高考數學第4章三角函數解三角形第5節(jié)三角恒等變換第2課時簡單的三角恒等變換教學案文

第2課時簡單的三角恒等變換(對應學生用書第74頁)⊙考點1三角函數式的化簡1．三角函數式的化簡要按照“三看”原則2．三角函數式化簡的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪．(2)在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律，根號中含有三角函數式時，一般需要升次．421(1)化簡：2cosx－2cosx＋2＝________.π2π2tanxsin－＋x44π10ππ(2)已知cosθ＋4＝10，θ∈0，2，則sin2θ－3＝________.ππ5π(3)已知α為第二象限角，且tanα＋tan12＝2tanαtan12－2，則sinα＋6＝________.14－3331014cos4x－4cos2x＋12(1)2cos2x(2)10(3)－10[(1)原式＝π＝sin－xπ422×π·cos4－xcos4－x2cos2x－12ππ4sin4－xcos4－x22＝cos2x＝cos2x＝1cos2x.π2cos2x22sin2－2x1＋cos2θ＋π2θ＋π212θ＋π(2)由題意可得，cosθ＝＝2＝410，cos2＝－sin244－，即sin2θ＝.55π10π由于cosθ＋＝10＞0，θ∈0，，42π0，π所以0＜θ＜4，2θ∈2，依據同角三角函數基本關系式，可得cos2θ＝3，5由兩角差的正弦公式，可得2πππsinθ－＝sin2θcos3－cos2θsin33＝4×1－3×3＝4－33.525210π由已知可得tanα＋12＝－2，∵α為第二象限角，α＋π25π5∴sin12＝5，cosα＋＝－5，125ππ則sinα＋6＝－sinα－6＝－sinα＋ππ12－4ππππ310＝cosα＋12sin4－sinα＋12cos4＝－10.]化簡標準：函數種類盡可能少、次數盡可能低、項數盡可能少、盡量不含根式、盡量不含絕對值等．余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)冪的作用．⊙考點2三角函數的求值給角求值[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°＝________.6[原式＝2sin50°＋sin10cos10°＋3sin10°80°＝°··2sincos10°132cos10°＋2sin10°·2cos10°＝22[sin50°·cos2sin50°＋2sin10°·cos10°10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.]該類問題中給出的角一般都不是特別角，需要經過三角恒等變換將其變成特殊角，或許可以正負相消，或許可以約分相消，最后獲得詳細的值．給值求值πα437π(1)(2019·益陽模擬)已知cosα－＋sin＝5，則sinα＋＝66________.(2)已知cosπ317π7π，則sin2α＋2sin2α的值為________．＋α＝，12＜α＜41－tanα45428π43(1)－5(2)－75[(1)由cosα－6＋sinα＝5，3143可得2cosα＋2sinα＋sinα＝5，3343即2sinα＋2cosα＝5，43所以3sinα＋6＝5，4即sinα＋6＝5，7πα＋π4所以sinα＋＝－sin6＝－5.6(2)sin2α＋2sin2α＝2sinαcosα＋2sin2α1－tanαsinα1－cosα2sinαcosαcosα＋sinα＝cosα－sinα1＋tanαπ＝sin2α1－tanα＝sin2α·tan4＋α.17π7π5ππ＜2π，由12＜α＜4得3＜α＋4又cosπ＋α＝3，45π4π4所以sin4＋α＝－5，tan4＋α＝－3.cosα＝cosππ2，sinα＝－72，sin27.＋α－4＝－1010α＝254sin2α＋2sin2α7428所以1－tanα＝25×－3＝－75.]給值求值的重點是經過角的三角函數的變換把求解目標用已知條件表達出來．(2)注意π＋x與π－x互余，sin2π＋x＝cos2x，cos2πx的靈444－x＝sin24活應用．給值求角5310，則α＋β的值為( )(1)設α，β為鈍角，且sinα＝，cosβ＝－1053π5πA.4B.47π5π7πC.4D.4或411(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝2，tanβ＝－7，則2α－β的值為________．35310(1)C(2)－4π[(1)∵α，β為鈍角，sinα＝5，cosβ＝－10，∴cos25，sin10α＝－5β＝10，2cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝2＞0.3π又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈2，2π，α＋β＝7π.4(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]11tanα－β＋tanβ2－71＝＝1＝＞0，1－tanα－βtanβ131＋2×7π0＜α＜2.12tanα2×3又∵tan23α＝2α＝＝＞0，1－tan1241－3π∴0＜2α＜2，31∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ＝4＋7＝1.1＋tan2αtanβ311－4×7πtanβ＝－7＜0，∴2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，3π∴2α－β＝－4.]經過求角的某種三角函數值來求角，在選用函數時，有以下原則：①已知正切函數值，則選正切函數．π②已知正、余弦函數值，則選正弦或余弦函數．若角的范圍是0，2，則選正、余弦(0，π)，則選余弦較好；若角的范圍為ππ皆可；若角的范圍是－，22，則選正弦較好．提示：求解此類問題時，必定要注意所求角的范圍及解題過程中角的范圍．1.(2019·安徽六安二模)若sin2α＝510，sin(β－α)＝，且510π3πα∈4，π，β∈π，2，則α＋β的值是()A.7πB.9π44C.5π7πD.5π9π4或44或4π515πA[由于α∈4，π，且0＜sin2α＝5＜2，所以2α∈6，π，5ππ225所以α∈12，2，cos2α＝－1－sin2α＝－5.3ππ13π由于β∈π，2，所以β－α∈2，12，10π又sin(β－α)＝10＞0，所以β－α∈2，π，2310所以cos(β－α)＝－1－sinβ－α＝－10.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)253105102＝－5×－10－5×10＝2.5ππ3π17π7π又α∈12，2，β∈π，2，所以α＋β∈12，2π，所以α＋β＝4.應選A.]2．已知α∈0，π，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，則2sinα＋π4α＋1＝________.sin2α＋cos226π228[∵α∈0，2，且2sinα－sinα·cosα－3cosα＝0，則(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，π又∵α∈0，2，sinα＋cosα＞0，2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝2α＝3，sin，1313sinπα＋4sin2α＋cos2α＋12sinα＋cosα2262sinα＋cosα2＋cos2α－sin2α＝4cosα＝8.]⊙考點3三角恒等變換的綜合應用三角恒等變換的應用策略進行三角恒等變換要抓住：變角、變函數名稱、變構造，特別是角之間的關系；注意公式的逆用和變形使用．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化為y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可進一步研究函數的周期性、單一性、最值與對稱性．(2019·浙江高考)設函數f(x)＝sinx，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函數f(x＋θ)是偶函數，求θ的值；π2π2(2)求函數y＝fx＋fx＋＋的值域．124[解](1)由于f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函數，所以對隨意實數x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ，故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0.3π又θ∈[0,2π)，所以θ＝2或θ＝2.π2π2(2)y＝fx＋＋f12x＋4ππ＝sin2xπ2xπ1－cos2x＋61－cos2x＋2＋＋＝2＋212＋sin4＝1－133π.23cos2x－sin2x＝1－cos2x＋3222所以，所求函數的值域是331－2，1＋.2(1)求三角函數分析式y(tǒng)＝sin(＋)(＞0，ω＞0)時要注意φ的取值范AωxφA圍．依據二倍角公式進行計算時，假如波及開方，則要注意開方后三角函數值的符號．已知函數f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(1)求f2π的值；3求f(x)的最小正周期及單一遞加區(qū)間．2π32π1[解](1)由sin3＝2，cos3＝－2，得f2π321