振動與沖擊理論基礎

振動與沖擊理論基礎第一頁，共六十二頁，2022年，8月28日1概述商品破損的原因:（1）沖擊——沖擊過程的時間歷程不能用數(shù)學式描述；沖擊幅值是多峰狀態(tài)，包裝的響應是隨機分布的；沖擊波的形狀比較復雜，難以用簡單的函數(shù)表達；沒有明確的沖擊作用時間，很難用脈寬來定量時間；

(2)振動

——某個物理量的值在觀測時間內不斷地經過極大值和極小值地變化，這種狀態(tài)的改變稱為振動。

機械振動——物體在平衡位置附近所做的周期性往復運動，稱為機械振動。（包裝動力學研究的重點）（3）氣候條件（溫濕度、風雨、鹽霧等）（4）其他因素（如有害氣體、熱源、放射源、氣味源和日光照射等）脆值第二頁，共六十二頁，2022年，8月28日1.1機械振動組成：

振動系統(tǒng)（單擺），振源（給一初始位移），響應振動問題：已知振源、系統(tǒng)特性，求響應環(huán)境預測：已知系統(tǒng)特性、響應，求輸入系統(tǒng)識別：已知輸入、響應，求系統(tǒng)特性車床+混凝土機座彈性墊振動系統(tǒng)激勵響應第三頁，共六十二頁，2022年，8月28日1.1實際包裝系統(tǒng)——簡化第四頁，共六十二頁，2022年，8月28日1.2力學模型簡化力學模型的原則：（1）要正確反映包裝系統(tǒng)的特性；（2）在正確反映包裝系統(tǒng)的特性的前提下盡可能簡化模型。考慮的具體問題：（1）包裝產品是均質剛體，還是由多個部件組成？產品的擺放方式？（2）是否考慮外包裝箱的質量和彈性？（3）是否考慮緩沖材料的質量？（4）是否考慮緩沖材料的粘性？第五頁，共六十二頁，2022年，8月28日1.2力學模型——單自由度系統(tǒng)假設：被包裝產品為均質剛體，略去外包裝箱的質量和彈性，不計緩沖材料的質量，并視為粘性和阻尼的彈性體。m：產品質量k：緩沖襯墊材料的彈性系數(shù)c：緩沖襯墊材料的粘性阻尼系數(shù)第六頁，共六十二頁，2022年，8月28日1.2力學模型——二自由度系統(tǒng)假設：略去外包裝箱的質量和彈性，不計緩沖材料的質量，并視為粘性和阻尼的彈性體。m1,m2：易損件和產品質量；k1，c1：易損件與產品間的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)；k2，c2：產品主體與外包裝箱間的緩沖材料的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)。第七頁，共六十二頁，2022年，8月28日1.2力學模型——三自由度系統(tǒng)假設：不計緩沖材料的質量，并視為粘性和阻尼的彈性體。m1,m2：易損件和產品質量；m3：外包裝箱的質量（外包裝箱很重時）；k1，c1：易損件與產品間的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)；k2，c2：產品主體與外包裝箱間的緩沖材料的彈性系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)。

第八頁，共六十二頁，2022年，8月28日1.2力學模型——多自由度系統(tǒng)第九頁，共六十二頁，2022年，8月28日1.2力學模型——多自由度系統(tǒng)假設：產品疊放在同一包裝箱中或同一產品有多個關鍵零部件不計緩沖材料的質量，并視為粘性和阻尼的彈性體。m1,m2…mn：質量；k1，k2…kn：彈性系數(shù)；c1，c2…cn：粘性阻尼系數(shù)。第十頁，共六十二頁，2022年，8月28日1.3機械振動的分類（1）按自由度分：單自由度系統(tǒng)，二自由度系統(tǒng)，三自由度系統(tǒng)，多自由度系統(tǒng)，連續(xù)介質系統(tǒng)；（2）按系統(tǒng)運動的微分方程分：

線性振動（運動方程為線性微分方程）；非線性振動（運動方程為非線性微分方程）；（3）按系統(tǒng)輸入類型分：自由振動：系統(tǒng)只受初干擾或外界激勵取消后，系統(tǒng)僅在彈性恢復力的作用下產生振動。強迫振動：系統(tǒng)在外界激勵下產生的振動；自激振動：系統(tǒng)在輸入和輸出之間有反饋特性，并有能量補充而產生的診斷。（4）按系統(tǒng)輸出規(guī)律分：周期振動隨機振動第十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2單自由度線性系統(tǒng)的振動2.1單自由度線性系統(tǒng)的自由振動

