二階非齊次線性微分方程的解法研究

1dt11dt1dt數(shù)學(xué)分析中所研究的函數(shù)，就是指自變量與因變量之間的一種關(guān)系。但在實(shí)際問題中，往往很難找到自變量與因變量之間的直接聯(lián)系（即函數(shù)關(guān)系，反而比較容易從變化過程中求出自變量，因變量及它們的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式。這種聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它們的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式，稱之為微分方程。微分方程特別是線性微分方程在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用本文除簡潔介紹n階線性微分方程的主要基本理論外，著重對(duì)二階常系數(shù)線性微分方程的解法進(jìn)行研究。1線性微方程的本理與初等法1.1基本論[1][2]dxdt

xtndtn

tttn

（）dxnxtdtdtn

tt0n

（1.2方程（1.1稱為n階非齊次線性微分方程，方程（1.2稱為n階齊次線性微分方程。下面給出方程（1.1和（1.2）的解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。定理（齊線性方程解的疊加原理）如果x1

,tn

是方程（1.2的n解它們的線性組cc,c112n12是任意的常數(shù)。

n定理2）的通解結(jié)構(gòu)定理）如果1性無關(guān)的解，則方程（1.2）的通解可表示為：xcx1122n

,tn

是方程（1.2的個(gè)線（1.3其cc12

c

n

是任意的常數(shù)，且（1.3包括了方程（）的所有解。1

1nn1nn定理3（非齊線性方程解的疊加原理）如x1nn1nn12定理1.1）的通解結(jié)構(gòu)定理）如果x1

是方程（1.2的基本解組，而）的某一解，則方程（）的通解可表示為：1122nn

（1.4其cc12

c

n

是任意的常數(shù)，且（1.4包括了方程（）的所有解。1.2初等法假設(shè)方程（1.1和（1.2）中的所有系數(shù)都是常數(shù)，即dnnxftdtndtdnxxdtndtn

（1.5（1.6方程（1.5稱為n階常系數(shù)非齊次線性方程，方程（1.6稱為n階常系數(shù)齊次線性方程。齊線性方的初解法①常系數(shù)齊線性方對(duì)于常系數(shù)齊線性方程1.6）的求解，關(guān)鍵在于找出它的基本解組，n個(gè)線性無關(guān)解。參照一階常系數(shù)齊線性方程的求解，對(duì)于方程（1.6）我們也試求其形如e解，其待定常數(shù)，將其代入方程（1.6）得：

的

a

n

0由于對(duì)于t都

，則：2

nn1nnFnn1nn

0

（1.7式（1.7稱為方程（）的特征方程。而方程（1.6的解的形式將由式（1.7的特征根決定。這就是所謂的歐拉待定指數(shù)函數(shù)法。例1.求解方程

dxx0dt解：特征方程

特征根

1

42故所求通解為x1

t

e2

4t

，其c為任意常數(shù)1dd2x例2.求解方程x0dt4dt解：特征方程

特征根

（二重根）故所求通解為x(t)ttt,其數(shù)123i②歐拉方程所謂歐拉方程就是指如下特殊的變系數(shù)方程：

n

d

n

1

n

dnn

x0

（1.8經(jīng)變換x

t

,t，(1.8)：dydyy0dtdt

（1.9方1.9形如y=e

的解方1.8形如

的解y

代1.8得特征方程：

1

n

（1.10）3

2nnn至此，對(duì)于方程（1.8的求解方法可參照方程（）的求解非齊線性程的等解法①常數(shù)變易法在求解一階非齊線性方程的通解時(shí)，我們使用了常數(shù)變易法，這一方法同樣適用于求解非齊線性方程（1.1具體方法與步驟如下：1）寫出方程（1.2）的通解：cx1122n2）常數(shù)變易，即令xc1122

