六年級(jí)下冊(cè)奧數(shù)試題容斥原理(一)

第9講容斥原理（一）叢林中住著好多動(dòng)物，聽說獅子大王派仙鶴去統(tǒng)計(jì)鳥類的種數(shù)，蝙蝠跑過去對(duì)仙鶴說；“我有翅膀，我應(yīng)當(dāng)是屬于鳥類的?！庇谑窍生Q就把蝙蝠統(tǒng)計(jì)到鳥類的種類里去了，結(jié)果得出叢林中一共有80種鳥類。獅子大王又派大象去統(tǒng)計(jì)野獸的種類數(shù)，蝙蝠聽聞?dòng)纸y(tǒng)計(jì)獸類了，趕忙跑過去對(duì)大象說；“我沒有羽毛，我應(yīng)當(dāng)是屬于獸類的?！庇谑谴笙缶桶羊鸾y(tǒng)計(jì)到獸類的種類里去了，結(jié)果統(tǒng)計(jì)出叢林中一共有60種獸類。最后獅子大王問：“叢林中共有鳥類和獸類多少種？”狡猾的狐貍聽見了仙鶴和大象的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，快樂地向獅子大王報(bào)告：“這還不簡(jiǎn)單！叢林中共有鳥類和獸類140種?！边@個(gè)統(tǒng)計(jì)正確嗎？同學(xué)們必定會(huì)說：“不對(duì)！蝙蝠被算了兩次，應(yīng)當(dāng)再減去一，是139種?！边@個(gè)故事說了然一個(gè)數(shù)學(xué)識(shí)題，那就是被稱為“容斥原理”的包括與清除問題。當(dāng)需要計(jì)數(shù)的兩類事物相互包括（有部分重復(fù)交錯(cuò)）時(shí)，應(yīng)把重復(fù)計(jì)數(shù)的部分清除去。由此我們獲得逐漸清除法（容斥原理）：當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中減去重復(fù)部分。比如：請(qǐng)看下列圖，在長(zhǎng)為30厘米，寬為20厘米的長(zhǎng)方形鐵板上鉆了一個(gè)半徑為5厘米的圓孔，請(qǐng)問：暗影部分的面積是多少平方厘米？這個(gè)圖形是一個(gè)不規(guī)則圖形，假如我們直接計(jì)算很難，由上圖簡(jiǎn)單看出暗影面積加圓面積恰巧等于長(zhǎng)方形面積，而長(zhǎng)方形面積與圓的面積都很好計(jì)算，因此有：暗影面積=20×30-5×5×π=600-25π（平方厘米）。由此我們獲得清除法：兩個(gè)重量之和等于總量，當(dāng)計(jì)算一個(gè)重量時(shí)，可用總量減去另一個(gè)重量。即若A＋B=C，則A=C-B。請(qǐng)看下邊的例題。例1一個(gè)班有學(xué)生48人，每人起碼參加跑步、跳高兩項(xiàng)競(jìng)賽中的一項(xiàng)。已知參加跑步的有37人，參加跳高的有40人，請(qǐng)問：這兩項(xiàng)競(jìng)賽都參加的學(xué)生有多少人？剖析：兩項(xiàng)競(jìng)賽都參加的學(xué)生人數(shù)，就是參加跑步人數(shù)、參加跳高人數(shù)重復(fù)的部分，清除去重復(fù)部分，所得的就是全體參賽人數(shù)，也就是全班學(xué)生人數(shù)。解答：設(shè)兩項(xiàng)競(jìng)賽都參加的有人，那么37+40）-=48=29說明：經(jīng)過上題我們發(fā)現(xiàn)，解答這種問題最好先繪圖，它能夠幫助我們剖析數(shù)目關(guān)系。此外我們還發(fā)此刻解答問題時(shí)能夠分兩步進(jìn)行：第一步先把兩類數(shù)目加在一同，即都“包括”進(jìn)。37+40=77，第二步再減掉一個(gè)班有學(xué)生48人，這個(gè)數(shù)目，即“清除”，就能夠求出正確答案了。77-48=29。還可以這樣計(jì)算：40-（48－37）=29人。你能講出道理嗎？請(qǐng)你想想，你還可以再列出一種算式嗎？想想：假如全班有3人哪一個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目都不參加，將會(huì)得出什么結(jié)果？說明：一般地，假定擁有性質(zhì)A的事物（人）有A個(gè)，擁有性質(zhì)B的事物（人）有B個(gè)，既擁有性質(zhì)A，又擁有性質(zhì)B的事物（人）有AB個(gè)，起碼擁有A、B中一種性質(zhì)的事物（人）有個(gè)，那么：（A＋B）-AB。這個(gè)關(guān)系式可用下列圖表示：這個(gè)表示圖直觀形象地揭露了包括清除原理，同時(shí)也為計(jì)算一些組合圖形的面積供給了另一種思路。例2在1至1000這1000個(gè)自然數(shù)中，能被5或11整除的自然數(shù)一共有多少個(gè)？剖析：以下列圖，小圓表示能被11整除的自然數(shù)，大圓表示能被5整除的自然數(shù)。假如把大圓內(nèi)的200個(gè)自然數(shù)和小圓內(nèi)90個(gè)自然數(shù)相加，暗影部分的自然數(shù)事實(shí)上被加了兩次。所以要想求出：能被5或11整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)就應(yīng)當(dāng)：能被5整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)+能被11整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)－既能被5整除又能被11整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)=能被5或11整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)。