自由振動——振體在受到初干擾（初位移或初速度）后，僅在系統(tǒng)恢復力的作用下在平衡位置附近作往復運動稱為自由振動。第十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日2.1.1無阻尼系統(tǒng)的自由振動(a)(b)(c)平衡位置第十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日（1）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解圖（b）W=F=k（2-1）圖（c）F=-k()負號表示力的方向根據(jù)牛頓第2定律F=ma得振動體的運動微分方程：W-k()=m由（2-1）得m=-k（作用在振動方向的常力只影響振動中心的位置，而不影響振動規(guī)律）第十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日（1）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解設系統(tǒng)的固有特性，固有頻率）得（二階常系數(shù)線性齊次微分方程）解：C，D待定系數(shù)代入初始條件：

所以,得方程的解第十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日（1）無阻尼系統(tǒng)自由振動的微分方程及求解令A振幅：振體偏離振動中心的最大距離相位角，A，由運動的初始條件定。第十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日（2）周期、頻率和圓頻率周期：物體作一次完全振動（來回一次）所需的時間稱為振動周期，用T表示，則物體在任一時刻t的運動狀態(tài)（位置和速度）應該與物體在t+T的運動狀態(tài)（位置和速度）相同——運動狀態(tài)具有周期性由于正弦函數(shù)的數(shù)值每經過2π重復一次，故

頻率：周期的倒數(shù)稱為頻率。它表示單位時間內（每秒）物體所作的完全振動的次數(shù)，單位為赫茲（Hz）。

圓頻率：表示振動體在2π秒內的振動次數(shù)。（弧度/秒）第十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日（2）周期、頻率和圓頻率之間的關系說明：周期、頻率或固有頻率都是由振動系統(tǒng)本身的性質所決定的量；這種由系統(tǒng)本身性質所決定的周期、頻率或圓頻率往往稱為

固有周期、固有頻率或固有圓頻率。

第十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日例：求質量—彈簧系統(tǒng)的周期、頻率或圓頻率。結論：質量—彈簧系統(tǒng)的周期、頻率和圓頻率與重力作用下的靜變形有關。代入

第十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日（3）計算固有頻率的能量法

根據(jù)能量守恒定理，系統(tǒng)的機械能守恒：T+V=常數(shù)T：動能，V：勢能具體研究質量—彈簧系統(tǒng)：振動體在任意位置且有速度，則第二十頁，共六十二頁，2022年，8月28日（3）計算固有頻率的能量法平衡位置：極限位置：在上述系統(tǒng)中：

，即代入

第二十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日（4）串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效剛度串聯(lián)彈簧

第二十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日（4）串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧的等效剛度并聯(lián)彈簧：推廣到N個并聯(lián)彈簧：

第二十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2.1.2阻尼對自由振動的影響——衰減振動(1)阻尼振動：振幅隨時間而減小的振動稱為阻尼振動。(2)粘滯阻尼的大小:當振體以不大的速度在流體介質（空氣、油類等）中運動時，介質給振體的阻尼的大小與振體速度成正比，即

——粘滯阻尼系數(shù)，取決于振體的形狀、大小和介質的性質，單位為牛頓?秒/米。

——

振體速度，米/秒。

——

牛頓。

-號表示阻尼的方向與振體速度的方向相反。第二十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日（3）單自由度有阻尼系統(tǒng)的受力分析取平衡位置為坐標原點，該系統(tǒng)的運動微分方程為方程的解可設為代入微分方程得

——

該系統(tǒng)的特征方程（二階常系數(shù)線性齊次微分方程）

第二十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日特征方程的解產生重根的情況在物理上具有特殊意義，將對應的阻尼系數(shù)稱為臨界阻尼系數(shù)。設——系統(tǒng)中實際存在的阻尼與該系統(tǒng)臨界阻尼系數(shù)之比，稱為阻尼比。第二十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日(A)小阻尼系統(tǒng)的自由振動（<1）——弱阻尼系統(tǒng)特征方程有兩個虛根：振體運動的微分方程的解為：或式中：A和取決與系統(tǒng)本身的特性和初始條件第二十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日第二十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日衰減周期和對數(shù)衰減率

