二次方程根的分布情況歸納

8.2初高銜接 二次方程ax2+bx+c=0（a豐0）根的分布一元二次方程ax2+bx+c=0根的分布情況二次方程阮+r= 的根從幾何意義上來說就是1次函數(shù)/1=譏＜何+C與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以研究康：+M+1=D的實(shí)根的情況，可從函數(shù)/工km：+h+L的圖象上進(jìn)行研究.若在卜、枇）內(nèi)研究方程政一依+匚:0的實(shí)根情況，只需考疊二5+c與，軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及交點(diǎn)橫坐標(biāo)的符號(hào)，根據(jù)判別式以及韋達(dá)定理，由工,+工「凝■/的值與符號(hào)，從而判斷出實(shí)根的情況.若在區(qū)間（帆川內(nèi)研究二次方程0:+依+￡=0,則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來確定.【一元二次方程根的分布的類型:】1、零分布（1）有兩正根 （2）有兩負(fù)根 （3）一正一負(fù)2、k分布（1）有兩個(gè)大于k的根 （2）有兩個(gè)小于k的根 （3）一個(gè)大于k,一個(gè)小于k,（4）有一個(gè)根在區(qū)間（勺,勺）內(nèi) （5）區(qū)間（勺尾）有兩個(gè)根【引例】對(duì)于關(guān)于X的方程x?+（2m_l）x+4-2m=0求滿足下列條件的m的取值范圍：（1）有兩個(gè)負(fù)根 C2）兩個(gè)根都小「-1（3）一個(gè)根大于2,一個(gè)根小于2 （4）兩個(gè)根都在［0,2）內(nèi)（5）一個(gè)根在（―“0）內(nèi)，另一個(gè)根在（1,W）內(nèi)（6）一個(gè)根小于2, ?個(gè)根大于4⑺在一（0,2）內(nèi)有根（8） 一個(gè)正根.一個(gè)負(fù)根且正根絕對(duì)值較大

8.2初高銜接設(shè)方程的不等兩根為\,X2且\<X2，相應(yīng)的二次函數(shù)為fG)=ax2+bx+c=0，方程的根即為二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，它們的分布情況見下面各表(每種情況對(duì)應(yīng)的均是充要條件)表一：(兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況)分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0(x<0,X<0)兩個(gè)正根即兩根都大于0(X>0,X>0)一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0，一個(gè)大于0(X1<0<X2)a；0、\\\^^\\JyJ/V得出的結(jié)論'A>0b\——<02af(0)>0'A>0b>02af(0)>0f(0)<0a；0AJ/\3J7\x/得出的結(jié)論'A>0b\ <02af(0)<0'A>0b\ >02af(0)<0f(0)>0綜合結(jié)維不討論〃1\[A>0—b<02aa.f(0)>0\[A>0—b>02aa.f(0)>0a.f(0)<0

8.2初高銜接表二：（兩根與女的大小比較）分布情況兩根都小于k即x<k,x<k兩根都大于k即x>k,x>k一個(gè)根小于k，一個(gè)大于k即x<k<xa:0yii/7八yii3\JkJkkvy，3\JX得出的結(jié)論'A>0b,< <k2af(k)>0'A>0<-b>k2af(k)>0f(k)<0a；0y>'nlk、:廣y"V)1 區(qū)1 \得出的結(jié)論'A>0b,<-——<k2af(k)<0'A>0<-b>k2af(k)<0f(k)>0合論不論a）1A>0b——<k2aa.f(k)>01A>0-2>k2aa.f(k)>0a.f(k)<0

8.2初高銜接表三：(根在區(qū)間上的分布)分布情況兩根都在m,n)內(nèi)兩根有且僅有一根在(m,n)內(nèi)(圖象有兩種情況，只畫了一種)一根在(m,n)內(nèi)，另一根在(p,q)內(nèi)，m<n<p<qa:0y\/.AAyj1m n￡得出的結(jié)論<'A>0f(m)>0f(n)>0bm<———<n2af(m).f(n)<0f(m)>0f(n)<0f(p)<0或f(q)>0f(m)f(n)<0、f(p)f(q)<0al0yh?A.Iny”3。mpinx, 工mhihp笈、qF得出的結(jié)論<'A>0f(m)<0f(n)<0,b,m< <n2af(m).f(n)<0j(m)<0f(n)>0f(p)>0或，f(q)<0f(m)f(n)<0、f(p)f(q)<0合論不論a)f(m).f(n)<0ff(m)f(n)<0[f(p)f(q)<0

8.2初高銜接根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間Q,n加即在區(qū)間兩側(cè)\<m,x2>n，（圖形分別如下）需滿足的條件是yA y八f(m)<0 ff(m)>0(1)a>0時(shí)，\ ； ； (2)a<0時(shí)，\/、ff(n)<0 ff(n)>08.28.2初高銜接元二次方程根的分布題型例1、已知二次方程（2m+1）x2-2mx+（m—1）=0有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：由（2加+1”（0）＜0即（2/"+》”—）＜。從而得-；＜川＜1即為所求的范圍例2、已知方程2x2-（m+1）x+m=0有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：由［ A＞00＜m＜3—2式或加＞3+2在即為所求的范圍:例3、已知二次函數(shù)y=（m+2）x2-（2m+4）x+（3m+3）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解E由（用+2＞/（1）＜0即（m+2＞（2m+l）＜o(jì) —2＜加＜：即為所求的范圍常見題型例|、當(dāng)關(guān)于上的方程的根滿足下列條件時(shí)：求實(shí)數(shù)門的取值范圍：（1）方程群十二一7二0的兩個(gè)根?一個(gè)大于3另一個(gè)小12；（2）方程7d—S+13M+/—〃—2—0的一個(gè)根在區(qū)間（0』）I，另一根在區(qū)間（1.2）上；＜3）方程克2+〃工+2「0的兩根都小卜0：變題$方程N(yùn)+門發(fā)+2—0的兩根都小「-1.（4）方程犬―3+4＞—2/+5。+3=0的