解答：能被5整除的自然數(shù)有多少個(gè)？1000÷5=200有200個(gè)。能被11整除的自然數(shù)有多少個(gè)？1000÷11=9010有90個(gè)。既能被5整除又能被11整除的自然數(shù)有多少個(gè)？1000÷55=1810有18個(gè)。所以能被5或11整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)是：200+90－18=272個(gè)。例3有128位游客，此中25人既不懂英語、又不懂法語，有98人懂英語，75人懂法語，請(qǐng)問：既懂英語、又懂法語的有多少人？剖析：從128位游客中減去既不懂英語、又不懂法語的25人，剩下的128－25=103人中起碼懂一門外語（懂英語或懂法語），懂英語的98人中包括了同時(shí)懂法語的人數(shù)；懂法語的75人中也包括了同時(shí)懂英語的人數(shù)；（98+75）人恰巧比103人多出了既懂英語、又懂法語的人，所以既懂英語、又懂法語的人數(shù)=懂英語的人數(shù)+懂法語的人數(shù)－起碼懂一門外語的人數(shù)。解答：起碼懂一門外語的人數(shù)：128－25=103（人）既懂英語、又懂法語的人數(shù)：98+75－103=70（人）例460名同學(xué)面向老師站成一橫排。老師先讓同學(xué)們從左到右依據(jù)1、2、3、4、、59、60的次序挨次報(bào)數(shù)，再讓報(bào)數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)。請(qǐng)問：此刻面向老師的學(xué)生還有多少名？剖析：因?yàn)閮纱蜗蚝筠D(zhuǎn)的學(xué)生最后仍是面向老師，要想轉(zhuǎn)兩次必要既是4的倍數(shù)，又是6的倍數(shù)的數(shù)，也就是轉(zhuǎn)兩次的學(xué)生和一次都不轉(zhuǎn)的學(xué)生是最后邊向老師的。解答：從1到60中，4的倍數(shù)一共有：60÷4=15個(gè)，6的倍數(shù)一共有：60÷6=10個(gè)，既是4的倍數(shù)又是6的倍數(shù)有：60÷12=5個(gè)。一次都不轉(zhuǎn)的學(xué)生是：60－（15+10－5）=40個(gè)，轉(zhuǎn)兩次的學(xué)生有5個(gè)，所以面向老師的學(xué)生還有40+5=45個(gè)。說明：也能夠這樣想：最開始向后轉(zhuǎn)的學(xué)生（也就是背對(duì)老師的學(xué)生）有15人，而后共有10名報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，此中：報(bào)12、24、36、48、60這5個(gè)人已經(jīng)向后轉(zhuǎn)了，又第二次向后轉(zhuǎn)，結(jié)果就又面對(duì)老師了，但是報(bào)6、18、30、42、54這5個(gè)人第一次向后轉(zhuǎn)，他們背對(duì)老師。所以仍舊是有有15人背對(duì)老師，所以有：60－15=45人面向老師。例5有一根長(zhǎng)是240厘米的繩索，從一端開始每隔4厘米作一個(gè)記號(hào)，同時(shí)每隔6厘米也作一個(gè)記號(hào)，而后將標(biāo)有記號(hào)的地方剪斷，請(qǐng)問：繩索一共被剪成了多少段？剖析：繩索每隔4厘米作一個(gè)記號(hào)以及每隔6厘米作一個(gè)記號(hào)時(shí)，這樣的記號(hào)必定有重復(fù)的。因此重點(diǎn)是求出全部的記號(hào)數(shù)，而后依據(jù)“間隔問題”就能夠求出繩索一共被剪成了多少段。解答：240厘米長(zhǎng)的繩索每隔4厘米作一個(gè)記號(hào)，這樣一共有：240÷4－1=59個(gè)記號(hào)；每隔6厘米作一個(gè)記號(hào)，這樣一共有：240÷6－1=39個(gè)記號(hào)。而二者每隔12厘米重復(fù)一個(gè)記號(hào)，這樣一共重復(fù)了：240÷12－1=19個(gè)記號(hào)。所以繩索上共有記號(hào)數(shù)是：59+39－19=79，所以繩索一共被剪成了79+1=80段。例6李老師出了兩道題，全班40人中，第一道題有30人對(duì)，第2題有12人未做對(duì)，兩題都做對(duì)的有20人。請(qǐng)問：1）第2題對(duì)，但是第1題不對(duì)的有多少人？2）兩道題都不對(duì)的有幾個(gè)人？剖析：此題波及以下幾類：（1）第1題對(duì)但第2題不對(duì)的人；（2）第2題對(duì)但第1題不對(duì)的人；3）兩題都對(duì)的人；（4）兩題都不對(duì)的人；可用一個(gè)長(zhǎng)方形表示全班的人，其內(nèi)畫兩個(gè)訂交的圓，一個(gè)圓表示第1題對(duì)的人；另一個(gè)圓表示第2題對(duì)的人；兩圓訂交的公共部分表示兩題都對(duì)的人；長(zhǎng)方形內(nèi)、兩圓以外的部分表示兩題都不對(duì)的人，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算。解答：用A表示“第1題對(duì)第2題不對(duì)的人數(shù)”；用B表示“第2題對(duì)第1題不對(duì)的人數(shù)”；用C表示“兩題都對(duì)的人數(shù)”；用D表示“兩題都不對(duì)的人數(shù)”；據(jù)題意A+B+C+D=40（1）A+C=30