衰減周期：無阻尼自由振動的周期較小，對系統(tǒng)周期影響較小。在小阻尼情況下，可忽略不計。設相鄰兩次的振幅分別為和，則振幅比為：任意兩個相鄰振幅的比值都是常數(shù)，通常用振幅比的自然對數(shù)來表示幅值的衰減率——對數(shù)衰減率（主要用于由實驗方法來確定系統(tǒng)的阻尼）

第二十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日(B)臨界阻尼系統(tǒng)的自由振動（=1）振體運動的微分方程的解為：

—按指數(shù)規(guī)律衰減的響應，A、B取決于初始條件。(C)大阻尼系統(tǒng)的自由振動（>1）——強阻尼系統(tǒng)特征方程有兩個負實根：

振體運動的微分方程的解為兩個衰減指數(shù)函數(shù)的和：取決于初始條件

第三十頁，共六十二頁，2022年，8月28日第三十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日例題1：緩沖襯墊的排列如圖所示，其中緩沖襯墊的彈簧剛度為，，，求等效彈簧剛度。解：

第三十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日例題2：已知單自由度小阻尼系統(tǒng)在時的第三個振幅比的第二個振幅降低了20%，求此系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和固有頻率。解：（1）求阻尼系數(shù)小阻尼系統(tǒng)對數(shù)衰減率：（2）求固有頻率振動周期，阻尼系統(tǒng)的固有頻率為：第三十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日2.2單自由度系統(tǒng)的受迫振動

受迫振動：振動系統(tǒng)在長時間或瞬間的激勵作用下發(fā)生的振動。

2.2.1運動微分方程及求解以靜平衡位置為坐標原點，坐標向下為正。F（t）簡諧擾力（二階常系統(tǒng)非齊次微分方程）

第三十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日2.2.1運動微分方程及求解

方程的解為：其中：為對應的齊次方程的通解，設，則

是一個衰減運動，瞬態(tài)解，通常不考慮；為特解（穩(wěn)態(tài)解）：為強迫振動的振幅，為相位角。將代入非齊次微分方程中，可得

——強迫振動的振幅和相位角只決定于系統(tǒng)本身的特性和干擾力的性質，與運動的初始條件無關。第三十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日第三十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日(1)頻率比：

穩(wěn)態(tài)解為：(2)靜力偏移

：

—力幅作用下系統(tǒng)的偏移(3)動力放大系數(shù)：

表示干擾力對振動系統(tǒng)動力作用的效果，取決于和。第三十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日(4)曲線（以為參變量）

第三十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日(4)曲線（以為參變量）A．《1，即（低頻段），接近1，接近——緩慢交變的干擾力的動力作用接近其靜力的作用。B．》1，即（高頻段），接近0，——干擾力交變極其迅速時，振體由于慣性幾乎來不及振動。C．對的各條曲線，當增大時，對于確定的和，都有相應的最大值——共振——解決問題！——求出共振時和，——求極值的問題。當值較?。▽嶋H中往往如此），認為，即干擾力頻率接近于系統(tǒng)的固有頻率時發(fā)生共振，。當，無共振現(xiàn)象。D.當=0，無阻尼自由振動。從圖上可以看出，小阻尼系統(tǒng)和無阻尼系統(tǒng)的響應沒有區(qū)別。因此，在和時可以按無阻尼系統(tǒng)來計算值。

第三十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日例題3：

在如圖所示的振動系統(tǒng)中，已知彈簧常數(shù)，物塊質量，粘滯阻尼系數(shù)，干擾力的力幅，干擾力頻率，試求振體的受迫振動。第四十頁，共六十二頁，2022年，8月28日解：分析——求和

——求和（1）求系統(tǒng)的固有頻率（注意單位）（2）求頻率比（3）求阻尼比（4）求和第四十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日2.2.2支座激勵與隔振強迫振動——外界的激勵力，位移干擾。（1）系統(tǒng)運動微分方程及求解運動微分方程為

將

方程的穩(wěn)態(tài)解為：第四十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日（2）傳遞率

