模型構(gòu)建專題解直角三角形應(yīng)用中的模型

模型構(gòu)建專題：解直角三角形應(yīng)用中的模型——形成思維模式，快準(zhǔn)解題eq\a\vs4\al(◆)類型一疊合式1．(2022·煙臺(tái)中考)如圖，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組要測(cè)量學(xué)校附近樓房CD的高度，在水平地面A處安置測(cè)傾器測(cè)得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45°，向前走20米到達(dá)A′處，測(cè)得點(diǎn)D的仰角為67.5°.已知測(cè)傾器AB的高度為1.6米，則樓房CD的高度約為(結(jié)果精確到0.1米，eq\r(2)≈1.414)()A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米第1題圖第2題圖2．一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行60海里至C處時(shí)發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號(hào)，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號(hào)，測(cè)得事故船在它的北偏東30°方向，馬上以40海里/時(shí)的速度前往救援，海警船到達(dá)事故船C處所需的時(shí)間大約為________小時(shí)(用根號(hào)表示)．3．(2022·菏澤中考)如圖，某小區(qū)①號(hào)樓與?號(hào)樓隔河相望，李明家住在①號(hào)樓，他很想知道?號(hào)樓的高度，于是他做了一些測(cè)量，他先在B點(diǎn)測(cè)得C點(diǎn)的仰角為60°，然后到42米高的樓頂A處，測(cè)得C點(diǎn)的仰角為30°，請(qǐng)你幫助李明計(jì)算?號(hào)樓的高度CD.4．埃航MS804客機(jī)失事后，國(guó)家主席親自發(fā)電進(jìn)行慰問，埃及政府出動(dòng)了多艘艦船和飛機(jī)進(jìn)行搜救．如圖，其中一艘潛艇在海面下500米的A點(diǎn)處測(cè)得俯角為45°的前下方海底有黑匣子信號(hào)發(fā)出，繼續(xù)沿原方向直線航行2000米后到達(dá)B點(diǎn)，在B處測(cè)得俯角為60°的前下方海底有黑匣子信號(hào)發(fā)出，求海底黑匣子C點(diǎn)距離海面的深度(結(jié)果保留根號(hào))．【方法10】5．(2022·株洲中考)如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)AB的尾端點(diǎn)A測(cè)得正前方的橋的左端點(diǎn)P的俯角為α，其中tanα＝2eq\r(3)，無人機(jī)的飛行高度AH為500eq\r(,3)米，橋的長(zhǎng)度為1255米．(1)求點(diǎn)H到橋左端點(diǎn)P的距離；(2)若無人機(jī)前端點(diǎn)B測(cè)得正前方的橋的右端點(diǎn)Q的俯角為30°，求這架無人機(jī)的長(zhǎng)度AB.eq\a\vs4\al(◆)類型二背靠式6．某滑雪場(chǎng)舉辦冰雪嘉年華活動(dòng)，采用直升機(jī)航拍技術(shù)拍攝活動(dòng)盛況．如圖，通過直升機(jī)的鏡頭C觀測(cè)到水平雪道一端A處的俯角為30°，另一端B處的俯角為45°.若直升機(jī)鏡頭C處的高度CD為300米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則雪道AB的長(zhǎng)度為()A．300米B．150eq\r(2)米C．900米D．(300eq\r(3)＋300)米第6題圖第7題圖7．如圖，在東西方向的海岸線上有A、B兩個(gè)港口，甲貨船從A港沿北偏東60°的方向以4海里/時(shí)的速度出發(fā)，同時(shí)乙貨船從B港沿西北方向出發(fā)，2小時(shí)后相遇在點(diǎn)P處，則乙貨船每小時(shí)航行________海里．8．小宇在學(xué)習(xí)解直角三角形的知識(shí)后，萌生了測(cè)量他家對(duì)面位于同一水平面的樓房高度的想法，他站在自家C處測(cè)得對(duì)面樓房底端B的俯角為45°，測(cè)得對(duì)面樓房頂端A的仰角為30°，并量得兩棟樓房間的距離為9米，請(qǐng)你用小宇測(cè)得的數(shù)據(jù)求出對(duì)面樓房AB的高度(結(jié)果保留到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)．9．(2022·青島中考)如圖，C地在A地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需繞行B地．已知B地位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，C地位于B地南偏東30°方向．若打通穿山隧道，建成兩地直達(dá)高鐵，求A地到C地之間高鐵線路的長(zhǎng)(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin67°≈eq\f(12,13)，cos67°≈eq\f(5,13)，tan67°≈eq\f(12,5)，eq\r(3)≈1.73)．【方法10】10．(2022·荊州中考)如圖，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組為測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，沿旗桿正前方2eq\r(3)米處的點(diǎn)C出發(fā)，沿斜面坡度i＝1∶eq\r(3)的斜坡CD前進(jìn)4米到達(dá)點(diǎn)D，在點(diǎn)D處安置測(cè)角儀，測(cè)得旗桿頂部A的仰角為37°，量得儀器的高DE為1.5米．