2023年高考數學壓軸題-圓錐曲線專題第10講：斜率問題二（原卷版）

第十講：斜率問題（二）【學習目標】基礎目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質，三角形，四邊形面積的推導過程；應用目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的性質，注重設直線的方程，并聯立方程組解決問題；拓展目標：能夠熟練應用題干信息，將文字翻譯成式子求解斜率.素養(yǎng)目標：通過數形結合，轉化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨立思考和邏輯分析能力，提升學生的數學運算和數學抽象的核心素養(yǎng).【基礎知識】1、弦長公式若在直線上，代入化簡，得;2、過定點的直線方程（1）當直線斜率存在時，，當直線斜率不存在時，；（2）當直線斜率不為零時，，當直線斜率為零時，；3、當時，線段的中垂線：【考點剖析】考點一：求斜率1（直線方程）例1．已知橢圓：，直線經過橢圓的左焦點與其交于點，.（1）求橢圓的方程和離心率；（2）已知點，，直線，與直線分別交于點，，若，求直線的方程.

變式訓練1：已知橢圓的離心率為，上頂點為．(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，且，求的值．變式訓練:2：已知橢圓過點．（1）求橢圓的方程；（2）若直線過的右焦點交于兩點，，求直線的方程．

變式訓練3：過平面上點作直線，的平行線分別交軸于點，且.（1）求點的軌跡方程；（2）若過點的直線與軌跡交于，兩點，若，求直線的方程.考點二：求斜率2（直線方程）例1．已知橢圓的離心率為，依次連結的四個頂點構成的四邊形面積為.（1）求的方程；（2）設的左，右焦點分別為，，經過點的直線與交于，兩點，且，求的斜率.

變式訓練1：已知雙曲線的左，右焦點為，離心率為.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)過作斜率為的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點，若，求的值.變式訓練2：已知動點M到點F（0，）的距離與它到直線的距離相等．(1)求動點M的軌跡C的方程；(2)過點P（，－1）作C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，求直線AB的方程．

變式訓練3：動點M到點的距離比它到直線的距離小，記M的軌跡為曲線C.(1)求C的方程；(2)已知圓，設P，A，B是C上不同的三點，若直線PA，PB均與圓D相切，若P的縱坐標為，求直線AB的方程.考點三：求斜率3（中垂線）例1．已知橢圓（）的離心率為，短軸長為2，直線與橢圓交于兩點.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在實數，使得點在線段的中垂線上？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

變式訓練1：已知橢圓的離心率為，右焦點到上頂點的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于兩點，使得點在線段的中垂線上？若存在，求出直線；若不存在，說明理曲.變式訓練2：已知雙曲線：（，）過點，且與雙曲線：有相同的漸近線．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線：與雙曲線交于，兩點，且線段的垂直平分線過點，求直線的方程．

變式訓練2：已知雙曲線（）的一個焦點是，離心率.(1)求雙曲線的方程；(2)若斜率為的直線與雙曲線交于兩個不同的點，線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．變式訓練3：已知橢圓C：的左、右焦點分別為，．橢圓C的長軸長與焦距比為，過的直線l與C交于A、B兩點．(1)當l的斜率為1時，求的面積；(2)當線段AB的垂直平分線在y軸上的截距最小時，求直線l的方程．

【當堂小結】1、知識清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線弦長和面積；（2）垂直平分線；（3）平分垂直的應用和證明；2、易錯點：弦長公式的計算，垂直平分線的表示；3、考查方法：數形結合思想，數與形的轉化；4、核心素養(yǎng)：數學運算，數學抽象.【過關檢測】1．已知拋物線，其通徑為4．(1)求拋物線的標準方程；(2)過拋物線焦點F作直線l，使得直線l與拋物線交于P、Q兩點，且滿足弦長，求直線l的斜率．

2．橢圓C的方程為，右焦點為，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與圓相切，與橢圓交于兩點，且，求直線的方程．3．已知橢圓：的一個頂點為，焦距為．(1)求橢圓E的方程；(2)過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．

4．已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程;（2）設點為橢圓的右頂點，直線與軸交于點過點作直線與橢圓交于兩點，若，求直線的斜率.5．已知橢圓的離心率為，且橢圓經過點.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的右焦點為，過點作兩條傾斜角互補的直線分別交橢圓于，兩點，證明：.

6．已知雙曲線的左，右焦點為，離心率為.(1)求雙曲線C的漸近線方程；(2)過作斜率為k的直線l分別交雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，若，求k的值.7．在平面直角坐標系中，頂點在原點、以坐標軸為對稱軸的拋物線經過點．(1)求拋物線的方程；