立體幾何的折疊與最值

第二講:立體幾何中的折疊、最值、探索性問題1立體幾何中的折疊問題例1：如圖，已知矩形中，，，將矩形沿對角線把折起，使移到點，且在平面上的射影恰好在上.（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）求二面角的余弦值.2立體幾何中的最值問題例2：正的邊長為，沿的平行線折疊，使平面平面，求四棱錐的棱取得最小值時，四棱錐的體積.3立體幾何中的探索性問題例3如圖，在直三棱柱中，底面△為等腰直角三角形，，為棱上一點，且平面⊥平面.(Ⅰ)求證：為棱的中點；（Ⅱ）為何值時，二面角的平面角為.例4（如圖1）在平面四邊形中，為中點，，，且，現(xiàn)沿折起使，得到立體圖形（如圖2），又B為平面ADC內(nèi)一點，并且ABCD為正方形，設(shè)F，G，H分別為PB，EB，PC的中點.（1）求三棱錐的體積；（2）在線段PC上是否存在一點M，使直線與直線所成角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.練習(xí)：1.某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)xy最大時，該幾何體的體積為（）A． B． C． D．2.棱長都相等的一個正四面體和一個正八面體，把它們拼起來，使面重合，則所得多面體是（）A．七面體B．八面體C．九面體D．十面體3.對兩條不相交的空間直線a與b,必存在平面,使得()A.a,bB.a,ba,bD.a,b4.已知在半徑為4的球面上有A、B、C、D四個點，且AB=CD=4，則四面體ABCD體積最大值為（）A．eq\f(2\r(3),3)B．eq\f(4\r(3),3)C．4eq\r(3)D．eq\f(32\r(3),3)5.將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則這個球的表面積為（）A．2 B．4 C．8 D．166.平面α∥平面β，點A,C∈α,B,D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是（） A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB與CD相交 D．A,B,C,D四點共面7.在正方體中，是棱的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點，且∥平面，記與平面所成的角為，下列說法錯誤的是（）A.點的軌跡是一條線段B.與不可能平行C.與是異面直線D.8.某幾何體的一條棱長為eq\r(7)，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為eq\r(6)的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a＋b的最大值為()A.2eq\r(2)B.2eq\r(3)C.4D.2eq\r(5)9.已知二面角--l--為600,動點P、Q分別在、內(nèi)，P到的距離為eq\r(3),Q到的距離為2eq\r(3),則PQ兩點之間距離的最小值為()A.1B.C.D.10.在單位正方體的面對角線上存在一點P使得最短，則的最小值．11.在正方形中，是的中點，是側(cè)面內(nèi)的動點且直線將翻折成，使平面.（Ⅰ）求二面角的余弦值；（Ⅱ）點分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長.參考答案：例1：如圖，已知矩形中，，，將矩形沿對角線把折起，使移到點，且在平面上的射影恰好在上.（1）求證：；（2）求證：平面平面；（3）求二面角的余弦值.例２正的邊長為，沿的平行線折疊，使平面平面，求四棱錐的棱取得最小值時，四棱錐的體積.即當(dāng)時，例3【湖北省八校聯(lián)考】如圖，在直三棱柱中，底面△為等腰直角三角形，，為棱上一點，且平面⊥平面.(Ⅰ)求證：為棱的中點；（Ⅱ）為何值時，二面角的平面角為.例4【江西省2022屆新課程高三第三次適應(yīng)性測試】（如圖1）在平面四邊形中，為中點，，，且，現(xiàn)沿折起使，得到立體圖形（如圖2），又B為平面ADC內(nèi)一點，并且ABCD為正方形，設(shè)F，G，H分