2022屆河北省部分學校高三下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

2022屆河北省部分學校高三下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題

一、單選題

1.設加eR,若4=-l+2i與Z?="+加的虛部相等，則z「z?=（）

A.-6-iB.2+2iC.3-iD.-6+2i

【答案】D

【分析】由題意得出加的值后計算

【詳解】依題意可得%=2,則z「Z2=（—l+2i）（2+2i）=-6+2i.

故選：D

2.已知集合4=[€沖2-4》一540},B={-1,0,1,2},則（）

A.{-1,0,1,2}B.0C.{0,1,2}D.{1,2,3}

【答案】C

【分析】根據(jù)集合的交集運算即可求解.

【詳解】解：A={xe/v|x2-4x-5<0）={xe^|-l<x<5}={0,l,2,3,4,5）,

AnB={0,l,2},

故選：C.

3.雙碳,即碳達峰與碳中和的簡稱,2020年9月中國明確提出2030年實現(xiàn)“碳達峰”，

2060年實現(xiàn)“碳中和”.為了實現(xiàn)這一目標，中國加大了電動汽車的研窕與推廣，到2060

年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%,新型動力電池隨之也迎來了蓬勃

發(fā)展的機遇.Peakerf于1898年提出蓄電池的容量C（單位：A.h）,放電時間f（單位：

h）與放電電流/（單位：A）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式C=/"1,其中〃=1°832為&必

2

常數(shù).在電池容量不變的條件下，當放電電流/=10A時，放電時間f=57h,則當放電

電流/=15A,放電時間為（）

A.28hB.28.5hC.29hD.29.5h

【答案】B

【分析】根據(jù)題意求出蓄電池的容量C,再把/=15A代入，結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的運算性

質(zhì)即可得解.

【詳解】解：根據(jù)題意可得C=57/0",

則當/=15A時，

57/0"=15"1,

所以t=57?(|)=57(|『=57{|)爭=28.5h，

即當放電電流/=15A,放電時間為28.5h.

故選：B.

-TJ%)=g,則sin(2-2a)(l+tana)1+tan=(

4.已知sinIH)

141472

A.B.—D.

~999

【答案】A

【分析】由兩角差的正切公式展開tan■(TTf-a)可求得(l+tana)[l+tan7(Tf-⑶]的值，由誘

44

導公式、余弦的二倍角公式變形可求得sin(J-2a),從而可求得結(jié)論.

O

【詳解】

兀

tan—tana

711-tana

(1+tana)[\+tan(----a)]=(1+tana)1+4----------=(l+tana)(l+)=2,

4幾

1+tan—tana1+tan?

47

TV

y-a

sin(^-2a)=-cos(--2a+^)=-cos(4-2a)=2sin2(y-a)-l=2x(—)2-1=--,

714

所以原式=_^*2=_蓑

故選：A.

5.游戲《王者榮耀》對青少年的不良影響巨大，被戲稱為“王者農(nóng)藥”.某市青少年健

康管理委員會對該市下學年度青少年上網(wǎng)打《王者榮耀》的情況進行統(tǒng)計，作出如下人

數(shù)變化的走勢圖.

根據(jù)該走勢圖，下列結(jié)論正確的是()

A.這半年中，青少年上網(wǎng)打《王者榮耀》的人數(shù)呈周期性變化

B.這半年中，青少年上網(wǎng)打《王者榮耀》的人數(shù)不斷減弱

C.從青少年上網(wǎng)打《王者榮耀》人數(shù)來看，10月份的方差小于11月份的方差

D.從青少年上網(wǎng)打《王者榮耀》人數(shù)來看，12月份的平均值大于1月份的平均值

【答案】D

【分析】根據(jù)走勢圖，逐一分析各個選項，即可得答案.