已知A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)，AB⊥BC，AB∥DE，求旗桿AB的高度(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈eq\f(3,5)，cos37°≈eq\f(4,5)，tan37°≈eq\f(3,4).計(jì)算結(jié)果保留根號(hào))．參考答案與解析1．C2.eq\f(\r(3),2)解析：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于D.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝60海里，∴CD＝eq\f(1,2)AC＝30海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°－30°＝60°，∴BC＝eq\f(CD,sin∠CBD)＝20eq\r(3)(海里)，∴海警船到達(dá)事故船C處所需的時(shí)間大約為20eq\r(3)÷40＝eq\f(\r(3),2)(小時(shí))．3．解：如圖，作AE⊥CD.∵CD＝BD·tan60°＝eq\r(3)BD，CE＝BD·tan30°＝eq\f(\r(3),3)BD，∴AB＝CD－CE＝eq\f(2\r(3),3)BD＝42米，∴BD＝21eq\r(3)米，CD＝eq\r(3)BD＝63米．答：?號(hào)樓的高度CD為63米．4．解：如圖，過C作CD⊥AB于D，交海面于點(diǎn)E.設(shè)BD＝x米．∵∠CBD＝60°，∴tan∠CBD＝eq\f(CD,BD)＝eq\r(3)，∴CD＝eq\r(3)x米．∵AB＝2000米，∴AD＝(x＋2000)米．∵∠CAD＝45°，∴tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)＝1，∴eq\r(3)x＝x＋2000，解得x＝1000eq\r(3)＋1000，∴CD＝eq\r(3)(1000eq\r(3)＋1000)＝(3000＋1000eq\r(3))(米)，∴CE＝CD＋DE＝3000＋1000eq\r(3)＋500＝(3500＋1000eq\r(3))(米)．答：黑匣子C點(diǎn)距離海面的深度為(3500＋1000eq\r(3))米．5．解：(1)在Rt△AHP中，∵AH＝500eq\r(3)米，由tan∠APH＝tanα＝eq\f(AH,HP)＝eq\f(500\r(3),PH)＝2eq\r(3)，可得PH＝250米．∴點(diǎn)H到橋左端點(diǎn)P的距離為250米．(2)設(shè)BC⊥HQ于C.在Rt△BCQ中，∵BC＝AH＝500eq\r(3)米，∠BQC＝30°，∴CQ＝eq\f(BC,tan30°)＝1500米．∵PQ＝1255米，∴CP＝245米．∵HP＝250米，∴AB＝HC＝250－245＝5(米)．答：這架無人機(jī)的長(zhǎng)度AB為5米．6．D7．2eq\r(2)解析：作PC⊥AB于點(diǎn)C.∵甲貨船從A港沿北偏東60°的方向以4海里/時(shí)的速度出發(fā)，∴∠PAC＝30°，AP＝4×2＝8(海里)，∴PC＝AP×sin30°＝8×eq\f(1,2)＝4(海里)．∵乙貨船從B港沿西北方向出發(fā)，∴∠PBC＝45°，∴PB＝PC÷sin45°＝4÷eq\f(\r(2),2)＝4eq\r(2)(海里)，∴乙貨船航行的速度為4eq\r(2)÷2＝2eq\r(2)(海里/時(shí))．8．解：在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，tan∠ACD＝eq\f(AD,CD)，CD＝9米，∴AD＝CD·tan∠ACD＝9×eq\f(\r(3),3)＝3eq\r(3)(米)．在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，tan∠BCD＝eq\f(BD,CD)，∴BD＝CD＝9米，∴AB＝AD＋BD＝3eq\r(3)＋9≈14(米)．答：對(duì)面樓房AB的高度約為14米．9．解：過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D.∵B地位于A地北偏東67°方向，距離A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB·sin67°≈520×eq\f(12,13)＝480(km)，BD＝AB·cos67°≈520×eq\f(5,13)＝200(km)．∵C地位于B地南偏東30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD·tan30°＝200×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(200\r(3),3)(km)，∴AC＝AD＋CD＝480＋eq\f(200\r(3),3)≈480＋115＝595(km)．答：A地到C地之間高鐵線路的長(zhǎng)為595km.10．解：如圖，延長(zhǎng)ED交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則∠CFD＝90°.∵tan∠DCF＝i＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠DCF＝30°.∵CD＝4米，∴DF＝eq\f(1,2)CD＝2米，CF＝CD·cos∠DCF＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)(米)，∴BF＝BC＋CF＝2eq\r(