人教b版選擇性必修第一冊2.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系作業(yè)22

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系A(chǔ)組基礎(chǔ)鞏固1．直線y＝kx－k＋1與橢圓x29＋y24＝1的位置關(guān)系為 （A．相切B．相交C．相離 D．不確定解析：∵直線y－1＝k（x－1），即直線恒過（1，1）點，又∵19＋14＜1，∴點（1，1）2．過橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的焦點F（c，0）的弦中最短弦長是A．2b2aC．2c2a解析：最短弦是過焦點F（c，0）且與焦點所在坐標(biāo)軸垂直的弦．將點（c，y）的坐標(biāo)代入橢圓x2a2＋y2b2＝1，得3．已知一條過點P（2，1）的直線與拋物線y2＝2x交于A，B兩點，且P是弦AB的中點，則直線AB的方程為 （A）A．x－y－1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y＋1＝0解析：依題意，直線AB斜率存在，設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），則有y12＝2x1，y22＝2x2，兩式相減得y12－y22＝2（x1－x2），即y1-y2x1-x2＝2y1+y2＝14．已知雙曲線x24－y25＝1的右焦點為F，過點F作一條直線與其中一條漸近線垂直，垂足為A，O為坐標(biāo)原點，則S△OAF＝ （A．3 B．35C．25 D．5解析：雙曲線x24－y25＝1的右焦點為F（3，0），F(xiàn)到漸近線5x＋2y＝0的距離則|AO|＝|OF|2則S△OAF＝12|FA||OA|＝12×5×2＝5．已知橢圓C：y29＋x2＝1，過點P12,12的直線與橢圓C相交于A，B兩點，且弦AB被點P平分，則直線AB的方程為A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0C．4x＋2y－3＝0 D．4x－2y－1＝0解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．因為點A，B在橢圓上，所以y129＋xy229＋x①－②，得(y1+y2)(y1-y2)9＋（x1＋x因為P12,12所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，代入③得y1-y2x1-x2故直線AB的方程為y－12＝－9x整理得9x＋y－5＝0．6．過雙曲線x2－y2＝1的右焦點P且與右支有兩個交點的直線，其傾斜角的范圍是π4解析：如圖，兩虛線分別是與漸近線平行的直線，當(dāng)過焦點的直線在圖中所示兩虛線之間時，與右支有兩個交點，所以其傾斜角的范圍是π47．過橢圓x25＋y24＝1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則△解析：將橢圓與直線方程聯(lián)立4解得交點A（0，－2），B53,43則S△OAB＝12|OF||y1－y2＝12×1×48．若點O和點F分別為橢圓x24＋y23＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則OP·解析：由x24＋y23＝1可得F（－1，0）．設(shè)P（x，y）（－2≤x≤2），則OP·FP＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31-x24＝14x2＋x＋3＝14（x＋2）2＋9．已知雙曲線3x2－y2＝3，直線l過右焦點F2，且傾斜角為45°，與雙曲線交于A，B兩點，試問A，B兩點是否位于雙曲線的同一支上？并求弦AB的長．解析：∵a＝1，b＝3，c＝2，又直線l過點F2（2，0），且斜率k＝tan45°＝1，∴l(xiāng)的方程為y＝x－2，由y=x-2,3x2-y2=3,消去設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∵x1x2＝－72＜0∴A，B兩點分別位于雙曲線的左、右兩支上．∵x1＋x2＝－2，x1x2＝－72∴|AB|＝1+12|x1－x2|＝2·(x10．設(shè)橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）過點（0（1）求C的方程；（2）求過點（3，0）且斜率為45的直線被C所截線段的中點坐標(biāo)解析：（1）將（0，4）代入C的方程得16b2＝1，所以b＝又e＝ca＝35，得a2-b2a2＝所以C的方程為x225＋（2）過點（3，0）且斜率為45的直線方程為y＝45（x－3）．設(shè)直線與C的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），將直線方程y＝45（x－3）代入C的方程，得x225＋(x-3)225＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3，所以AB的中點坐標(biāo)x0＝x1+x22＝3B組能力提升1．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，滿足MF1·MF2＝0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是 （A．（0，1） B．0C．0,22解析：∵MF1⊥MF2，∴點M在以F1F2為直徑的圓上，又點M在橢圓內(nèi)部，∴c＜b，∴c2＜b2＝a2－c2，即2c2＜a2，∴c2a2＜12，即ca＜22．