高二數(shù)學(xué)三垂線定理和逆定理

三垂線定理aAPoα精選ppt復(fù)習(xí)：什么叫平面的斜線、垂線、射影？

如果aα,a⊥AO，思考a與PO的位置關(guān)系如何？∪aAPoαPO是平面α的斜線,O為斜足;PA是平面α的垂線,A為垂足;AO是PO在平面α內(nèi)的射影.三垂線定理精選ppt性質(zhì)判定定理性質(zhì)線面垂直①線線垂直②線面垂直③線線垂直PO平面PAO∪a⊥PO③三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。PA⊥αaα∪①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAO三垂線定理PaAoα精選ppt直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOaα例如：當(dāng)b⊥時(shí)，

b⊥OA如果將定理“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b但

b不垂直于OP思考?精選ppt1、三垂線定理描述的是PO(斜線)、AO(射影)、a(直線)之間的垂直關(guān)系。2、a與PO可以相交，也可以異面。3、三垂線定理的實(shí)質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。說(shuō)明：三垂線定理精選ppt例1直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)求證：PO⊥BD，PC⊥BD(3)已知：在正方體AC1中，求證：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD精選ppt(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，求證：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD證明:∵ABCD為正方形O為BD的中點(diǎn)∴AO⊥BD

同理，AC⊥BD

AC是PC在ABCD上的射影∴

PC⊥BDPO⊥BD∴AO是PO在平面ABCD上的射影∴PA⊥平面ABCD∵BD平面ABCD又精選pptPMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，

M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AM證明:PM

⊥BC∴BC⊥AM∴PM是AM在平面PBC上的射影∴PA⊥平面PBC∵PB=PCM是BC的中點(diǎn)∵BC平面PBC又精選ppt(3)在正方體AC1中，求證：A1C⊥BC1，A1C⊥B1D1∵在正方體AC1中A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1證明：CBA1B1C1ADD1同理可證，

A1C⊥B1D1由三垂線定理知

A1C⊥BC1

精選pptPMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP我們要學(xué)會(huì)從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧精選ppt三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作為已知條件解題回顧PAOaα精選ppt關(guān)于三垂線定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)的垂線。至于射影則是由垂足、斜足來(lái)確定的，因而是第二位的。從三垂線定理的證明得到證明a⊥b的一個(gè)程序：一垂、二射、三證。即第一、找平面(基準(zhǔn)面)及平面垂線第二、找射影線，這時(shí)a、b便成平面上的一條直線與一條斜線。三垂線定理第三、證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。精選pptPAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直精選ppt線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？精選ppt在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理精選ppt例2如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上。已知：∠BAC在平面內(nèi)，點(diǎn)P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥，垂足分別是E、F、O，PE=PF求證：∠BAO=∠CAO分析：要證∠BAO=∠CAO只須證OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACPCBAOFE???證明：∵PO⊥∴OE、OF是PE、PF在內(nèi)的射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥AB得OE⊥AB同理可得OF⊥AC結(jié)論成立精選ppt三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。小結(jié)三垂線定理三垂線逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和