優(yōu)選課件：人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)272拋物線的幾何性質(zhì)

2.7.2拋物線的幾何性質(zhì)核心素養(yǎng)

1.掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).(直觀想象)2.了解拋物線幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.歸納、對(duì)比四種方程所表示的拋物線的幾何性質(zhì)的異同.(邏輯推理)4.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點(diǎn)弦、弦中點(diǎn)等問(wèn)題.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥把拋物線沿它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周,就會(huì)形成一個(gè)拋物面.這種拋物面形狀,正是我們熟悉的汽車前燈的反射鏡的形狀.這種形狀,使得車燈既能夠發(fā)射出明亮的、照射很遠(yuǎn)的平行光束,又能發(fā)射出較暗的、照射近距離的光線,這也就是汽車的遠(yuǎn)光燈和近光燈.那么它的工作原理是什么?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥1.拋物線y2=2px(p>0)的幾何性質(zhì)

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考(1)掌握拋物線的性質(zhì),重點(diǎn)應(yīng)抓住“兩點(diǎn)”“兩線”“一率”“一方向”,它們分別指的是什么?提示:“兩點(diǎn)”是指拋物線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn);“兩線”是指拋物線的準(zhǔn)線和對(duì)稱軸;“一率”是指離心率1;“一方向”是指拋物線的開(kāi)口方向.(2)拋物線的性質(zhì)與橢圓和雙曲線性質(zhì)的主要區(qū)別有哪些?提示:拋物線的離心率等于1,它只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸和一條準(zhǔn)線.它沒(méi)有中心,通常稱拋物線為無(wú)心圓錐曲線,而稱橢圓和雙曲線為有心圓錐曲線.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e=1激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析

1.對(duì)以上四種位置不同的拋物線和它們的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行對(duì)比、分析,其共同點(diǎn):(1)頂點(diǎn)都為原點(diǎn);(2)對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸;(3)準(zhǔn)線與對(duì)稱軸垂直,垂足與焦點(diǎn)分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,它們與原點(diǎn)的距離都等于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值的

;(4)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離均為p.其不同點(diǎn):(1)對(duì)稱軸為x軸時(shí),方程的右端為±2px,左端為y2;對(duì)稱軸為y軸時(shí),方程的右端為±2py,左端為x2;(2)開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的正半軸上,方程的右端取正號(hào);開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的負(fù)半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)的負(fù)半軸上,方程的右端取負(fù)號(hào).2.只有焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,頂點(diǎn)是原點(diǎn)的拋物線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦)長(zhǎng)為8,若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),則其方程為(

)A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y解析:設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依題意得x=,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴拋物線方程為y2=8x或y2=-8x.答案:C激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微判斷(1)拋物線關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱.(

)(2)拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn),一條對(duì)稱軸,無(wú)對(duì)稱中心.(

)(3)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程雖然各不相同,但是其離心率都相同.(

)答案:(1)×

(2)√

(3)√微思考怎樣根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷拋物線的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向?提示:一次項(xiàng)的變量若為x(或y),則x軸(或y軸)是拋物線的對(duì)稱軸,一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開(kāi)口方向.如果y是一次項(xiàng),負(fù)時(shí)向下,正時(shí)向上.如果x是一次項(xiàng),負(fù)時(shí)向左,正時(shí)向右.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用例1(1)等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點(diǎn),OA⊥OB,則△AOB的面積是(

)A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2(2)如圖所示,F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在拋物線y2=4x及圓x2+y2-2x-3=0的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),且AB總是平行于x軸,則△FAB的周長(zhǎng)的取值范圍是(

)A.(4,6) B.[4,6]C.(2,4) D.[2,4]探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解析:(1)因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x軸,內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形,所以由拋物線的對(duì)稱性知,直線AB與拋物線的對(duì)稱軸垂直,從而直線OA與x軸的夾角為45°.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(2)由題意知拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=-1,設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y0),B(x2,y0),則|AF|=x1+1.∵B在圖中圓(x-1)2+y2=4的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng),∴1<x2<3.∴△FAB的周長(zhǎng)為|AF|+|FB|+|BA|=(x1+1)+2+(x2-x1)=x2+3∈(4,6).答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(3)已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為x軸,且與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn),|AB|=2,求拋物線方程.解:由已知,拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸正半軸上,也可能在負(fù)半軸上.故可設(shè)拋物線方程為y2=ax(a≠0).設(shè)拋物線與圓x2+y2=4的交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).∵拋物線y2=ax(a≠0)與圓x2+y2=4都關(guān)于x軸對(duì)稱,∴A與B關(guān)于x軸對(duì)稱,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