（2）A+D=12

（3）C=20

（4）比較（比較（比較（答：第

2）、（4），可得A=10（5）3）、（5），可得D=2（6）1）、（4）、（5）、（6），可得B=82題對(duì)第1題不對(duì)的有8人，兩題都不對(duì)的有

2人。說明：“兩題起碼有1題做對(duì)的人數(shù)=第1題做對(duì)的人數(shù)+第2題做對(duì)的人數(shù)-兩題都做對(duì)的人數(shù)?！边@往常表示的是簡(jiǎn)單的容斥原理。在解決這種問題時(shí)，也經(jīng)常照例6的方法進(jìn)行分類，這樣做思慮起較為簡(jiǎn)易。閱讀資料數(shù)學(xué)家名言阿基米德說：“給我一個(gè)立足點(diǎn)，我就能夠挪動(dòng)地球?！睌?shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)目關(guān)系和空間形式的。簡(jiǎn)單的說，是研究數(shù)與形的科學(xué)。（高斯）數(shù)學(xué)是科學(xué)以后，是科學(xué)之門和鑰，和邏輯組合成科學(xué)的兩眼。（托爾斯泰）在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們?cè)趺粗朗裁?。（畢達(dá)哥拉斯）練習(xí)題1．五（4）班的同學(xué)中有32人喜愛音樂，27人喜愛美術(shù)，音樂和美術(shù)都喜愛的有11人，請(qǐng)問：五（4）班的學(xué)生中喜愛音樂或美術(shù)的一共有多少人？剖析：我們能夠繪圖，用A圓表示喜愛音樂的人數(shù)32人，用B圓表示喜愛美術(shù)的人數(shù)27人，圖中兩個(gè)圓的公共部分就表示音樂和美術(shù)都喜愛的人數(shù)11人。整個(gè)圖表示五（4）班的學(xué)生中喜愛音樂或美術(shù)的一共的人數(shù)。解答：經(jīng)過你自己繪圖，察看圖能夠看出：32+27－11=48人，就表示五（4）班的學(xué)生中喜愛音樂或美術(shù)的一共的人數(shù)。答：五（

