+Bx2＝1;共漸近線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為為參數(shù),≠0);拋物線y2=2px上點可設(shè)為(,y0);直線的另一種假設(shè)為x=my+a;⑤解焦點三角形常用正余弦定理及圓錐曲線定義.87、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的