等比數(shù)列及其前n項和（專題測試）（ 含答案解析 ）高一數(shù)學 下冊期末考點高效突破 （人教A版）

等比數(shù)列及其前n項和（專題測試）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2020?黑龍江模擬）設(shè)等比數(shù)列{an}的前6項和為6，且公比q＝2，則a1＝（）A． B． C． D．【解析】解：由題意可得，即．故選：A．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2020?昆明一模）在正項等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，a3＝a2+2，Sn為其前n項的和，則＝（）A．6 B．9 C．12 D．15【解析】解：設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q，則q＞0．∵a1＝1，a3＝a2+2，∴q2＝q+2?q＝2．∴＝＝1+q3＝9，故選：B．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的基本量的運算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2020?江西模擬）在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，，則a6的值為（）A． B． C． D．【解析】解：設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q，由，所以．故選：C．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的基本量的運算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2019秋?惠州月考）已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，函數(shù)y＝x2﹣5x+3的兩個零點是a1、a5，則a3＝（）A．1 B．﹣1 C． D．【解析】角：由韋達定理可知a1+a5＝5，a1?a5＝3，則a1＞0，a5＞0，從而a3＞0，且，故選：D．【點睛】本題考查等比數(shù)列中第3項的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（2019秋?南陽期末）在數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1﹣2an＝0，則a5＝（）A．16 B．32 C．64 D．128【解析】解：在數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1﹣2an＝0，即an+1＝2an，則數(shù)列{an}以a1＝1，公比為2的等比數(shù)列，則a5＝1×24＝16，故選：A．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的定義和通項公式，屬于基礎(chǔ)題．6．（2020?天津模擬）《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長四尺，莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天長高四尺，莞第一天長高一尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的兩倍．請問第幾天，莞的長度是蒲的長度的4倍（）A．4天 B．5天 C．6天 D．7天【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)蒲的長度組成數(shù)列{an}，莞的長度組成數(shù)列{bn}，第t天莞的長度是蒲的長度的4倍，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列，其首項a1＝4，公比為，其前n項和為An，則An＝＝8×（1﹣），數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，其首項b1＝1，公比為2，其前n項和為Bn，則Bn＝＝2n﹣1，若第t天莞的長度是蒲的長度的4倍，則有4×[8×（1﹣）]＝2t﹣1；解可得：t＝5，故選：B．【點睛】本題考查等比數(shù)列的前n項和公式，涉及等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．7．（2020?長春二模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，，則Sn＝（）A．2n﹣1+1 B．n?2n C．3n﹣1 D．2n?3n﹣1【解析】解：法一：排除法：a2＝6，a3＝16，驗證知B對．法二：∵，∴，∴數(shù)列{}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，．故選：B．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義與通項公式的求解，an與Sn的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．8．（2020?四川模擬）若不相等的非零實數(shù)x，y，z成等差數(shù)列，且x，z，y成等比數(shù)列，則＝（）A． B．﹣2 C．2 D．【解析】解：不相等的非零實數(shù)x，y，z成等差數(shù)列，且x，z，y成等比數(shù)列，可得x+z＝2y，z2＝xy，消去z可得（x﹣2y）2＝xy，化為x2﹣5xy+4y2＝0，解得x＝4y（x＝y(tǒng)舍去），即有z＝﹣2y，則＝＝﹣，故選：A．【點睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項性質(zhì)，考查方程思想和運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2020春?上饒月考）已知正項等比數(shù)列{an}滿足a7＝2a6+3a5，若存在兩項am，an，使得，則的最小值為（）A．16 B． C．5 D．4【解析】解：正項等比數(shù)列{an}滿足a7＝2a6+3a5，可得a1q6＝2a1q5+3a1q4，可得q2＝2q+3，解得q＝3（q＝﹣1舍去），存在兩項am，an，使得＝a22，所以m+n＝4，則＝（）（m+n）＝≥＝4，當且僅當n＝3m＝3時，取等號，所以的最小值為4．故選：D．【點睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．10．（2020?香坊區(qū)校級二模）有限數(shù)列A＝{a1，a2，…，an}，Sn為其前n項和，定義為A的“凱森和”，如有504項的數(shù)列a1，a2，…，a504的“凱森和”為2020，則有505項的數(shù)列2，a1，a2，…，a504的“凱森和”為（）A．2014 B．2016 C．2018 D．2020【解析】解：由題意，可知對于504項的數(shù)列a1，a2，…，a504，根據(jù)“凱森和”的定義，有＝＝2020，則a1+（a1+a2）…+（a1+a2+…+an）＝2020×504，對于505項的數(shù)列2，a1，a2，…，a504，根據(jù)“凱森和”的定義，有＝＝＝＝2018．故選：C．【點睛】本題主要考查數(shù)列的新定義的理解及運用的問題．考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，整體思想，分組求和法的應(yīng)用，以及邏輯思維能力和數(shù)學運算能力．