（1.11）3）把（1.11）及其一階到n階導(dǎo)數(shù)（在附加了個(gè)條件）代入方程（）,可得個(gè)確c

i

,n)的方程組（（A）

2nxx0

解方程組（A）c()ii

i,n4）逐個(gè)積分，ci

i

i

i,5）寫出方程（1.1）的通解：xc122n=

i

iii

i

n數(shù)ii例3.求方

2

于t0的通解解：對(duì)應(yīng)齊線性方程

tx

解之得

1xAt2

，AB為任意常數(shù)易知基本解組為

1t

2原方程可改寫為

x

1t

x

(*)4

1121nn則運(yùn)用常數(shù)變易法，令x1121nn1tc11解ctt,cttr6

2

,入上式(*)得故原方程的通解為rt12

2

1t3

3

,

r,r為任意常數(shù)12②比較系數(shù)法現(xiàn)在討論常系數(shù)非齊線性方程（1.5dnnxftdtndt的求特解問題

（1.5事實(shí)上，當(dāng)方程1.5的非齊次項(xiàng)f狀時(shí)，可采用一種簡便有效的求特解方法————比較系數(shù)法。類型設(shè)fm1

m

t)

，其bim)為實(shí)常數(shù)，那么i方（1.5有特解：k(BtmB0

temm

其中k為特征重?cái)?shù)，而BB0

B

m

為待定常數(shù)，可通過比較系數(shù)法來確定。類型設(shè)（或不超過m次多項(xiàng)式則方（有特解：x

[P

，

其中k為特征重?cái)?shù)m多項(xiàng)式，可通過比較系數(shù)法來確定。例4.求解解：特征方程

5

特征根

1

2

則對(duì)應(yīng)齊線性方程通解為x1

t

2

f

t

是特征根，取k=1方程有特解tBe

t

Bte

t

，代入原方程，Be

t

t1B4解為

14

t故原方程的通解為1

t

2

14

t

,

c,c為任意常數(shù)12例5.求t的解解：特征方程

特征根

2i

2i則對(duì)應(yīng)齊線性方程通解為ctt)e

tf

co

不是特征根，故取方程有特解Acossin)

，代入原方程，得(5Aeo(4eio則

AB解得

5A414B41故特解為x

141

t4sint)

故原方程的通解為cos2ttet1

141

(5cost4sin)e

其cc為任意常數(shù)12至此，關(guān)于方程（1.5的求解大體可分為兩大步驟：6

1）先求出對(duì)應(yīng)齊線性方程的基本解組；2）根據(jù)t的具體情況，運(yùn)用比較系數(shù)法，求出特解，隨后組合便得方程（的通解。2二階常系數(shù)非齊性微分程的法研究線性微分方程的理論研究已比較完善，應(yīng)用范圍也很廣泛，特別是二階常系數(shù)線性微分方程在力學(xué)、電工學(xué)等方面應(yīng)用最廣泛。根據(jù)前面的知識(shí)，我們知道對(duì)于二階常系數(shù)非齊線性方程的求解為兩大步驟求出對(duì)應(yīng)二階常系數(shù)齊線性方程的通解；二是求解出二階常系數(shù)非齊線性方程的一個(gè)特解，隨后組合便得非齊線性方程的通解。二階常系數(shù)非齊線性方程ypyqyfx

（2.1）二階常系數(shù)齊線性方程

ypyqy

（2.2）2.1

特解的法研究求解齊線性方程）的方法已經(jīng)趨于完善，因此求得方程）一個(gè)特解便成為求解方程（）的關(guān)鍵。下面介紹幾種求特解的方法。2.1.1升階法[3]對(duì)于方程ypyqyfx

（2.1）①當(dāng)x為項(xiàng)式時(shí)，設(shè)fxa0

n

a1

n

a

n

xa

n

，此時(shí)方程（）兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)n次，得ypyqya0

n1

a1

n2

a

n1y

1)

py

n

qy

a

0

a1y

2)

py

qy

a

0

顯然，方程）的解存在，且滿足上述方程。最后一個(gè)方程的一個(gè)明顯解（不妨7

設(shè)q0,時(shí)，

a0q

.此時(shí)(ny(

由y

與y通過倒數(shù)第二個(gè)方程可得y

依次往上推，一直推到（可得方程（2.1）的一個(gè)特解y上面這種方法稱為升階法。此種方法比一般教科書所介紹的比較系數(shù)法更為簡便。下面舉幾個(gè)例子來探討比較一下。例求方程x的一個(gè)特解解：方程（1）兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得y方程（2）兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得

（1）（2）y

令4y得y

，再將其代（12xyx

2

x2因此方程（1）的一個(gè)特解yx例求方程y的一個(gè)特解解：方程（3）兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得