4）班的學(xué)生中喜愛音樂或美術(shù)的一共有

48人。2．某一個(gè)班共有學(xué)生

50人，參加文藝活動(dòng)的有

28人，參加體育活動(dòng)的有

30人，而且全班每人起碼參加一項(xiàng)活動(dòng)（僅限文藝活動(dòng)或體育活動(dòng)），請(qǐng)問：這個(gè)班這兩項(xiàng)活動(dòng)都參加的有多少人？剖析：我們?nèi)允窍壤L圖，用A圓表示參加體育活動(dòng)的30人，用B圓表示參加文藝活動(dòng)的28人，整個(gè)圖表示全班的總?cè)藬?shù)50人，兩圓的公共部分表示兩項(xiàng)活動(dòng)都參加的人數(shù)。從圖中能夠看出：參加體育活動(dòng)的30人加上參加文藝活動(dòng)的28人就是：30+28=58人，比全班的總?cè)藬?shù)50人還多出：58－50=8人，這里的8個(gè)人就是因?yàn)楣膊糠种貜?fù)統(tǒng)計(jì)了一次。解答：30+28=58人表示全班的總?cè)藬?shù)50人和公共部分重復(fù)統(tǒng)計(jì)了一次的總數(shù)目，58－50=8人，這里的8個(gè)人就是這個(gè)班這兩項(xiàng)活動(dòng)都參加的人數(shù)。3．育才小學(xué)參加數(shù)學(xué)思想訓(xùn)練班的100名學(xué)生中，會(huì)騎自行車的有95人，會(huì)滑旱冰的有48人，這兩項(xiàng)體育活動(dòng)都不會(huì)的有3人，請(qǐng)問：這兩項(xiàng)體育活動(dòng)都會(huì)的有多少人？剖析與解答：我們用A圓表示會(huì)騎車的人數(shù)，B圓表示會(huì)滑旱冰的人數(shù)，兩圓公共部分表示這兩項(xiàng)體育活動(dòng)都會(huì)的人數(shù)，長(zhǎng)方形表示100人，長(zhǎng)方形內(nèi)兩圓以外的部分表示這兩項(xiàng)體育活動(dòng)都不會(huì)的人數(shù)。從圖中你不難發(fā)現(xiàn)，用總?cè)藬?shù)100人減去這兩項(xiàng)體育活動(dòng)都不會(huì)的人數(shù)獲得的是會(huì)騎車或會(huì)滑旱冰的總?cè)藬?shù)，即起碼會(huì)一項(xiàng)體育活動(dòng)的人數(shù)為100-3=97人。又因?yàn)闀?huì)騎車人數(shù)加上會(huì)滑旱冰人數(shù)有95+48=143人，比97人多143-97=46人。即兩圓公共部分為重復(fù)計(jì)算的46人。所以這兩項(xiàng)體育活動(dòng)都會(huì)的有46人。4．請(qǐng)問：在1——100的這100個(gè)自然數(shù)中，除以4或除以5。沒有余數(shù)的自然數(shù)一共有多少個(gè)？剖析與解答：我們能夠這樣想，1——100中除以4沒有余數(shù)的數(shù)挨次有4，8，12，16，20，92，96，100共25個(gè)，而被5除沒有余數(shù)的挨次有5，10，15，20，，95，100共20個(gè)。此外我們還發(fā)現(xiàn)像20這樣的數(shù)，在除以4而沒有余數(shù)的數(shù)中被統(tǒng)計(jì)了一次，在除以5而沒有余數(shù)的數(shù)中又被統(tǒng)計(jì)了一次，即統(tǒng)計(jì)了兩次，多統(tǒng)計(jì)了一次，應(yīng)當(dāng)將它們清除出去。像這樣的數(shù)還有40，60，80，100，共有5個(gè)。所以正確的答案應(yīng)當(dāng)是25+20-5=40個(gè)。5．兩張長(zhǎng)15厘米，寬5厘米的長(zhǎng)方形紙，擺放成以下形狀，將它們放在桌面上，請(qǐng)問：覆蓋桌子的面積是多少平方厘米？剖析與解答：已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是15厘米，寬是5厘米，依據(jù)長(zhǎng)方形面積公式能夠求出每塊長(zhǎng)方形紙的面積是15×5=75平方厘米，它們的面積和是75×2=150平方厘米。此外，我們還發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)長(zhǎng)方形紙如圖擺放產(chǎn)生了重疊，重疊部分正好是一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)是5厘米，面積是25平方厘米，求覆蓋桌面面積還應(yīng)減去25平方厘米。所以覆蓋面積是150-25=125平方厘米。答：它的覆蓋面積是125平方厘米。6．一次數(shù)學(xué)小測(cè)試只有兩道題，結(jié)果全班有10人全對(duì)，第一題有25人做對(duì)，第二題有18人做錯(cuò)。請(qǐng)問：兩道題都做錯(cuò)的有幾個(gè)人？剖析與解答：我們用A圓表示第一題全對(duì)的，B圓表示第二題全對(duì)的，兩圓公共部分表示兩題全對(duì)的，長(zhǎng)方形表示參加考試人數(shù)，長(zhǎng)方形內(nèi)兩個(gè)圓表面示兩道題全錯(cuò)的人數(shù)。因?yàn)榈谝活}對(duì)的有25人，兩道題全對(duì)的有

