人教b版選擇性必修第一冊(cè)1.2.2第2課時(shí)三垂線定理及其逆定理作業(yè)

1.2.2第2課時(shí)三垂線定理及其逆定理課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1．正方體的體對(duì)角線與各個(gè)面上與其不共端點(diǎn)的面對(duì)角線的位置關(guān)系是()A．異面垂直 B．異面不垂直C．可能相交可能異面 D．可能相交、平行或異面★[答案]A2．點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是O，且PA，PB，PC兩兩垂直，那么點(diǎn)O是△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心★[答案]C★[解析]因?yàn)镻C⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB，所以PC⊥AB.又點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為O，連接CO，則CO是PC在平面ABC內(nèi)的射影，由三垂線定理的逆定理可知，AB⊥CO，同理可證AO⊥BC，即O是△ABC的垂心．3．已知AB?平面α，AC⊥α，BD⊥AB，BD與平面α成30°角，AB＝m，AC＝BD＝n，則C與D之間的距離是()A.eq\r(m2＋n2) B.eq\r(m2＋3n2)C.eq\r(m2＋n2)或eq\r(m2＋2n2) D.eq\r(m2＋n2)或eq\r(m2＋3n2)★[答案]D4．已知△ABC三邊的長(zhǎng)分別為3，4，5，平面ABC外一點(diǎn)P到△ABC三邊的距離都等于2，則P點(diǎn)到平面ABC的距離等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．4★[答案]C★[解析]如圖，點(diǎn)P在底面上的垂足為O，PE，PF，PD分別是頂點(diǎn)P到三角形各邊的距離，由三垂線定理的逆定理可知，OE，OF，OD分別是三角形各邊的垂線，因?yàn)槿龡l側(cè)高相等，所以O(shè)E＝OF＝OD，所以O(shè)為底面三角形的內(nèi)心，設(shè)半徑為r，則由面積相等得eq\f(1,2)×3×4＝eq\f(1,2)(3＋4＋5)r，所以r＝1，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離是eq\r(3).5．在四面體ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，下列說(shuō)法正確的是()A．A在平面BCD內(nèi)的投影是△BCD的重心B．A在平面BCD內(nèi)的投影一定在△BCD的內(nèi)部C．AD⊥BCD．AD∥BC★[答案]C★[解析]如圖，作AO⊥平面BCD，連接OB，OC，OD，則AO⊥CD，又因?yàn)锳B⊥CD，由三垂線定理的逆定理可知BO⊥CD，同理CO⊥BD，則O為△BCD的垂心，故A錯(cuò)；若△BCD為鈍角三角形，則其垂心在三角形的外部，故B錯(cuò)；所以DO⊥BC，由三垂線定理可知AD⊥BC，故C正確，D錯(cuò)．6．(多選)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有()A．直線DD1與直線AF垂直B．直線A1G與平面AEF平行C．點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等D．平面AEF截正方體所得的截面面積為eq\f(9,8)★[答案]BD★[解析]對(duì)于A，取DD1中點(diǎn)M，則AM為AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM與DD1不垂直，∴AF與DD1不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取B1C1中點(diǎn)N，連接A1N，GN，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1N∥AE，NG∥EF，A1N?平面AEF，AE?平面AEF，所以A1N∥平面AEF，同理可證NG∥平面AEF，A1N∩NG＝N，所以平面A1GN∥平面AEF，A1G?平面A1GN，所以A1G∥平面AEF，故B正確；對(duì)于C，假設(shè)C與G到平面AEF的距離相等，即平面AEF將CG平分，則平面AEF必過(guò)CG的中點(diǎn)，連接CG交EF于H，而H不是CG的中點(diǎn)，則假設(shè)不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AD1∥EF，把截面AEF補(bǔ)形為四邊形AEFD1，由等腰梯形計(jì)算其面積S＝eq\f(9,8)，故D正確．7．正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AD1與對(duì)角面BB1D1D所成角的大小是______．★[答案]30°★[解析]取BD的中點(diǎn)H，連接AH，∵正方體ABCD－A1B1C1D1，∴BB1⊥平面AC，∴AH⊥BB1，∴AH⊥BD且BD∩BB1＝B，∴AH⊥平面BD1，∴AH⊥D1H，∴∠AD1H就是直線AD1與平面BD1所成角．設(shè)AB＝1，在Rt△AHD1中，則AH＝eq\f(\r(2),2)，AD1＝eq\r(2)，∴sin∠AD1H＝eq\f(AH,AD1)＝eq\f(1,2)，∴∠AD1H＝30°.8．已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，則P點(diǎn)到BC的距離為_(kāi)_______．★[答案]13★[解析]取BC的中點(diǎn)E，連接AE，PE，∵PA⊥平面ABC，∴AE為PE在平面ABC內(nèi)的射影，又AB＝AC，∴AE⊥BC，由三垂線定理得，PE⊥BC，又AE＝12，PA＝5，∴PE＝13.9．已知H是銳角△ABC的垂心，PH⊥平面ABC，∠BPC＝90°.求證：∠BPA＝90°，∠APC＝90°.證明利用三垂線定理可證BP⊥AC，又BP⊥PC，故PB⊥平面APC，得∠APB＝90°，同理可證∠APC＝90°.10．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，P為B1C1的中點(diǎn)，A1C1與PD1交于M，B1C與PB交于N.求證：MN⊥A1C1，MN⊥B1C，并求MN的長(zhǎng)．證明連接BD1(圖略)，利用eq\f(PM,MD1)＝eq\f(PN,NB)＝eq\f(1,2)，得MN∥BD1，MN＝eq\f(1,3)BD1，得MN＝eq\f(\r(3),3)a.由三垂線定理知，BD1⊥A1C1，BD1⊥B1C，所以MN⊥A1C1，MN⊥B1C.11．