【詳解】對于A：由走勢圖可得，青少年上網(wǎng)打《王者榮耀》的人數(shù)沒有周期性變換，

故A錯誤；

對于B：從2月開始，青少年上網(wǎng)打《王者榮耀》的人數(shù)上升，故B錯誤；

對于C：去年10月份波動較大，方差大，去年11月波動較小，方差小，故去年10月

份的方差大于11月份的方差，故C錯誤，

對于D：由走勢圖可得，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故D正確；

故選：D

6.已知a=儂，/>=log,7,c=ln27,則“，b,。的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用黑函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.

3

【詳解】解：因為2=我<。=@<歷=3,ft=log37<log;（9=2,c=in27>Ine=3,

所以b<a<c,

故選：B.

7.已知三棱錐P—ABC,其中PA_L平面ABC,N84C=120。，PA=AB=AC=2,則

該三棱錐外接球的表面積為（）

A.12萬B.16乃C.20萬D.24乃

【答案】C

【分析】根據(jù)余弦定理、正弦定理，結(jié)合球的性質(zhì)、球的表面積公式進行求解即可.

【詳解】根據(jù)題意設底面的外心為G,。為球心，所以OGJ_平面A6C,因為B4JL

平面

所以OG//PA,設。是心中點，因為OP=OA,所以￡>O_LR4,

因為P4_L平面ABC,AGu平面ABC,所以AG_LP4,因此OD//AG,

因此四邊形OD4G是平行四邊形，故OG=AD=；PA=1,

由余弦定理，得

BC=ylAB2+AC2-2ABACcosl20,=^4+4-2x2x2x(-l)=273,

由正弦定理，得2AG=M=AG=2,

T

所以該外接球的半徑R滿足a=(OG)2+(AG)2=5=S=4TR2=20%,

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點睛：運用正弦定理、余弦定理是解題的關(guān)鍵.

8.如圖1所示，雙曲線具有光學性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反

射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲線后:￡-耳=1（。>0/>0）

的左、右焦點分別為6，B，從尸2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的4,8兩點反射后，分別經(jīng)

4

過點C和。，且cos/a4c=-不ABA.BD,則E的離心率為（）

A.亨B.fC當

【答案】B

【分析】結(jié)合題意作出圖形，然后結(jié)合雙曲線的定義表示出〃耳打入，進而利用勾股定

理即可得到10片=402,從而可求出結(jié)果.

【詳解】由題意知延長。,OB則必過點耳,如圖:

AF—AF=2a

由雙曲線的定義知i2

BF}-BF2=2a

44

又因為cosNB4C=-y,AB工BD,所以co$N耳設則

fAF=5m-2a

43=4皿34=3根，因此17一,從而5加一2。+3〃?-2。=4相，所以。=加，又

[88=3m-2a

因為期2+862=百居2,所以(3獷+/=(24,即10A2=4C2,即《=乎，

故選：B.

二、多選題

9.已知數(shù)列｛可｝的前〃項和為S,,,且滿足4=1,生=2,an+l=4a?-3a?_t,則下面說

法正確的是()

A.數(shù)列｛。用為等比數(shù)列B.數(shù)列｛。川-3q｝為等差數(shù)列

3"-1n

C.勺=3""+1D.S“=+—

42

【答案】ABD

【分析】由已知遞推式可得4a〃=3(a“—4i)或a,向-3?！?q-3，*，從而可得數(shù)列

為公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列｛。,用-3%｝為常數(shù)列，從而可求出進而可

分析判斷

【詳解】根據(jù)題意得

a“+i=4a“-3a,ina“+|+她=(%+4)a“_3a,i=仕+4)(凡一11^勺_],令

k=-y~7nz2+4k+3=0nZ=-l或％=-3,所以可得：。“+|-=3(?！耙籥“_J或

%+4

a“+L3a“=a“-3a“T，所以數(shù)列應“一總為公比為3的等比數(shù)列，故選項A正確;

數(shù)列-3%｝為常數(shù)列，即為公差為0的等差數(shù)列，故選項B正確;

所以%-a“=lx3「且.—3a“=一1

.i

解得V空，所以c錯誤,

所以s“=4+a2+---+an

3°+1

+，.+

222

=；（3°+夕+…+3"一|）+]

11一3〃n

=—x------+一

21-32

=芝匚+己，所以D正確,

42

故選：ABD.