本題屬中檔題．二．填空題（共4小題）11．（2020?浙江模擬）在數(shù)列{an}中，Sn為它的前n項和，已知a2＝1，a3＝6，且數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列，則an＝3n﹣1﹣nSn＝．【解析】解：∵a2＝1，a3＝6，且數(shù)列{an+n}是等比數(shù)列，∴a2+2＝3，a3+3＝9，q＝3，由等比數(shù)列的通項公式可得，an+n＝3×3n﹣2＝3n﹣1，所以，，＝＝．故答案為：3n﹣1﹣n，．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及求和公式及分組求和方法的應(yīng)用，屬于中檔試題．12．（2020?青浦區(qū)一模）我國古代莊周所著的《莊子?天下篇》中引用過一句話：“一尺之棰．日取其半，萬世不竭．”其含義是：一根尺長的木棒，每天截下其一半，這樣的過程可以無限地進行下去，若把“一尺之棰”的長度記為1個單位，則第n天“日取其半”后，記木棒剩下部分的長度為an，則an＝．【解析】解：依題意，第1天“日取其半”后a1＝；第2天“日取其半”后a2＝＝；第3天“日取其半”后a3＝＝；、……∴第n天“日取其半”后an＝，故答案為：．【點睛】本題考查了數(shù)列的通項公式，考查歸納法求數(shù)列的通項公式，考查歸納推理的能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（2020?湘潭三模）已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列．令bn＝，則數(shù)列{bn}的前50項和T50＝．【解析】解：因為S1＝a1，，，由題意得，解得a1＝1，所以an＝2n﹣1，則，則．故答案為：．【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式與求和公式、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．14．（2020?鹽城三模）已知數(shù)列{an}、{bn}滿足bn＝log2an，且數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．若b3＝2，b10＝9，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n﹣1．【解析】解：由題意，設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則，解得，∴bn＝0+1?（n﹣1）＝n﹣1，n∈N*，∵bn＝log2an，即log2an＝bn＝n﹣1，∴an＝2n﹣1＝1?2n﹣1，n∈N*，∴數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴Sn＝＝2n﹣1．故答案為：2n﹣1．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的計算，判別，以及等比數(shù)列的求和問題．考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，方程思想，邏輯思維能力和數(shù)學運算能力．本題屬中檔題．三．解答題（共3小題）15．（2020?日照一模）在①a2+a3＝a5﹣b1，②a2?a3＝2a7，③S3＝15這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，前n項和為Sn，若_______，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn+1＝nbn﹣bn+1．（1）求{an}的通項公式；（2）求{bn}的前n項和Tn．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【解析】解：若選①：（1）∵anbn+1＝nbn﹣bn+1，∴當n＝1時，a1b2＝b1﹣b2，∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2．又∵a2+a3＝a5﹣b1，∴d＝3，∴an＝3n﹣1；（2）由（1）知：（3n﹣1）bn+1＝nbn﹣bn+1，即3nbn+1＝nbn，∴b．又b1＝1，所以數(shù)列{bn}是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，∴b，Tn＝＝．若選②：（1）∵anbn+1＝nbn﹣bn+1，∴當n＝1時，a1b2＝b1﹣b2，∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2．又∵a2?a3＝2a7，∴（2+d）（2+2d）＝2（2+6d），∵d＞0，∴d＝3，∴an＝3n﹣1；（2）由（1）知：（3n﹣1）bn+1＝nbn﹣bn+1，即3nbn+1＝nbn，∴b．又b1＝1，所以數(shù)列{bn}是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，∴b，Tn＝＝．若選③：（1）∵anbn+1＝nbn﹣bn+1，∴當n＝1時，a1b2＝b1﹣b2，∵b1＝1，b2＝，∴a1＝2．又∵S3＝15，∴d＝3，∴an＝3n﹣1；（2）由（1）知：（3n﹣1）bn+1＝nbn﹣bn+1，即3nbn+1＝nbn，∴b．又b1＝1，所以數(shù)列{bn}是以1為首項，以為公比的等比數(shù)列，∴b，Tn＝＝．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式的求法及公式法求前n項和，屬于基礎(chǔ)題．16．（2019春?博望區(qū)校級期中）如圖，在邊長為l的等邊△ABC中，圓O1為△ABC的內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，…，圓On+1與圓On外切，且與AB，BC相切，如此無限繼續(xù)下去．記圓On的面積為an（n∈N）．（Ⅰ）證明{an}是等比數(shù)列；（Ⅱ）求a1+a2+…+an的值．【解析】解：（Ⅰ）證明：記a1為圓On的半徑，則a1＝tan30°＝，又＝sin30°＝，∴an＝an﹣1（n≥2），所以{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列；（Ⅱ）由（Ⅰ）得an＝×（）n﹣1＝，所以a1+a2+…+an＝＝[1﹣（）n]．【點睛】本題主要考查由實際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題的建模能力及等比數(shù)列通項公式、前n項和的求法，屬于基礎(chǔ)題．17．（2020?羅湖區(qū)校級模擬）已知遞增等差數(shù)列{an}滿足a1+a5＝10，a2?a4＝21，數(shù)列{bn}滿足2log2bn＝an﹣1，n∈N*．（Ⅰ）求{bn}的前n項和Sn；（Ⅱ）若Tn＝nb1+（n﹣1）b2+……+bn，求數(shù)列{Tn}的通項公式．【解析】解：（Ⅰ）由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d（d＞0），則，解得（舍去），或，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∵2log2bn＝an﹣1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴l(xiāng)og2bn＝n﹣1，即bn＝2n﹣1＝1?2n﹣1，n∈N*．故數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公比的