2023年高考數學壓軸題-圓錐曲線專題第09講：斜率問題一（原卷版）VIP

第九講：斜率問題（一）【學習目標】基礎目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質；應用目標：掌握直線與橢圓，雙曲線，拋物線的位置關系的判斷，斜率的求解；拓展目標：能夠熟練應用點差法推導中點弦公式，并靈活應用中點弦和相關第三定義.素養(yǎng)目標：通過數形結合，轉化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨立思考和邏輯分析能力，提升學生的數學運算和數學抽象的核心素養(yǎng).【基礎知識】1、直線與圓錐曲線的位置關系設直線，圓錐曲線，把二者方程聯(lián)立得到方程組，消去得到一個關于的方程.（1）當時，方程有兩個不同的實數解，即直線與圓錐曲線有兩個交點；方程有兩個相同的實數解，即直線與圓錐曲線有一個交點；方程無實數解，即直線與圓錐曲線無交點.（2）當時，方程為一次方程，若，方程有一個解，此時直線與圓錐曲線有一個交點；若，方程無解，此時直線與圓錐曲線沒有交點.2、圓錐曲線的中點弦問題（1）為橢圓的弦，，弦中點M(x0，y0)，則所在直線的斜率為，弦的斜率與弦中點M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值.（2）AB為雙曲線的弦，，弦中點M(x0，y0)，則AB所在直線的斜率為，弦AB的斜率與弦中點M和雙曲線中心O的連線的斜率之積為定值.（3）在拋物線中，以M(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率.【考點剖析】考點一：位置關系（交點個數）例1．已知拋物線的焦點到準線的距離為，過點的直線與拋物線只有一個公共點.(1)求拋物線的方程；(2)求直線的方程.變式訓練1：已知O，F(xiàn)分別是拋物線的頂點和焦點，動點M與點O的距離是它與點F的距離的一半．(1)求動點M的軌跡；(2)若過點的直線l與動點M的軌跡有且只有一個交點，求直線l的方程．

變式訓練2：已知雙曲線C：的焦距為4，且過點.(1)求雙曲線方程；(2)若直線與雙曲線C有且只有一個公共點，求實數的值.變式訓練3：在平面直角坐標系中，已知點到兩點的距離之和等于，設點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程.（2）若直線與曲線有公共點，求實數的取值范圍.

考點二：中點弦公式（橢圓：點差法）例1．已知橢圓的離心率為，點在上.（1）求的方程；（2）直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為.證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值.變式訓練1：已知動點與平面上點，的距離之和等于.(1)求動點的軌跡方程；(2)若經過點的直線與曲線交于，兩點，且點為的中點，求直線的方程.

變式訓練2：已知橢圓E：的左，右焦點分別為，，點在E上，且．(1)求E的標準方程；(2)若直線l與E交于A，B兩點，且AB中點為，求直線l的方程．變式訓練3：已知橢圓的左、右焦點分別為，，過且與軸垂直的直線交橢圓于點，直線與軸的交點為．（1）求橢圓的離心率；（2）過點且斜率不為0的直線交橢圓于、點，線段的中點為點，求證：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值．

考點三：中點弦公式（拋物線：點差法）例1．已知拋物線的焦點為F，第四象限的一點在C上，且.(1)求C的方程和m的值；(2)若直線l交C于A,B兩點，且線段AB中點的坐標為，求直線l的方程及線段AB的長.變式訓練1：已知是拋物線的焦點，直線交拋物線于、兩點.(1)若直線過點且，求；(2)若平分線段，求直線的方程.

變式訓練2：已知拋物線上的點到其焦點F的距離為5.(1)求C的方程；(2)過點的直線l交C于A，B兩點，且N為線段的中點，求直線l的方程.考點四：中點弦公式（雙曲線：點差法）例1．已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)經過點的直線交于兩點，且為線段的中點，求的方程.

變式訓練1：已知雙曲線C的漸近線方程為，且是雙曲線上一點.(1)求雙曲線C的標準方程及離心率；(2)過點的直線與雙曲線C交于不同的兩點A?B，且線段AB恰好被點M平分，求直線AB的方程.變式訓練2：已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，離心率，焦距為.（1）求該雙曲線方程.（2）是否定存在過點的直線與該雙曲線交于、兩點，且點是線段的中點若存在，請求出直線的方程，若不存在，說明理由.

變式訓練3：已知雙曲線：：(，)與有相同的漸近線，且經過點.（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點?，且線段的中點在圓上，求實數的值.考點五：橢圓的第三定義（推導公式）例1．已知橢圓C：（）的離心率為，并且經過點，(1)求橢圓C的方程；(2)設點關于坐標原點的對稱點為，點為橢圓C上任意一點，直線的斜率分別為，，求證：為定值．

變式訓練1：已知橢圓的離心率為，上頂點，M、N為橢圓上異于點P且關于原點對稱的兩點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)求證為定值．變式訓練2：已知橢圓：的離心率為，其右焦點到直線的距離為．(1)求橢圓的標準方程；(2)直線交橢圓于，兩點，橢圓右頂點為，求證：直線，的斜率乘積為定值，并求出該定值．

變式訓練3：已知O為坐標原點，雙曲線C：（，）的離心率為，點P在雙曲線C上，點，分別為雙曲線C的左右焦點，.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)已知點，，設直線PA，PB的斜率分別為，.證明：為定值.【當堂小結】1、知識清單：（1）直線與橢圓，雙曲線，拋物線的位置關系；（2）圓錐曲線的中點弦問題；2、易錯點：點差法的計算；3、考查方法：數形結合思想，數與形的轉化；4、核心素養(yǎng)：數學運算，數學抽象.【過關檢測】1．已知曲線上任一點與點的距離與它到直線的距離相等．(1)求曲線的方程；(2)求過定點，且與曲線只有一個公共點的直線的方程．2．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點E在橢圓C上，且，，.(1)求橢圓C的方程：(2)直線l過點，交橢圓于點A，B，且點P恰為線段AB的中點，求直線l的方程.

3．已知的周長為且點的坐標分別是，，動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)直線過點，交曲線于兩點，且為的中點，求直線的方程.4．已知橢圓C的焦點為，，過的直線與橢圓C交于A，B兩點.若的周長為.（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓中以為中點的弦所在直線方程.

5．雙曲線的離心率為2，經過C的焦點垂直于x軸的直線被C所截得的弦長為12.(1)求C的方程；(2)設A，B是C上兩點，線段AB的中點為，求直線AB的方程.6．已知雙曲線的漸近線方程為，焦點坐標為.(1)求C的方程；(2)經過點的直線l交C于A，B兩點，且M為線段AB的中點，求l的方程.

7．雙曲線，離心率，虛軸長為2．(1)求雙曲線的標準方程；(2)經過點的直線與雙曲線相交于兩點，且為的中點，求直線的方程．8．已知橢圓的離心率為，上頂點，M、N為橢圓上異于點P且關于原點對稱的兩點．(1)求橢圓C的標準方程；(2)求證為定值．

9．在平面直角坐標系中，動點到點的距離和它到直線的距離之比為.動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程，并說明曲線是什么圖形；(2)