又e2．已知點A（0，－3），B（2，3），點P在x2＝y(tǒng)上，當(dāng)△PAB的面積最小時，點P的坐標(biāo)是 （B）A．（1，1） B．3C．23,49 D．（解析：∵A（0，－3），B（2，3），kAB＝3，∴直線AB的方程為y＝3x－3．設(shè)直線y＝3x＋t是拋物線的切線，∴△PAB高的最小值是兩直線之間的距離．把直線y＝3x＋t代入x2＝y(tǒng)，化簡得x2－3x－t＝0，由Δ＝0，得t＝－94，此時x＝32，y＝∴P點坐標(biāo)為323．若點（x，y）在橢圓4x2＋y2＝4上，則yx-2的最小值為 （A．1 B．－1C．－233 D解析：設(shè)yx-2＝k，則y＝k（x－由4x2+y（k2＋4）x2－4k2x2＋4（k2－1）＝0，Δ＝16k4－4×4（k2－1）（k2＋4）＝0，解得k＝±233，所以kmin＝－4．已知雙曲線x2－y23＝1，過點A（1，1）作直線l，使l與雙曲線交于P，Q兩點，并且點A為線段PQ的中點，則這樣的直線l （DA．存在一條，且方程為3x－y－2＝0B．存在無數(shù)條C．存在兩條，方程為3x±（y＋2）＝0D．不存在解析：假設(shè)符合題意的直線l存在，并設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x①－②，得（x1－x2）（x1＋x2）＝13（y1－y2）（y1＋y2）． ∵點A（1，1）為線段PQ的中點，∴x將④⑤代入③，得x1－x2＝13（y1－y2）．∵P，Q是不同的兩點，∴x1≠x2，∴直線l的斜率k＝y(tǒng)1-y∴符合題設(shè)條件的直線l存在，其方程為3x－y－2＝0．而由y=3x-2,x2-y23=1根據(jù)Δ＝－24＜0，知所求直線不存在．5．已知點P位于第一象限，雙曲線C：x24－y2＝1的左、右頂點分別為A1，A2，設(shè)直線PA1，PA2的斜率分別為k1，k2，若點P在雙曲線C上，則1k1＋1k2的取值范圍為（解析：由題可得A1（－2，0），A2（2，0），設(shè)P（x0，y0），因為點P在雙曲線C上，所以y02＝x024－1，且x0＞則k1＝y(tǒng)0x0+2＞0，k2＝y(tǒng)0x0-2＞0，所以所以k1＋k2≥2k1k2＝2×14＝1，當(dāng)且僅當(dāng)k1＝k2因為k1≠k2，所以k1＋k2＞1，所以1k1＋1k2＝k1+k2故1k1＋1k2的取值范圍為（6．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓x24＋y2＝1的左、右焦點，過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB（O為坐標(biāo)原點）為銳角，則直線l的斜率k的取值范圍為（－2，－32）∪（32解析：顯然直線x＝0不滿足題設(shè)條件，故設(shè)直線l：y＝kx＋2，A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立y=kx+2,得k2+14x2＋4kx＋所以x1＋x2＝－4kk2+14，x由Δ＝（4k）2－12k2+14＝4k2－得k＞32或k＜－32．又0°＜∠AOB＜90°?cos∠AOB＞0?OA·OB＞0，所以O(shè)A·OB＝x1x2＋y1y2＞0．又y1y2＝（kx1＋2）（kx2＋2）＝k2x1x2＋2k（x1＋x2）＋4＝3k2k2+所以3k2+14＋-k2+1k2+14＞0，即綜合①②，得直線l的斜率k的取值范圍為（－2，－32）∪（32，27．已知點A，B是拋物線y2＝2px（p＞0）上的兩點，且OA⊥OB．（1）求兩點的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；（2）求證：直線AB過定點．解析：（1）設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則有kOA＝y(tǒng)1x1，kOB因為OA⊥OB，所以kOAkOB＝－1，所以x1x2＋y1y2＝0．因為y12＝2px1，y22＝2px2，所以y122p·y因為y1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2．（2）證明：因為y12＝2px1，y22＝兩式相減得（y1－y2）（y1＋y2）＝2p（x1－x2），所以y1-y2x1-故直線AB的方程為y－y1＝2py1+y2所以y＝2pxy1+y2即y＝2px因為y12＝2px1，y1y2＝－4p代入整理得y＝2px所以y＝2py1+y2即直線AB過定點（2p，0）．8．已知橢圓C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與直線ax＋2by－（1）求橢圓C的離心率e；（2）如圖，過F1作直線l與橢圓分別交于P，Q兩點，若△PQF2的周長為42，求F2P·F解析：（1）由題意知|-3ab|則3a2b2＝c2（a2＋4b2），即3a2（a2－c2）＝c2[a2＋4（a2－c2）]，所以a2＝2c2，所以e＝22（2）因為△PQF2的周長為42，所以4a＝42，即a＝2．由（1）知b2＝c2＝1，故橢圓方程為x22＋y2＝1，且焦點F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0①若直線l的斜率不存在，則可得l⊥x軸，方程為x＝－1，P-1,22，Q-1,-22，F(xiàn)②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k（x＋1），由y=k(x+1),x2+2y