22

10.已知橢圓M:二十/=1（〃＞人＞0）的左、右焦點分別為1（-6,0）,乙（石,0）,過

a~

點心的直線與該橢圓相交于A,B兩點,點P在該橢圓上，且|陰、1,則下列說法正

確的是（）

A.不存在點戶，使得/耳尸6=90。B.滿足△白尸工為等腰三角形的點P有2

個

若。，則%%邛

C4"=60D.|P制-|Pg|的取值范圍為[-26,26|

【答案】CD

【分析】根據(jù)條件求得橢圓的方程，然后結(jié)合橢圓圖像及性質(zhì)逐一判斷即可

【詳解】根據(jù)題意:可得C=G，|A@的最小值為1,所以|AB|=￡-=1,

2

0i]a=2,b=l,c=y/i,所以橢圓方程土+y2=l

當P為該橢圓頂點時，此時/后尸?=120。,

所以存在點P,使得/月2工=90。，故A錯誤；

當點P在橢圓的上，下頂點時，滿足△耳P鳥為等腰三角形,

又因為2-石4歸國42+百，內(nèi)用=2百，

所以滿足歸國=|可用的點尸有兩個，

同理,滿足歸耳|=|耳閭的點P有兩個,故B錯誤.

若/片”=60。，則S』F="tan竺=正，

423

所以C正確.

因為|「制一|P段=|P周-(2a-|P用)=2儼用-4,

分析可得|PK|e[2-6,2+G],|P用-|PR|e[-2G,2G],

所以D正確.

故選:CD.

11.若過點尸(1,為最多可作出M〃wN)條直線與函數(shù)”x)=(x-l)e*的圖象相切，則

()

A.2+?<3

B.當〃=2時，2的值不唯一

C.而可能等于-4

D.當〃=1時，2的取值范圍是‘8,-鼻口網(wǎng)

【答案】ACD

【分析】由題設切點為(%,(x°-l)e"),進而得2=-”(/-2%+1),再構(gòu)造函數(shù)

g(x)=-ex(x2-2x+l),將問題轉(zhuǎn)化為y=g(x)與y=4的交點個數(shù)問題，再數(shù)形結(jié)合求

解即可.

【詳解】解：不妨設切點為5,(%-1)小),因為尸(x)=xe不

所以切線方程為y~^=x°e-(x-1),

所以(x?！猯)e""—2=xoe'"(x0—1),整理得2=—e"(x：—2x0+1),

所以令g(x)=—e'(x2—2x+l),則g(x)=—el(x_—1),

所以，令g'(x)=O得x=±l.

所以，當X<-1或X>1時，g'(x)<0,g(x)<0,當時，g'(x)>0,

4

因為，當x趨近于F時，g(x)趨近于0,g(-D=—,g(0)=7,g(D=O,當x趨近

e

于+<?時，g(X)趨近于7,

所以，函數(shù)g(x)的圖像大致如圖,

，4、1212

當”=3時，義€—一,0,所以4+〃<3,--<力?<0,<-4,故2〃可能等于-4,C

IeJee

正確：

當

當”=1時，Ae(―co,——)kj{0),顯然4+〃<3,故D正確；

e

綜上，2+n<3,A正確.

故選：ACD

12.在正方體ABCO-AZG。中，點E為線段BQ上的動點，則()

A.直線。E與直線AC所成角為定值B.點E到直線AB的距離為定值

C.三棱錐E-48。的體積為定值D.三棱錐￡一48。外接球的體積為定值

【答案】AC

【分析】A.易證AC_L平面DQ8B,判斷：B.由點E與R重合和與巴重合時判斷；C.由三

棱錐％判斷；D.由平面A8。，得到三棱錐E-48。外接球的球心

。在AG判斷.