（3）8

y

（4）方程（4）兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得y令

得y

得y

再將其代入（32

得

2

1，解得y3

31故方程（3）的一個(gè)特解為y3

3②當(dāng)x1

a

x)e

)

時(shí)，令y則

,

ue

代入方程（整理得

)u

)axnxn1

x

這樣，類型②就可轉(zhuǎn)變?yōu)轭愋廷?。從這里可以看出，升階法不需要討是否為特征根的問題。因此，求解問題的過程得以簡化。例求方程y

xe

3x

（5）的一個(gè)特解解：令y

,則方程（5）可化為利用方法①，方程（6）兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得

（6）（79

u

）得

17再

1代入（6x7110解之得方程（6）的一個(gè)特解為x749110因此方程（5）的一個(gè)特解為yx)e749

3x③當(dāng)f余弦函數(shù)時(shí)我們首先將其轉(zhuǎn)化為復(fù)指數(shù)的形式然后按②的方法進(jìn)行求解。例4.求方程y的一個(gè)特解

（8）解：以方程（8）的非齊次項(xiàng)f

ix

，作方程y

ix

（9）令y

ix

，再利用方法②，可求因此方程（9）的特解為xsin故方程（8）的一個(gè)特解為cosx④當(dāng)f函數(shù)、正弦函數(shù)或余弦函數(shù)某種組合時(shí)，這時(shí)可根據(jù)迭加原理進(jìn)行求解。例5．求方程yx的一個(gè)特解解：方程（10）的右端由兩項(xiàng)組成，故根據(jù)迭加原理，可先分別求下列兩個(gè)方程

（10）y

5

2

（11）y

（12）10

rr的特解，而這兩個(gè)特解之和即為方程（）的一個(gè)特解由方法①，可求得（）的特解為21

1262x5由方法②，可求得（）的特解為2

34

xe

x因此方程（）的一個(gè)特解為yy1

2

1262xxex54252.1.2公式法[6][7]對(duì)于方程（2.1f式時(shí)，可采用比較系數(shù)法求特解具有一定局限性。下面介紹當(dāng)特征r且無論f況下的特解公式。12定理

設(shè)二階常系數(shù)非齊線性方程

f

（2.1）且該微分方程的特征根（實(shí)根或虛根）r,r兩個(gè)一階線性微分方程：122

yf1yf2且設(shè)它們的特解分別為,，r，則方程（2.1）有特解22

1y112

)證明：因r,rrq的根1r

prr2

2

2顯

f

pr)01

r

f

pr)011

11221211221212且r1

r

f

x

2pr1

rx

f

x

2

左端=

1r12

re1

r

f

2

r

f12

p+rerfxrxfexr12

qr1

rfxedxxfexdx設(shè)

1ferfexr121則rrfdxerfexr12

1r1

rrefxxf1rerxfedxfxrx2這左

f故y

為方程（）的一個(gè)特解例1.求方程y的一個(gè)特解解：特征方程特征根

r2rr2,r12構(gòu)造微分方程

xe2，y

xe

2由一階微分方程通解公式，可得上兩方程的特解分別為y1

12

x2e2，12

1x11x1y

2

2x故原方程的特解為y

1r1

1

2x

1(x2

2

例2.求方程y的一個(gè)特解解：特征方程r特征根

ri，1

r2構(gòu)造微分方程

ycosy

由一階微分方程通解公式，可得上兩方程的特解分別為1

1i24

xi

2

1i24

2

故原方程的特解為y

1r1

(y12

11)x242.1.3積分法[8][9]對(duì)于方程y

（2.1）y

）定理

設(shè)2.2）的一個(gè)非零解，y1y）在區(qū)間[0，x]上的一個(gè)特解。1證明：

113

xxqx11rxr1xxxqx11rxr1x11

利用參變量積分的求導(dǎo)公式，得y

y1

0

y1y

f

x

y1

0

y1

x

f

y

f

11

0

1

p1

0

1ff

1

1

故y

是方程（）的一個(gè)特解，證畢符合方程非零解解出而同時(shí)得到。設(shè)1r,r是兩個(gè)特征值，y121,rr12yrr1er例1.求y一個(gè)特解解：特征方程rr特征根