研究拋物線的幾何性質(zhì)要從三個(gè)方面入手(1)開(kāi)口:由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程看圖像開(kāi)口,關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x還是y,一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù).(2)關(guān)系:頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間,準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸.(3)定值:焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p;過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(又稱為通徑)長(zhǎng)為2p;離心率恒等于1.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1已知拋物線y2=8x.(1)求出該拋物線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對(duì)稱軸、變量x的范圍;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn),作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦點(diǎn)F是△OAB的重心,求△OAB的周長(zhǎng).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)拋物線y2=8x的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程、對(duì)稱軸、變量x的范圍分別為(0,0),(2,0),x=-2,x軸,x≥0.(2)如圖所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x軸,垂足為點(diǎn)M,又焦點(diǎn)F是△OAB的重心,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)直線與拋物線的關(guān)系例2(1)對(duì)于拋物線C:y2=4x,我們稱滿足

<4x0的點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線的內(nèi)部.若點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線內(nèi)部,則直線l:y0y=2(x+x0)與曲線C(

)A.恰有一個(gè)公共點(diǎn)B.恰有2個(gè)公共點(diǎn)C.可能有一個(gè)公共點(diǎn),也可能有兩個(gè)公共點(diǎn)D.沒(méi)有公共點(diǎn)答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法設(shè)直線l:y=kx+b,拋物線:y2=2px(p>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此時(shí)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),該直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.(2)若k2≠0,當(dāng)Δ>0時(shí),直線與拋物線相交,有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)Δ=0時(shí),直線與拋物線相切,有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)Δ<0時(shí),直線與拋物線相離,無(wú)公共點(diǎn).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.求拋物線弦長(zhǎng)問(wèn)題的方法(1)一般弦長(zhǎng)公式(2)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)設(shè)過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立、消元,由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2即可.(3)解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì).凡涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)、弦的斜率等問(wèn)題,注意利用根與系數(shù)的關(guān)系,設(shè)而不求,能避免繁雜的計(jì)算.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

若例2(2)條件不變,求弦AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2(1)過(guò)拋物線y2=2px(p>0)上一定點(diǎn)P(x0,y0)(y0>0),作兩條直線分別交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2).當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),的值為(

)A.- B.-2C.2 D.無(wú)法確定探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(2)已知直線l:y=kx+1,拋物線C:y2=4x.當(dāng)k為何值時(shí),l與C只有一個(gè)公共點(diǎn);有兩個(gè)公共點(diǎn);沒(méi)有公共點(diǎn).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(ⅰ)當(dāng)Δ>0,即k<1,且k≠0時(shí),l與C有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)直線l與C相交;(ⅱ)當(dāng)Δ=0,即k=1時(shí),l與C有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)直線l與C相切;(ⅲ)當(dāng)Δ<0,即k>1時(shí),l與C沒(méi)有公共點(diǎn),此時(shí)直線l與C相離.綜上所述,當(dāng)k=1或0時(shí),l與C有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)k<1且k≠0時(shí),l與C有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)k>1時(shí),l與C沒(méi)有公共點(diǎn).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題例3(1)拋物線y2=4x上的點(diǎn)P(x,y)到(0,3)的距離與到準(zhǔn)線距離之和的最小值是

.

解析:如圖所示,設(shè)此拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線l:x=-1.過(guò)點(diǎn)P作PM⊥l,垂足為M.則|PM|=|PF|.設(shè)Q(0,3),因此當(dāng)F,P,Q三點(diǎn)共線時(shí),|PF|+|PQ|取得最小值.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(2)求拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0的最小距離.解:方法一:設(shè)A(t,-t2)為拋物線上的點(diǎn),則點(diǎn)A到直線4x+3y-8=0的距離探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.求拋物線上一點(diǎn)到定直線的距離的最值,最常見(jiàn)的解題思路:一是利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行消元代換,得到有關(guān)距離的含變量的代數(shù)式,以計(jì)算函數(shù)最值來(lái)解決.二是轉(zhuǎn)化兩平行線間距離,代入兩平行線間距離公式可求得.2.建立形與數(shù)的聯(lián)系,提升數(shù)形結(jié)合的能力,有利于優(yōu)化解題的方式與方法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)易錯(cuò)點(diǎn)——因不理解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式而致錯(cuò)案例

設(shè)拋物線y=mx2(m≠0)的準(zhǔn)線與直線y=1的距離為3,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=8x2.錯(cuò)因分析本題在解答過(guò)程中容易出現(xiàn)兩個(gè)錯(cuò)誤:一是不能正確理解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,錯(cuò)誤地將所給方程看成是拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,得到準(zhǔn)線方程為y=-;二是得