高中數(shù)學輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)教案人教版必修3A

第一、二課時展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)1）教課目的a）知識與技術(shù)1.理解展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中包含的數(shù)學原理，并能依據(jù)這些原理進行算法剖析?；灸芤罁?jù)算法語句與程序框圖的知識設計完好的程序框圖并寫出算法程序。（b）過程與方法在展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大條約數(shù)的學習過程中對照我們常有的約分求公因式的方法，比較它們在算法上的差別，并從程序的學習中領(lǐng)會數(shù)學的謹慎，領(lǐng)悟數(shù)學算法計算機辦理的聯(lián)合方式，初步掌握把數(shù)學算法轉(zhuǎn)變成計算機語言的一般步驟。（c）神態(tài)與價值1.經(jīng)過閱讀中國古代數(shù)學中的算法事例，領(lǐng)會中國古代數(shù)學對世界數(shù)學發(fā)展的貢獻。在學習古代數(shù)學家解決數(shù)學識題的方法的過程中培育謹慎的邏輯思維能力，在利用算法解決數(shù)學識題的過程中培育理性的精神和著手實踐的能力。2）教課重難點要點：理解展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大條約數(shù)的方法。難點：把展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的方法變換成程序框圖與程序語言。3）學法與教課器具學法：在理解最大條約數(shù)的基礎(chǔ)上去發(fā)現(xiàn)展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)中的數(shù)學規(guī)律，并能模擬已經(jīng)學過的程序框圖與算法語句設計出展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的程序框圖與算法程序。教課器具：電腦，計算器，圖形計算器（4）教課假想（一）創(chuàng)建情形，揭露課題1.教師第一提出問題：在初中，我們已經(jīng)學過求最大條約數(shù)的知識，你能求出18與30的條約數(shù)嗎？接著教師進一步提出問題，我們都是利用找條約數(shù)的方法來求最大公約數(shù)，假如條約數(shù)比較大并且依據(jù)我們的察看又不可以獲得一些條約數(shù)，我們又應當如何求它們的最大條約數(shù)？比方求8251與6105的最大條約數(shù)？這就是我們這一堂課所要商討的內(nèi)容。（二）研探新知展轉(zhuǎn)相除法例1求兩個正數(shù)8251和6105的最大條約數(shù)。（剖析：8251與6105兩數(shù)都比較大，并且沒有明顯的條約數(shù)，如能把它們都變小一點，依據(jù)已有的知識即可求出最大條約數(shù)）解：8251＝6105×1＋2146明顯8251的最大條約數(shù)也必是數(shù)也必是8251的約數(shù)，因此8251的最大條約數(shù)。

2146的約數(shù)，相同6105與與6105的最大條約數(shù)也是

2146的條約6105與21466105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0則37為8251與6105的最大條約數(shù)。以上我們求最大條約數(shù)的方法就是展轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元前300年左右第一提出的。利用展轉(zhuǎn)相除法求最大條約數(shù)的步驟以下：第一步：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n獲得一個商q和一個余數(shù)r；00第二步：若r0＝0，則n為m，n的最大條約數(shù)；若r0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)r0獲得一個商q1和一個余數(shù)r1；第三步：若r＝0，則r為m，n的最大條約數(shù)；若r≠0，則用除數(shù)r0111除以余數(shù)r1獲得一個商q2和一個余數(shù)r2；挨次計算直至rn＝0，此時所獲得的rn－1即為所求的最大條約數(shù)。練習：利用展轉(zhuǎn)相除法求兩數(shù)4081與20723的最大條約數(shù)（答案：53）2.更相減損術(shù)我國初期也有解決求最大條約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。更相減損術(shù)求最大條約數(shù)的步驟以下：可半者半之，不行半者，副置分母·子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯出來為：第一步：隨意給出兩個正數(shù)；判斷它們能否都是偶數(shù)。假如，用2約簡；若不是，履行第二步。第二步：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。持續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大條約數(shù)。例2用更相減損術(shù)求98與63的最大條約數(shù).解：因為63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并展轉(zhuǎn)相減，即：98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝1414－7＝7因此，98與63的最大條約數(shù)是

7。練習：用更相減損術(shù)求兩個正數(shù)

84與

72的最大條約數(shù)。（答案：

12）比較展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的差別1）都是求最大條約數(shù)的方法，計算上展轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數(shù)上展轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小差別較大時計算次數(shù)的差別較明顯。（2）從結(jié)果表現(xiàn)形式來看，展轉(zhuǎn)相除法表現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則獲得，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而獲得展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)計算的程序框圖及程序利用展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的計算算法，我們能夠設計出程序框圖以及BSAIC程序來在計算機上實現(xiàn)展轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)求最大條約數(shù)，下邊由同學們設計相應框圖并互相之間檢查框圖與程序的正確性，并在計算機上考證自己的結(jié)果。（1）展轉(zhuǎn)相除法的程序框圖及程序程序框圖：程序：INPUT“m=”;mINPUT“n=”;nIFm<nTHENx=mm=nn=xENDIFr=mMODnWHILEr<>0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND5.講堂練習一.用展轉(zhuǎn)相除法求以下各組數(shù)的最大條約數(shù)，并在自己編寫的程序中考證。

BASIC1）225；135（2）98；196（3）72；168（4）153；119二.思慮：用求質(zhì)因數(shù)的方法能否求上述4組數(shù)的最大條約數(shù)？能否利用求質(zhì)因數(shù)的算法設計出程序框圖及程序？若能，在電腦上測試自己的程序；若不可以說明沒法實現(xiàn)的原因。三。思慮：利用展轉(zhuǎn)相除法能