r

i故取

sin2,

y故特解為1

12

x0

esin)tsin214

x1x1x1x1x1xe4

x0

xcos(2xt)1e4

x

[2x

cos(2t)dt]1xcos2xexsin24例2.求yx的一個(gè)特解解：特征方程rr特征根故取

rr1

y故特解為y1

x

)xttdtx()tdt

415

x22.2通解的法研究從上面所學(xué)的知識(shí)，我們知道對(duì)于方程2.1）的求解，一般情況下要分兩步來完成其過程繁瑣計(jì)算量大易出錯(cuò)現(xiàn)在我們嘗試兩步并一步走直接探尋方（）的通解公式。2.2.1公式法[10]設(shè)方程（2.1程為r,r，達(dá)理12prqr，從而y12

f)12

ryf1(y

y)1

(2

y)f1

y，115

0011xxe則

qyf

yyy21解方程組得rx

x

,y

rx

f

故方程（2.1）的通解為y

r

(r)

[

f

]dx由此可得：定理7

若

f的特征根r,r（包括共軛復(fù)根12則方程的通解可表示為：

r

(r)

[

f

]dx（定理證明參考文獻(xiàn)[11]）推論

若y

f有兩個(gè)相同的實(shí)r方程的通12解為

r

f

.例1.求解方程y解：特征方程r2r

2x特征根

rr212由定理7得，所求通解為

r

(r)

[

f

]dx3

3x

12

2

xx2e2

2

e31例2.求解方程2x解：特征方程r0特征根rri1

12

2x16

001112012作輔助方程001112012

2ix故所求輔助方程的通解為：

e

2ix

1(xei

ix

ix

)dx0

1(xe3e3ix392i

2ix

)11ixe2ixcix39ii

14故所求通解y)cossinxx2sin2x39利用定理7在某些特殊情當(dāng)積分為可積時(shí)得通解但須進(jìn)行二次積分，有一定局限性我們不妨利用該通解公式令積分常數(shù)均為0即得原方程的一個(gè)特解，然后根據(jù)非齊次方程的通解結(jié)構(gòu)求出通解。定理

若rr121（1）rr時(shí)，原方程特解為[r21

r

f

rx

f特別地，rr且為共軛復(fù)根bi時(shí)，12特解0

eaxb

bx]（2）rrr，原方程特解為[x120（定理證明參考文獻(xiàn)[11]，[12]）例3.求y

x的通解解：特征方程

r

r0特征根

rr1由定理8，原方程有特解：cos

xdx17

2

，

0故所求通解為：e12

e

cos)2

為任意常數(shù)例4.求y

2x的通解12解：特征方程r

2

r特征根

rr12定理8，由原方程有特解：0

3x

[x

e

2x1

32

xe

2x1

3x2

]

3

[ln(1

2

xx]故所求通解為cx)e12

3x

3x

[ln(1

2

)x2arctan]例5.求y

2e3

2x

的通解解：特征方程rr特征根

ri,ri1定理8，由原方程有特解：0

ex2xxx2xdxcose2xcos

2xdx]e[sinx2cos2x

cos2x

2sin3x

]=

e2

2x2cosx

1x

)]=

e4x4218

故所求通解為yc2sin)12

ex4x422.2.2常數(shù)變法[15]通過對(duì)常微分方程的學(xué)習(xí)我們知道常數(shù)變易法廣泛應(yīng)用于非齊次線性微分方程的求解下面將常數(shù)變易法應(yīng)用于二階常系數(shù)線性微分方程的求解樣適用有效簡捷。對(duì)于方程

f

（2.1）y

0

（2.2）對(duì)方程（2.2）的特征方r

2

0

（2.3）有實(shí)根和復(fù)根的情形分別加以考慮：①若r為方程（）的一實(shí)根，

rx

是（2.2）的一解，由常數(shù)變易法，可設(shè)（2.1）的解為c

rx

，則y）將（2.4）和c

rx

代入（2.1

f這是關(guān)

解c

[

r)x

(r)

f從而方程（2.1）的通解公式為yrx)x

f

（2.5）②r（）的一復(fù)根a,b且0，則sin是方程（2.2）的一解，由常數(shù)變易法，可設(shè)（2.1）的解為可得方程（2.1）的通解公式為：19

sinbx，與情形①的推導(dǎo)類似，

sinsiny

sinbx

a)x2

（2.6）例1.求