2023高考數(shù)學(xué)課下練兵：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例

你的首選資源互助社區(qū)誠(chéng)信經(jīng)營(yíng)超值效勞——天利會(huì)員：誠(chéng)信精品——與您共建淘題精品世界第6頁(yè)共6頁(yè)第二章第十二節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例課下練兵場(chǎng)命題報(bào)告難度及題號(hào)知識(shí)點(diǎn)容易題(題號(hào))中等題(題號(hào))稍難題(題號(hào))函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)1、34、6、10函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)2、7函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)5、8、911生活中的優(yōu)化問(wèn)題12一、選擇題1.(2023·廣東高考)函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(－∞，2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2，＋∞)解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.答案：D2.函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，－5)，當(dāng)函數(shù)f(x)取得極大值－5時(shí)，x的值應(yīng)為()A.－1B.0C.1解析：可以求出f(x)＝x4－2x2＋c，其中c為常數(shù)由于f(x)過(guò)(0，－5)，所以c＝－5，又由f′(x)＝0，得極值點(diǎn)為x＝0和x＝±1.又x＝0時(shí)，f(x)＝－5，故x的值為0.答案：B3.假設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x在(－1,1)上單調(diào)遞減，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.a＜1B.a≤1C.0＜a＜1D.0＜a解析：∵f′(x)＝3ax2－3，由題意f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立.假設(shè)a≤0，顯然有f′(x)＜0；假設(shè)a＞0，由f′(x)≤0得－≤x≤，于是≥1，∴0＜a≤1，綜上知a≤1.答案：B4.假設(shè)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是先增后減的函數(shù)，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是()解析：依題意，f′(x)在[a，b]上是先增后減的函數(shù)，那么在f(x)的圖象上，各點(diǎn)的切線的斜率先隨x的增大而增大，然后隨x的增大而減小，觀察四個(gè)選項(xiàng)中的圖象，只有選項(xiàng)C滿足要求.答案：C5.函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上的值域?yàn)?)A[]B()C[]D()解析：f′(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)＋eq\f(1,2)ex(cosx－sinx)＝excosx，0≤x≤eq\f(π,2)時(shí)，f′(x)≥0，∴f(x)是[0，eq\f(π,2)]上的增函數(shù)，∴f(x)的最大值為f(eq\f(π,2))＝f(x)的最小值為f(0)＝eq\f(1,2)，∴f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的值域?yàn)閇]答案：A6.函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(π－x)，且當(dāng)x∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))時(shí)，f(x)＝x＋sinx，那么()A.f(1)<f(2)<f(3)B.f(2)<f(3)<f(1)C.f(3)<f(2)<f(1)D.f(3)<f(1)<f(2)解析：由f(x)＝f(π－x)，得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱(chēng)，又當(dāng)x∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))時(shí)，f′(x)＝1＋cosx>0恒成立，所以f(x)在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上為增函數(shù)，f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，且0<π－3<1<π－2<eq\f(π,2)，所以f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即f(3)<f(1)<f(2).答案：D二、填空題7.f(x)＝x(x－c)2在x＝2處有極大值，那么常數(shù)c的值為.解析：f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0?c＝2或c＝6.假設(shè)c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，令f′(x)＞0?x＜eq\f(2,3)或x＞2，f′(x)＜0?eq\f(2,3)＜x＜2，故函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))及(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴x＝2是極小值點(diǎn).故c＝2不合題意，c＝6.答案：68.假設(shè)函數(shù)f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為eq\f(\r(3),3)，那么a的值為.解析：f′(x)＝當(dāng)x>eq\r(a)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)－eq\r(a)<x<eq\r(a)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x＝eq\r(a)時(shí)，f(x)＝eq\f(\r(a),2a)＝eq\f(\r(3),3)，eq\r(a)＝eq\f(\r(3),2)<1，不合題意.∴f(x)max＝f(1)＝＝eq\f(\r(3),3)，a＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－19.給出定義：假設(shè)函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f′(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo)，那么稱(chēng)f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″(x)＝(f′(x))′.假設(shè)f″(x)<0在D上恒成立，那么稱(chēng)f(x)在D上為凸函數(shù).以下四個(gè)函數(shù)在(0，eq\f(π,2))上不是凸函數(shù)的是.(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.解析：對(duì)于①，f″(x)＝－(sinx＋cosx)，x∈(0，eq\f(π,2))時(shí)，f″(x)<0恒成立；對(duì)于②，f″(x)＝－，在x∈(0，eq\f(π,2))時(shí)，f″(x)<0恒成立；對(duì)于③，f″(x)＝－6x，在x∈(0，eq\f(π,2))時(shí)，f″(x)<0恒成立；對(duì)于④，f″(x)＝(2＋x)·ex在x∈(0，eq\f(π,2))時(shí)f″(x)>0恒成立，所以f(x)＝xex不是凸函數(shù).答案：④三、解答題10.(2023·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常數(shù)a>1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)假設(shè)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍.解：(1)f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a由a>1，∴2a∴令f′(x)>0，解得x>2a或x∴當(dāng)x∈(－∞，2)∪(2a，＋∞)時(shí)，f(x當(dāng)x∈(2,2a)時(shí)，f(x綜上，當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在區(qū)間(－∞，2)和(2a，＋∞)是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2(2)由(1)知，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)在x＝2a或xf(2a)＝eq\f(1,3)(2a)3－(1＋a)(2a)2＋4a·2a＝－eq\f(4,3)a3＋4a2＋24a＝－eq\f(4,3)a(a－6)(a＋3)，f(0)＝24a.解得1<a<6.故a的取范圍是(1,6).11.函數(shù)f(x)＝lnx－.(1)當(dāng)a>0時(shí)，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性；(2)假設(shè)f(x)在[1，e]上的最小值為eq\f(3,2)，求a的值.解：(1)由題得f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(a,x2)＝eq\f(x＋a,x2).∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).(2)由(1)可知：f′(x)＝，①假設(shè)a≥－1，那么x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此時(shí)f(x)在[1，e]上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝eq\f(3,2)，∴a＝－eq\f(3,2)(舍去). ②假設(shè)a≤－e，那么x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此時(shí)f(x)在[1，e]上為減函數(shù)，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝eq\f(3,2)，∴a＝－eq\f(e,2)(舍去).③假設(shè)－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a.當(dāng)1<x<－a時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上為減函數(shù)；當(dāng)－a<x<e時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝eq\f(3,2)?a＝－eq\r(e).綜上可知：a＝－eq\r(e).12.某分公司經(jīng)銷(xiāo)某種品牌的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的本錢(qián)為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a(3≤a≤5)元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x(9≤x≤11)元時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為(12－x)2萬(wàn)件.(1)求分公司一年的利潤(rùn)L(萬(wàn)元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q(a).解：(1)分公司一年的利潤(rùn)L(萬(wàn)元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：L＝(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11].(2)L′(x)＝(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)＝(12－x)(18＋2a－3x令L′(x)＝0得x＝6＋eq\f(2,3)a或x＝12(不合題意，舍去).∵3≤a≤5，∴8≤6＋eq\f(2,3)a≤eq\f(28,3).在x＝6＋eq\f(2,3)a兩側(cè)L′的值由正值變負(fù)值所以，當(dāng)8≤6＋eq\f(2,3)a≤9，即3≤a≤eq\f(9,2)時(shí)，Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)；當(dāng)9＜6＋eq\f(2,3)a≤eq\f(28,3)，即eq\f(9,2)＜a≤5時(shí)