新教材人教b版必修第三冊(cè)8.1.1向量數(shù)量積的概念8.1.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律作業(yè)

第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換向量的數(shù)量積向量數(shù)量積的概念向量數(shù)量積的運(yùn)算律基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一向量數(shù)量積的運(yùn)算1.若|a|=2,|b|=12,a與b的夾角為60°,則a·b=() B.12 D.2.在Rt△ABC中,C=90°,AC=4,則AB·AC=() 3.已知向量OA⊥AB,|OA|=3,則OA·OB=() 題組二向量的投影4.已知|a|=3,|b|=5,|a+b|=7,則a在b上的投影的數(shù)量為()12 C.35.已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為45°,若c=a+b,d=a-b,則c在d上的投影的數(shù)量為()A.55 556.已知向量a,b,若a在b上的投影的數(shù)量為3,|b|=2,則a·b=.

7.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,(a-b)⊥a,求向量b在向量a上的投影的數(shù)量.題組三求向量的模8.設(shè)向量a,b滿足|a|=|b|=1,a·b=-12,則|a+2b|=(A.2 B.3 C.5 D.79.在平行四邊形ABCD中,若AD=2,AB=3,則|AC|2+|BD|2的值是() 10.已知平面向量a,b滿足|a+b|=1,|a-b|=x,a·b=-38x,則x=(A.3 C.5 11.已知向量a,b的夾角為30°,且|a|=1,|2a-b|=13,則|b|=.

題組四向量的夾角與向量垂直12.若a·b<0,則a與b的夾角θ的取值范圍是()A.0°≤θ<90° B.90°≤θ<180°C.90°<θ≤180° D.90°<θ<180°13.已知|a|=2,|b|=3,|a+b|=7,則向量a與b的夾角為()A.45° B.60° C.135° D.120°14.已知|a|=1,|b|=2,且a⊥(a-b),則向量a與b的夾角為()A.π6 B.π4 C.π315.已知平面向量a與b的夾角為120°,且|a|=2,|b|=4,若(ma+b)⊥a,則實(shí)數(shù)m=.

16.正方形ABCD中,E為BC的中點(diǎn),向量AE,BD的夾角為θ,則cosθ=.

題組五數(shù)量積的簡(jiǎn)單應(yīng)用17.在△ABC中,AB=a,BC=b,且a·b>0,則△ABC是()A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等腰三角形18.若四邊形ABCD滿足AB+CD=0,(AB-AD)·AC=0,則該四邊形一定是()A.菱形 B.矩形C.正方形 D.直角梯形能力提升練一、單項(xiàng)選擇題1.(疑難2,★★☆)若AB·BC+AB2=0,則△ABC為(A.直角三角形 B.鈍角三角形C.銳角三角形 D.等邊三角形2.(疑難2,★★☆)若非零向量a,b滿足|a|=3|b|,且(a-b)⊥(a+2b),則a與b的夾角的余弦值為()A.63 B.33 63.(2019山東煙臺(tái)高三上期中,★★☆)已知邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC,D為AB的中點(diǎn),E是BC邊上一點(diǎn),若EC=2BE,則AE·CD=()A.14 14 C.34.(★★☆)在△ABC中,若BC=8,BC邊上的中線長(zhǎng)為3,則AB·AC=() 5.(疑難1,★★☆)設(shè)向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,且b⊥(a+b),則向量b在向量a+2b上的投影的數(shù)量為() 12 D.6.(疑難1,★★☆)已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC和點(diǎn)D在同一平面內(nèi),若3BC+DC=0,則AB·AD=() 7.(2018安徽蕪湖高三模擬,★★★)如圖,AB為圓O的一條弦,且AB=4,則OA·AB=() 二、多項(xiàng)選擇題8.(疑難1,★★☆)設(shè)a,b,c是任意的非零向量,則下列結(jié)論不正確的是()·a=0 B.(a·b)·c=a·(b·c)C.a·b=0?a⊥b D.(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|29.(疑難2,★★☆)在△ABC中,下列結(jié)論正確的是()A.AB-AC=BCB.AB·BC<|AB|·|BC|C.若(AB+AC)·(AB-AC)=0,則△ABC為等腰三角形D.若AC·AB>0,則△ABC為銳角三角形三、填空題10.(★★★)在邊長(zhǎng)為23的等邊三角形ABC中,點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心,則OA·(OB+OC)=.