【詳解】如圖所示:

A.因為ACJ.82AC，R。，又BDcD、D=D,所以AC,平面。。84，又DEu平面

平面RDB4，AC±DE,則直線DE與直線4c所成角為定值，故正確；

B.當點E與A重合時，點E到直線AB的距離夜°,當點E與4重合時，點E到直線

AB的距離。，故錯誤；

C.因為三棱錐/認8。=匕《初，且點A到面E8。的距離為定值，"ESD為定值，故體積

為定值，故正確；

D.易知AG，平面A田。，所以三棱錐E-A8。外接球的球心。在AG上，當點E移

動時;球心。的位置改變，則球的半徑R改變，所以外接球體積不為定值，故錯誤；

故選：AC

三、填空題

13.2022年北京冬奧會的某滑雪項目中有三個不同的運動員服務點，現(xiàn)需將10名志愿

者分配到這三個運動員服務點處，每處需要至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方

法一共有種.

【答案】22050

【分析】由題意可得分配到三個運動員服務點處的志愿者數(shù)目為2,4,4或3,3,4,

然后根據(jù)分類加法原理和分步乘法原理可求得結(jié)果

【詳解】根據(jù)題意得，這10名志愿者分配到三個運動員服務點處的志愿者數(shù)目為2,4,

4或3,3,4,

「204「4

所以不同的安排方法一共=22050,

A?

故答案為：22050

14.設a=1.946+2.066,若+則整數(shù)"的值為

【答案】129

【分析】依題意可得1.946+2.066=（2—0.06）"+（2+0.06）6,寫出二項式的展開式，即可

得到〃的近似值，即可得解;

【詳解】解：因為1.94,+2.06,=(2-0.06)6+(2+0.06)6

=2X(26+C>24X0.062+C^X22X0.064+C^X2°X0.066)

?2X(26+C^X24X0.062)=129.728,所以〃=129.

故答案為：129

15.德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學

史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》，在其年幼時，對

1+2+3+L+100的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后

對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)

/(x)=-^-=,設數(shù)列｛““｝滿足%=/(0)+/(_1)+八2)+…+/(七，+"l)(〃eN*),若

2+V2nnn

存在〃eN”使不等式n2+4n-2履“+2740成立，貝必的取值范圍是.

［答案］］「芋49、

【分析】根據(jù)題意先求/(x)+/(l-x),然后利用倒序相加法求凡，則由

1>/八一r4B1、+4〃+27(/2+1)~+2(〃+1)+24241、.

〃-+4A〃―2%%+27工0可得女之----------=-——-——-——-----=(〃+1)+——+2,求

Z7+1〃+1〃+1

24

出(〃+1)+—；+2的最小值即可求得人的取值范圍

2X

【詳解】因為=

2)+\/2

由z、2?2'-x2122、?、

所以/(冗)+/(I-X)=---產(chǎn)H;----p==---十H----7==---產(chǎn)H----產(chǎn)=1,

2'+>/22'-'+722*+應2+V2-2'2'+^22，+及

由=/(0)+/(-)+/(-)+??.+f(R+/(1)(〃eN*),

nnn

n—1/7—21

a“=/(D+/(-)+/(-)+-??+/F)+/(0),

nnn

n+1

所以2a“=〃+1,所以〃〃=-^―,

所以由"2+4〃-2如“+2740,得“2+4”一2h但+2740,

2

/+4〃-%(〃+1)+27W0,

/+4〃+27工k(n+1),

匚匚I、17+4〃+27(〃+1)~+2(〃+1)+2424

所以攵N----------=-——-----——----=(〃+1)+——+2,

H+1幾+1〃+1

令g(x)=(%+1)---r,(xeN")則當0<x<2>/6-1,gW遞減,當x>2^6一1時，g(x)

x+\

遞增,

因為8(4)=5+-r=-r公(3)=4+亍=10,

554

49

所以g(x)min=g(4)=不，

所以％咤49+2=］59，

-49、

即&的取值范圍是

「、

故答案為：歹49，”J

四、雙空題

16.如圖，一架飛機從A地飛往B地，兩地相距200km.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷

