二重積分及其性質(zhì)

關(guān)于二重積分及其性質(zhì)第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二二重積分及其性質(zhì)二重積分引入性質(zhì)定義幾何意義線性性區(qū)域可拆分性保序性積分中值定理第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二設(shè)有一立體，它的底是xoy平面上的有界閉區(qū)域D

它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面.頂是由二元非負(fù)連續(xù)函數(shù)表示的曲面z=f(x,y)

這種立體稱為D上的曲頂柱體曲頂拄面的體積第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二對于平頂柱體，即f(x,y)≡h，這里h是大于0的常數(shù)，有體積=底面積×高

但曲頂柱體的高f(x,y)在區(qū)域D上是變量，當(dāng)點(x,y)在區(qū)域D上變化時，高f(x,y)不斷變化，因而曲頂柱體的體積不能用上面的公式來計算.但我們可以仿照求曲邊梯形面積的思路.分析第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二將D劃分為n個小閉區(qū)域：以每個小區(qū)域為底，以它們的邊界曲線為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，形成許多小曲頂柱體.原曲頂柱體被分割成n個小曲頂柱體.曲頂柱體體積的近似等于n個小曲頂柱體的體積之和例題第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二步驟如下：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二每個小曲頂柱體可以近似地看成是一個平頂柱體例題第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二區(qū)域D分割得越細(xì)密，小曲頂柱體的體積和越接近體積V.為了得到V的精確值，令n個小區(qū)域的最大直徑λ→0，則小曲頂柱體的體積和的極限就是曲頂柱體的體積V，即例題第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二二重積分的定義第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二如果當(dāng)這些小區(qū)域的直徑的最大值趨于0時，上式的極限總存在，則稱函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上可積，此極限值稱為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分.

例題第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二注1要從定義來判定一個二重積分是否存在是困難的.為應(yīng)用方便，我們介紹一個與定積分存在定理類似的結(jié)論.定理1

在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的函數(shù)必在D上可積.特別，在有界閉區(qū)域D上有定義的初等函數(shù)必在D上可積.因此，以后我們一般不就可積性問題展開討論.例題第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二例題第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二二重積分的幾何意義第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)1被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號外，即性質(zhì)2函數(shù)和（差）的二重積分等于各函數(shù)二重積分的和（差），即性質(zhì)3如果區(qū)域D可以劃分為D1與D2，其中D1與D2除邊界外無公共點，則.二重積分的性質(zhì)第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二推論

性質(zhì)5設(shè)M和m分別是函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上的最大值和最小值，為區(qū)域D的面積，則例題

性質(zhì)4如果在區(qū)域D上有，則第15頁，共17頁，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)6（二重積分中值定理）設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，為區(qū)域的面積，則