四、解答題11.(疑難1、2,★★☆)已知向量a與b的夾角為120°,且|a|=2,|b|=4.(1)求|a+b|,|4a-2b|;(2)當(dāng)k(k∈R)為何值時(shí),(a+2b)⊥(ka-b)?12.(★★☆)如圖,在△OAB中,點(diǎn)P為直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足AP=λAB.(1)若λ=13,用向量OA,OB表示OP(2)若|OA|=4,|OB|=3,且∠AOB=60°,請(qǐng)問(wèn)λ取何值時(shí)OP⊥AB?答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.B∵|a|=2,|b|=12,a與b的夾角為60°,∴a·b=|a||b|cos60°=2×12×12=12.D因?yàn)镃=90°,所以cosA=|AC||AB|,所以AB·AC=|AB||AC|cosA=|AB|·|AC|·|AC|3.A因?yàn)镺A⊥AB,所以O(shè)A·AB=0,所以O(shè)A·OB=OA·(OA+AB)=OA2+OA·AB=OA4.C由題意可得(a+b)2=a2+b2+2a·b=9+25+2a·b=49,則a·b=152設(shè)向量a,b的夾角為θ,則cosθ=a·b|a||因此a在b上的投影的數(shù)量為|a|cosθ=3×12=32.5.D由題意得a·b=1×2×cos45°=1,|d|=(a-b)2=a2+b2-2a·b=1,c·d=a6.答案6解析由題意可得|a|cos<a,b>=3,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=6,故答案為6.7.解析設(shè)向量a,b的夾角為θ,∵(a-b)⊥a,∴(a-b)·a=a2-a·b=0,∴a·b=a2=1,∴向量b在向量a上的投影的數(shù)量為|b|cosθ=a·8.B∵|a|=|b|=1,a·b=-12∴|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=1-2+4=3,∴|a+2b|=3,故選B.A因?yàn)锳C=AB+AD,BD=AD-AB,所以|AC|2+|BD|2=(AB+AD)2+(AD-AB)2=2(AB2+AD2)=2×(32+22)=26,10.B|a+b|2=a2+2a·b+b2=1,|a-b|2=a2-2a·b+b2=x2,兩式相減得4a·b=1-x2=-32x,解得x=2,負(fù)值舍去11.答案33解析∵<a,b>=30°,|a|=1,|2a-b|=13,∴(2a-b)2=4a2-4a·b+b2=4a2-4·|a|·|b|·cos30°+b2=4-23|b|+|b|2=13,解得|b|=33(負(fù)值舍去),故答案為33.12.C由a·b=|a|·|b|·cosθ<0知cosθ<0,故夾角θ的取值范圍是90°<θ≤180°.13.D由|a+b|=7,兩邊平方得a2+2a·b+b2=7,a·b=7-設(shè)向量a與b的夾角為θ(0°≤θ≤180°),則cosθ=a·b|a|·|b|14.B由題意得a·(a-b)=|a|2-a·b=0,因?yàn)閨a|=1,|b|=2,所以1-1×2×cos<a,b>=0,解得cos<a,b>=22因?yàn)?lt;a,b>∈[0,π],所以<a,b>=π4故選B.15.答案1解析∵向量a與b的夾角為120°,且|a|=2,|b|=4,∴a·b=|a||b|cos120°=2×4×-12=-4.又(ma+b)⊥a,∴(ma+b)·a=m|a|2+a·b=4m-4=0,解得m=1.16.答案-10解析設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,則|AE|=52a,|BD|=2a,又AE·BD=AB+12AD·(AD-AB)=12AD2-AB2+12AD·AB=-12a2,17.C因?yàn)閍·b>0,所以AB·BC>0,所以BA·BC<0.因?yàn)閨a|>0,|b|>0,所以cosB<0,所以B為鈍角,所以△ABC是鈍角三角形.