雨云層，從機場起飛以后，就沿與原來的飛行方向成。角的方向飛行，飛行到C地，再

沿與原來的飛行方向成45。角的方向繼續(xù)飛行60夜km到達終點，則4,C兩地之間的

距離為km,tanO=

a

【答案】20病y

【分析】由余弦定理求出AC,即可求出cosA,再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算

可得；

【詳解】解：由余弦定理得AC?=A4+BC'-ZAB-BCcosB

=2002+(60&『-2x200x60&cos45°=23200,

所以AC=20而km.由余弦定理得

2002+（20V58）2-（60V2）2

AB-+AC1-BC27

cosA=

2ABAC2x200x20758

則sin。=sinA=71-cos2A=~^=,故tan6=包0=2.

V58cos。7

3

故答案為：20\/58;—

五、解答題

17.已知函數(shù)〃x)=Asin(s+e)(A>0,ty>0,|e|<；),且〃x)圖象的相鄰兩條對稱

軸之間的距離為請從條件①、條件②、條件③中任意選擇兩個作為已知條件作答.

條件①："X）的最小值為-2；

條件②：的圖象的一個對稱中心為（普，。）;

條件③：的圖象經(jīng)過點（葛,-1）.

（1）求/（x）的解析式；

（2）在中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,A.,a=/（A）,求

周長的最大值.

TT

【答案】⑴/（x）=2sin（2x+?）

O

⑵2+2#+2貶

【分析】（1）若選①②，由①得A=2,再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱中心可求出*,即

可得解;

若選①③，由①得A=2,再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象經(jīng)過點（葛可求出即可得解;

若選②③，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱中心可求出根據(jù)正弦函數(shù)的圖象經(jīng)過點

手,-1）求出A,即可得解.

（2）根據(jù)a=求出。=2,再根據(jù)余弦定理得兒,再根據(jù)基本不等式

兒4（警）2,即可得解.

【詳解】（1）因為/（x）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為所以g=即7=萬，

所以。=?=竺=2,所以/(x)=Asin(2x+s),

T7t

、兀57t

若選①②，貝ijA=2,2X—+(p=k兀，keZ,即8=%兀---,ksZ,

126

TTTT

因為1夕1＜彳，所以9=:，

26

冗

所以f(x)=2sin(2x+z)；

6

若選①③，則A=2,2sin(2x—+^)=-1,gpsin(^+^)=-l,

632

mALII兀r-Lr、i7/r5413%..5%11%/口兀

因為1例＜大，所以_7_＜_^_+。＜-^-,所以丁+。=-得。=/，

2636366

TT

所以/(x)=2sin(2x+w)；

o

若選②③，2x區(qū)+夕=氏萬，kjZ,即。=女兀一型，keZ,

冗IT71

因為1例＜7，所以夕=/，此時/(*)=Asin(2x+w),

266

因為/(學)=-1,所以Asin(2x----1—)=-1,即Asin-----=—1,所以A=2,

6666

TT

所以/(x)=2sin(2x+w)

6

IT

(2)由(1)知，.f(x)=2sin(2x+：),

因為A=g，所以a=/(g)=2sin(W+m)=2,

o636

/Q

因為〃2=b2+C2-2bc-cosA，所以4=S+C)2-26C-26C^-,

(6+C)2-4

所以(2+百)A=3+C)2—4,即bc=

2+6

因為兒W(容兒當且僅當6=c時，取等號,

所以粵誓■'所以"CW2#+20,

所以4+6+CW10+46，即AABC周長的最大值為2+2#+2拒.

18.如圖，在五面體ABCDE中，△A8C是邊長為2的等邊三角形，四邊形88E為直

角梯形，DE//BC,ZBCD=9CP,CD=DE=\,AD=45.

