新教材人教b版選擇性必修第三冊5.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和課件

5.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和第五章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程.(邏輯推理)2.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及性質(zhì),并能解決相應(yīng)問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.熟練掌握等差數(shù)列的五個量a1,d,n,an,Sn的關(guān)系,能夠由其中的三個求另外的兩個.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)課前篇自主預(yù)習(xí)【情境導(dǎo)入】泰姫陵坐落于印度古都阿格拉,是17世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙·賈汗為紀(jì)念其愛妃所建,被評為世界新七大奇跡之一.它的主體建筑由純白大理石砌建而成,陵寢以寶石鑲飾,圖案之細(xì)致令人叫絕.傳說陵寢中有一個三角形圖案,以相同大小的圓寶石鑲飾而成(如圖),奢靡程度,可見一斑.如果這個三角形圖案中有100層圓寶石,你知道這個圖案一共用了多少顆圓寶石嗎?……【知識梳理】

微練習(xí)(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=-1,a10=11,則S10=(

)(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=-5,d=3,則S8=(

)答案

(1)C

(2)A微拓展等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)性質(zhì)1:等差數(shù)列的依次k項(xiàng)之和仍然是等差數(shù)列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…成等差數(shù)列,且公差為k2d.二、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系微思考從函數(shù)的角度認(rèn)識等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,你有何新發(fā)現(xiàn)?課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的直接應(yīng)用例1在等差數(shù)列{an}中,(1)已知S8=24,S12=84,求a1和d;(2)已知a6=20,S5=10,求a8和S8;(3)已知a16=3,求S31.反思感悟

等差數(shù)列的求解策略在等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1與公差d是兩個最基本的元素,有關(guān)等差數(shù)列的問題,均可化成有關(guān)a1,d的方程或方程組求解.解題過程中,要注意:①選擇適當(dāng)?shù)墓?②合理利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì).變式訓(xùn)練1設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S4=14,S10-S7=30,則S9=

.

答案

54探究二等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用例2(1)等差數(shù)列{an}中共有3m項(xiàng),前2m項(xiàng)的和為100,后2m項(xiàng)的和為200,求中間m項(xiàng)的和.(2)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列,奇數(shù)項(xiàng)之和為44,偶數(shù)項(xiàng)之和為33,求這個數(shù)列的中間項(xiàng)及項(xiàng)數(shù).思路分析本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.(方法二)∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,∴2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m).又S2m=100,S3m-Sm=200,(2)設(shè)等差數(shù)列{an}共有(2n+1)項(xiàng),則奇數(shù)項(xiàng)有(n+1)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)有n項(xiàng),中間項(xiàng)是第(n+1)項(xiàng),即an+1.∴2n+1=7.又S奇=(n+1)an+1=44,∴an+1=11.故這個數(shù)列的中間項(xiàng)為11,共有7項(xiàng).反思感悟

利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)簡化計(jì)算(1)在解決等差數(shù)列問題時,先利用已知條件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有時運(yùn)算量大些).(2)如果利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)或利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì),可簡化運(yùn)算,為最優(yōu)解法.(3)設(shè)而不求,整體代換也是很好的解題方法.變式訓(xùn)練2(1)已知某等差數(shù)列{an}共有10項(xiàng),其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公差為(

)A.5 B.4 (2)等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為(

)A.130 B.170 答案

(1)C

(2)C(2)由Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,且Sm=30,S2m=100,得2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m,即2(100-30)=30+S3m-100,解得S3m=210.

素養(yǎng)形成等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問題典例

在等差數(shù)列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.名師點(diǎn)撥本題可用二次函數(shù)求最值或由通項(xiàng)公式求n,使an≥0,an+1<0或利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出大于或等于零的項(xiàng).(方法二)先求出d=-2(同方法一).∵a1=25>0,∴當(dāng)n=13時,Sn有最大值169.(方法三)先求出d=-2(同方法一).由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,又a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0.∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0.故n=13時,Sn有最大值169.(方法四)先求出d=-2(同方法一),則Sn的圖像如圖所示,由S17=S9知,圖像的對稱軸故當(dāng)n=13時,Sn取得最大值169.方法點(diǎn)睛

解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和最大(最小)值問題的常用方法有:(1)二次函數(shù)法:由于

是關(guān)于n的二次式,因此可用二次函數(shù)的最值來確定Sn的最值,但要注意這里的n∈N+.(2)圖像法:可利用二次函數(shù)圖像的對稱性來確定n的值,使Sn達(dá)到最大(或最小).(3)通項(xiàng)法:由于Sn=Sn-1+an,所以當(dāng)an≥0時,Sn≥Sn-1;當(dāng)an≤0時,Sn≤Sn-1,因此當(dāng)a1>0,且d<0時,使an≥0的最大的n的值,使Sn最大;當(dāng)a1<0,d>0時,滿足an≤0的最大的n的值,使Sn最小.變式訓(xùn)練在等差數(shù)列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,則使{an}的前n項(xiàng)和Sn最大,n的值為(

)或或7答案

C解析

由已知得a3>0,a9<0,因此|a3|=|a9|可化為a3+a9=0,即a6=0,∴S5=S6,故使{an}的前n項(xiàng)和Sn最大,n的值為5或6.

當(dāng)堂檢測答案

C2.(2021江西上饒高三二模)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,滿足2a4=a3+5,則S9=(

)答案

C解析

∵2a4=a3+5,∴2(a5-d)=a5-2d+5,∴a5=5,3.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a2=-6,a8=6,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則(

)A.S4<S5 B.S4=S5

C.S6<S5 D.S6=S5答案

B解析

(方法一)設(shè)該等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,從而有S4=-20,S5=-20,S6=-18.從而有S4=S5.(方法