無(wú)法判斷其是不是等腰三角形,故選C.18.A因?yàn)锳B+CD=0,所以AB=DC,所以四邊形ABCD為平行四邊形.又因?yàn)?AB-AD)·AC=0,所以DB·AC=0,即DB⊥AC,所以平行四邊形ABCD為菱形.能力提升練一、單項(xiàng)選擇題1.A∵AB·BC+AB2=AB·(BC+AB)=AB·AC=0,∴AB⊥AC,∴∠BAC=90°,∴△ABC為直角三角形2.D設(shè)a與b的夾角為θ,∵(a-b)⊥(a+2b),∴(a-b)·(a+2b)=a2-2b2+|a||b|cosθ=0.∵|a|=3|b|,∴cosθ=-a2-2b2|a3.B如圖,∵EC=2BE,∴AE=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC,CD=AD-AC∴AE·CD=23AB=13|AB|2-12AB·AC-13=13×12-12×1×1×12-13×1故選B.4.A在△ABC中,設(shè)BC邊的中點(diǎn)為D,則DB=-DC.由題意知|DC|=4,|AD|=3,則AB·AC=(AD+DB)·(AD+DC)=(AD-DC)·(AD+DC)=AD2-DC2=9-16=-7.5.D∵b⊥(a+b),∴b·(a+b)=a·b+b2=0,∴a·b=-b2=-1.∴b·(a+2b)=a·b+2b2=1,|a+2b|=a2∴向量b在向量a+2b上的投影的數(shù)量為b·(a+2b6.C由3BC+DC=0得DC=-3BC,所以CD=3BC,AD=AC+CD=AC+3BC,所以AB·AD=AB·(AC+3BC)=AB·AC+3AB·BC=2×2×cosπ3+3×2×2×cos2π37.D設(shè)AB的中點(diǎn)為M,連接OM,則OM⊥AB,則OA·AB=2AM·OA=2|AM|·|OA|·cos(π-∠OAB)=-2×2·|AO|·cos∠OAB=-4|AM|=-8.故選D.二、多項(xiàng)選擇題8.AB∵0·a=0,∴A中結(jié)論錯(cuò)誤;向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,∴B中結(jié)論錯(cuò)誤;當(dāng)a·b=0時(shí),a與b的夾角為90°,即a⊥b,∴C中結(jié)論正確;易知D中結(jié)論正確.故選AB.9.BC對(duì)于A,AB-AC=CB,故A中結(jié)論錯(cuò)誤;對(duì)于B,設(shè)θ為向量AB與BC的夾角,因?yàn)锳B·BC=|AB|·|BC|·cosθ,而cosθ<1,故AB·BC<|AB|·|BC|,故B中結(jié)論正確;對(duì)于C,(AB+AC)·(AB-AC)=AB2-AC2=0,故|AB|=|AC|,所以△ABC為等腰三角形,故C對(duì)于D,取A=B=π6,C=2π3,滿足AC·AB=|AC||AB|cosA>0,但△ABC為鈍角三角形,故D中結(jié)論錯(cuò)誤三、填空題10.答案-4解析如圖,在等邊三角形ABC中,O是等邊三角形ABC外接圓的圓心,則O也是等邊三角形ABC的重心.設(shè)AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D,則AD垂直平分BC,因?yàn)槿切蜛BC的邊長(zhǎng)為23,所以AD=3,圓的半徑OA=2,故OB+OC=2OD=-OA,所以O(shè)A·(OB+OC)=-OA2=-4.四、解答題11.解析由已知得a·b=2×4×-1(1)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=4+2×(-4)+16=12,∴|a+b|=23.∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×4-16×(-4)+4×16=192,∴|4a-2b|=83.(2)若(a+2b)⊥(ka-b),則(a+2b)·(ka-b)=0,∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即4k-4×(2k-1