PO⊥平面ABC，垂足為O，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，則PO的長(zhǎng)等于()A．5B．5eq\r(3)C．10D．10eq\r(3)★[答案]B★[解析]在△ABC中，∠ABC＝90°，滿足PA＝PB＝PC＝10，PO⊥平面ABC，O為垂足，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，∠BAC＝30°，BC＝5，解得AC＝10，所以O(shè)A＝CO＝OB，利用勾股定理得PO＝eq\r(PC2－OC2)＝5eq\r(3).12．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，當(dāng)BF⊥PE時(shí)，AF∶FD的值為()A．1∶2 B．1∶1C．3∶1 D．2∶1★[答案]B★[解析]方法一連接AE(圖略)，∵PA⊥平面ABCD，且BF⊥PE，由三垂線定理的逆定理可知，BF⊥AE，∴∠EAD＝∠ABF，∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE，即F為中點(diǎn)，∴AF∶FD＝1∶1.方法二建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，PA＝a，則B(1，0，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，P(0，0，a)．設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，y，0)，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－1，y，0)，eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，－a)).∵BF⊥PE，∴eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(PE,\s\up6(→))＝0，解得y＝eq\f(1,2)，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)).∴F為AD的中點(diǎn)，∴AF∶FD＝1∶1.13．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝2eq\r(2)，P為C1D1的中點(diǎn)，M為BC的中點(diǎn)．則AM與PM的位置關(guān)系為()A．平行B．異面C．垂直D．以上都不對(duì)★[答案]C★[解析]取CD的中點(diǎn)P′，連接PP′，AP′，MP′(圖略)，易知PP′⊥平面ABCD，所以MP′為PM在平面ABCD內(nèi)的射影．由題意得，AM＝eq\r(6)，MP′＝eq\r(3)，AP′＝3，所以AP′2＝AM2＋MP′2，所以AM⊥MP′，由三垂線定理知AM⊥PM.14．空間四邊形ABCD的四條邊及兩條對(duì)角線的長(zhǎng)均為1，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為_(kāi)_______．★[答案]eq\f(\r(6),3)★[解析]設(shè)點(diǎn)A′是點(diǎn)A在平面BCD上的投影，分別連接A′B，A′C，A′D，因?yàn)锳B＝AC＝AD，所以它們?cè)谄矫鍮CD上的射影A′B，A′C，A′D也都相等，所以點(diǎn)A′是△BCD的中心．因?yàn)锽C＝1，所以△BCD的高為eq\f(\r(3),2)，所以A′D＝eq\f(\r(3),3)，在Rt△AA′D中，|AA′|＝eq\r(AD2－A′D2)＝eq\f(\r(6),3)，即點(diǎn)A到平面BCD的距離為eq\f(\r(6),3).15．如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ABC＝60°，PA＝AB＝2，PA⊥平面ABCD.若PC⊥BD，則AD＝________，該四棱錐的體積為_(kāi)_______．★[答案]2eq\f(4\r(3),3)★[解析]∵PA⊥平面ABCD，且BD⊥PC，由三垂線定理的逆定理知，BD⊥AC.又四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD為菱形，∴AD＝AB＝2，∴S四邊形ABCD＝2S△ABC＝2eq\r(3)，∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).16．如圖，四面體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點(diǎn)，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝eq\r(2).(1)求證：AO⊥平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)E到平面ACD的距離．(1)證明連接OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD.∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.在△AOC中，由題設(shè)知AO＝1，CO＝eq\r(3)，AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2，∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.∵AO⊥BD，BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.(2)解取AC的中點(diǎn)M，連接OM，ME，OE，由E為BC的中點(diǎn)，知ME∥AB，OE∥DC，∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，在△OME中，EM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(2),2)，OE＝eq\f(1,2)DC＝1，∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴OM＝eq\f(1,2)AC＝1，∴cos∠OEM＝eq\f(1＋\f(1,2)－1,2×1×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),4)，∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4).(3)解設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.∵VE－ACD＝VA－CDE，∴eq\f(1,3)h·S△ACD＝eq\f(1,3)·AO·S△CDE.在△ACD中，CA＝CD＝2，AD＝eq\r(2)，∴S△ACD＝eq\f(1,2)×