10人，所以第一題對(duì)第二題錯(cuò)的有

15人。又因?yàn)榈诙}

18人做錯(cuò)，

18人比

15人多

3人，所以這三人只好是第一題錯(cuò)，第二題也錯(cuò)，即兩道題都錯(cuò)的有

3人。答：全錯(cuò)的有

3人。7．有50個(gè)女孩，她們的皮膚有白的或淺黑色的，眼睛則是藍(lán)色的或褐色的，假如有14個(gè)藍(lán)眼睛白膚色，31個(gè)是淺黑膚色，18個(gè)是褐色眼睛，請(qǐng)問：褐色眼睛淺黑膚色的女孩有多少個(gè)？剖析與解答：建議同學(xué)們畫一個(gè)“統(tǒng)計(jì)表”，因?yàn)楹稚劬ε⑹?8人，所以藍(lán)色眼睛女孩是：50-18=32

人。又因?yàn)樗{(lán)眼睛白膚色女孩是

14人，所以藍(lán)眼睛淺黑膚色女孩是

32-14=18人。又因?yàn)闇\黑膚色女孩是

31人，所以褐色眼睛淺黑膚色女孩有

31-18=13

人。還有一種方法，請(qǐng)你試一試。8．一個(gè)班有

42名同學(xué)，參加體育代表隊(duì)的學(xué)生有

30人，參加文藝代表隊(duì)的學(xué)生有

25人，而且這個(gè)班的每一名學(xué)生都起碼參加了一個(gè)隊(duì)，請(qǐng)問；這個(gè)班兩個(gè)隊(duì)都參加的有多少名學(xué)生？剖析：往常能夠畫一個(gè)圖幫助思慮，畫兩個(gè)訂交的圓，此中一個(gè)圓表示體育代表隊(duì)，另一個(gè)圓表示文藝代表隊(duì)，兩個(gè)圓交錯(cuò)的部分表示兩個(gè)隊(duì)都參加的。兩個(gè)圓的內(nèi)部一共有

42個(gè)人，而體育代表隊(duì)的圓中有

30個(gè)人，文藝代表隊(duì)的圓中有

25個(gè)人，但是

30+25=55

大于

42，這是因?yàn)閮蓚€(gè)隊(duì)都參加的那些學(xué)生被計(jì)算了兩次。解答：從這個(gè)班的42名同學(xué)和被計(jì)算了兩次的那些兩個(gè)隊(duì)都參加的學(xué)生中減去全班的學(xué)生人數(shù)就是兩個(gè)隊(duì)都參加的學(xué)生的人數(shù)。30+25－42=1