(1)若平面AOEfl平面ABC=/,求證：DE///；

(2)若甌=兩，求平面ACF與平面仞￡所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

05a

31

【分析】(1)由線面平行的判定可得。￡//平面4BC,再由線面平行的性質(zhì)即可證結(jié)論.

(2)取8C的中點0,連接A。，E0,由已知及線面垂直判定有CD,平面ABC,進

而可得EO_L平面A8C,構(gòu)建空間直角坐標系并確定相關(guān)點坐標，求出面ACF、面AED

的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求二面角的余弦值.

【詳解】(1)由。E〃8C,DEa面ABC,8Cu面ABC,

所以。E//平面ABC,又面ADECl面ABC=/,￡>￡u平面A￡>E,

所以。E〃/.

(2)取BC的中點O,連接AO,EO.

由C￡)2+CA2=A￡)2,則COL4C,又CDLBC,AC^BC^C,

所以CD,平面ABC,

由CO//DE,CO=DE,則四邊形COED是平行四邊形，

所以EO//CD,則EO_L平面ABC.

如圖建立空間直角坐標系。-孫z，則A(>/3,0,0),￡>(0,1,1),￡(0,0,1),C(0,l,0),B(0,-1,0),

設平面ACF的法向量為說=(Xi，M，Z1),又AF=(-6,-/,g),4。=(-百,1,0),

—yfix,V.H—z.=0_

則’22，若X|=1,即,”=(1,6,3JJ).

-瓜1+必=0

設平面AEO的法向量為3=（々，必，Z2）,又荏=（-石,0,1）,詼=（0,-1,0）,

則卜用+了,若”1,即分=（1,0,如，

所以cos<疝E>=旭，平面ACF與平面ADE所成銳二面角的余弦值為曲.

3131

19.已知數(shù)列｛%｝滿足4=2,%=8,4,+2=4”“+|-3””.

⑴證明:數(shù)列｛--凡｝是等比數(shù)列;

（2）若舟=1I」2/,）\，求數(shù)列出的前〃項和

bgKl+%）/ogXl+an+2）

【答案】（1）證明見解析

(-1)"2

(2)7；=

5+2廣4

【分析】（1）由遞推關(guān)系式可得4+2-。向=3（“,出-4）,由等比數(shù)列定義可得結(jié)論;

（2）利用等比數(shù)列通項公式和累加法可求得死，由此可得

瓦=（T）"7一v+7一v，分別在〃為偶數(shù)和〃為奇數(shù)的情況下，利用裂項相消法

15+1）5+2））

和（=1+「以|求得結(jié)果，綜合兩種情況可得

【詳解】（1）由a“+2=4a“+|-3a“得：an+2-an+l=3（a?+1-a?）,又見-《=6,

，數(shù)列是以6為首項，3為公比的等比數(shù)列.

n|n

⑵由⑴得:a?tl-a?=6-3-=2-3,

3

則q-a,1=23-'，a“T-a”-2=2-3"2，??-2-a?-3=2-3"-,?2-?,=2-3',

各式作和得：a?-ax=2x（3+3?+…+3">2*3（；―；）-3"—3'

又q=2,

=(T)“W+66+5)=(-1)"3+6"+5)=([[

""=log；3"Fog；3"+2=(“+1)2(〃+2)2=(一)[6+1)2+(〃+2)2

當"為偶數(shù)時，

。＞("孫(4-丹…+-—舟)

，1+1]_11

1____]______1________11____2

當〃為奇數(shù)時，T”=1，+]-b“+]

(“+3)24(〃+2/("+3)25+2)「Z；

（-1）"