:（振體振幅與支座振動的振幅的比值）（3）曲線（為參變量）第四十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日A．《1，《1，，隔振體的固有頻率遠大于激勵頻率時，≈1，沒有隔振效果。B．區(qū)域內，，振體振幅會被放大，當，發(fā)生共振。——放大區(qū)。運輸包裝工具在起制動過程中可能會經過放大區(qū)，因此隔振體（緩沖結構）應有適當?shù)淖枘?。C．，，有隔振效果，稱為隔振區(qū)。在實際應用中取。（4）傳遞率曲線分析第四十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日例4：

包裝件內裝產品在靜平衡時壓縮緩沖襯墊引起的靜變形為5.08cm，如果此包裝放在運輸車上，支座擾頻為，支座擾力幅值，求產品最大位移和最大加速度。

解：分析，求在本題中不考慮阻尼，故第四十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日（1）求系統(tǒng)固有頻率

（注意單位）（2）求傳遞率（3）求

第四十六頁，共六十二頁，2022年，8月28日2.2.3任意周期激勵力引起的強迫振動（1）非簡諧周期激振力引起的受迫振動系統(tǒng)的運動微分方程為

應用諧波分析法，可將按富里埃級數(shù)展開成一系列不同頻率的簡諧激振力，即

為常力，取靜平衡位置為坐標原點，方程中不出現(xiàn)該項。當系統(tǒng)阻尼較小時，可忽略不計，，方程的解為：

為第j階諧波響應的相位差

為第j階頻率比

第四十七頁，共六十二頁，2022年，8月28日（2）非簡諧的周期性支承運動引起的受迫振動

單自由度系統(tǒng)在支承運動作用下的穩(wěn)態(tài)響應為：

根據(jù)疊加原理，得非簡諧周期性支承運動作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應：若忽略阻尼=0，則，方程的解可簡化為：

第四十八頁，共六十二頁，2022年，8月28日2.2.4任意激勵力引起的強迫振動系統(tǒng)的運動微分方程為：

——任意激勵力，非周期，無法直接求解解決方法：任意激勵力——分解成無數(shù)多個脈沖寬度（脈沖作用時間）為無限小的脈沖，在的間隔內，系統(tǒng)質量受到一個微沖量的作用——陰影面積表示——求出單獨脈沖作用下系統(tǒng)的響應——疊加——系統(tǒng)的總響應。它包括了任意激勵力作用下的瞬態(tài)振動和激勵停止后的自由振動。若忽略阻尼，則=0，，方程的解可簡化為：

Duhamel積分法第四十九頁，共六十二頁，2022年，8月28日例5：試求有阻尼單自由度系統(tǒng)對圖2-15（a）所示的階躍函數(shù)激勵的響應。

解：單位階躍函數(shù)可表示為：階躍函數(shù)可表示為,系統(tǒng)運動微分方程為：利用Duhamel積分法，在t>0,,則響應為：對無阻尼系統(tǒng)，=0，，系統(tǒng)響應為：當時，響應達到最大，即，為靜變形的2倍，其響應曲線見圖（b）.第五十頁，共六十二頁，2022年，8月28日例6：求半周期正弦脈沖激勵對單自由度無阻尼系統(tǒng)的響應。第五十一頁，共六十二頁，2022年，8月28日解：時間間隔為的半周期正弦脈沖波形如圖a所示，可表示成：式中：

利用Duhamel積分法，半周期正弦脈沖在的響應為：

當，激振力為0，響應只取決于時的狀態(tài)，有：當?shù)闹挡煌瑫r，響應曲線不同，（c）半周期正弦脈沖的沖擊響應譜。

第五十二頁，共六十二頁，2022年，8月28日2.3多自由度線性系統(tǒng)的振動

2.3.1兩自由度線性系統(tǒng)的振動第五十三頁，共六十二頁，2022年，8月28日（1）系統(tǒng)的運動微分方程整理得：

耦合方程

引入矩陣和向量：矩陣方程第五十四頁，共六十二頁，2022年，8月28日（2）無阻尼系統(tǒng)的自由振動方程的解為：

為任意常數(shù)（由初始條件確定）為在頻率時的振幅。

基波：較低的頻率項為基波；如果，為基波。諧波：其他的項稱為諧波。其中為常數(shù)第五十五頁，共六十二頁，2022年，8月28日主振型：系統(tǒng)按給定的一個固有頻率作自由振動為主振動，系統(tǒng)作主振動的任何瞬間的各點位移之間所具有的一定比值，即整個系統(tǒng)具有確定的振動形態(tài)，成