綜上所述：（=

（〃+2）一4

20.冰壺是2022年2月4日至2月20日在中國舉行的第24屆冬季奧運會的比賽項目

之一.冰壺比賽的場地如圖所示，其中左端（投擲線MN的左側(cè)）有一個發(fā)球區(qū)，運動

員在發(fā)球區(qū)邊沿的投擲線MN將冰壺擲出，使冰壺沿冰道滑行，冰道的右端有一圓形的

營壘，以場上冰壺最終靜止時距離營壘區(qū)圓心。的遠近決定勝負，甲、乙兩人進行投擲

冰壺比賽，規(guī)定冰壺的重心落在圓。中，得3分，冰壺的重心落在圓環(huán)A中，得2分,

冰壺的重心落在圓環(huán)8中，得1分，其余情況均得。分.已知甲、乙投擲冰壺的結(jié)果互

不影響，甲、乙得3分的概率分別為：，J；甲、乙得2分的概率分別為!■,；；甲、

34512

乙得1分的概率分別為9，7

56

M

⑴求甲、乙兩人所得分數(shù)相同的概率;

(2)設甲、乙兩人所得的分數(shù)之和為X,求X的分布列和期望.

【答案】嗚

(2)分布列見解析；期望為]47

【分析】(1)求出甲乙二人都得0分的概率，然后由兩人同時得0分、1分、2分、3

分計算概率并相加即可;

(2)由題意X可能取值為0,1,2,3,4,5,6,分別計算出概率得分布列，由期望

公式計算期望.

1211

【詳解】⑴由題意知甲得。分的概率為3一二一^二話,

乙得o分的概率為1一:一!一：=」，

42612

1Io]it11OQ

所以甲、乙兩人所得分數(shù)相同的概率為含.

(2)X可能取值為0,1,2,3,4,5,6,

則P(X=0)=—X—=」-,

'71512180

p(X=l)=-x-+-x—=—

'715651236f

n/AZ…1111211

'71525651210

D/v1111211119

'7154525631290

11211111

PD(/Xv=4)=-X-4--X-+-X-=—,

'754523636

n/v-21114

P(X=5)=-x-+-x-=—,

'7543215

P(X=6)=—x—=—,

'73412

所以，隨機變量X的分布列為:

X0123456

111191141

P

?80361090361512

c111cle19)11,4=147

以E(X)=0x---F1xF2xF3xF4xF5xF6x—=—.

'718036109036151212

21.直線/：y=履+，交拋物線V=4)，于A,B兩點，過A,5作拋物線的兩條切線，相

交于點C,點C在直線y=-3上.

(1)求證：直線/恒過定點7,并求出點T坐標；

(2)以T為圓心的圓交拋物線于PQMN四點，求四邊形PQMN面積的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析，丁(0,3)；

C32行

⑵1°F?

【分析】(1)設4(玉,乂)，8(%,%),C(八一3),利用點斜式寫出直線AC,BC的方

程，由C在兩直線上，即可知直線4B的方程，進而確定定點.

222

(2)聯(lián)立拋物線/=”和圓T：x+(y-3)=r,由題設及一元二次方程根的個數(shù)求

參數(shù)r的范圍，由邑W加_卬結(jié)合韋達定理得到品刎關(guān)于r的表達式,

構(gòu)造函數(shù)并利用導數(shù)研究區(qū)間單調(diào)性，進而求范圍.

【詳解】⑴設A&,y),8(孫％)，C(m,-3),貝蛛”c=5，小吟,

直線AC為：y-y=5(x-xJ=y=掾-y,同理直線BC為：>=掾_%,

‘-3="|

2

把C(m,-3)代入直線AC,BC得:,

「3=罟-M

.?.A(x“J,砍孫％)都滿足直線方程一3=岸7,貝打=a+3為直線A3的方程,

故直線/恒過定點7(0,3).

如圖，設圓T的半徑為廠，加(芯,乂)，N(x2,y2),Q(f,yJ,尸(一々,必)，

222

把V=4y代入圓T：x+(y-3)=r,整理得V-2y+9-/=。，

A=4-4(9-r2)>0

由題意知：關(guān)于y的一元二次方程有兩個不等實根，則*%+必=2>0,可得

=9-r>0

2&<r<3.

SRQMN」加；沖［加一必|=2(豉+加)|%-必|=21乂+%+27^?|%一必|

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