數(shù)值積分和數(shù)值微分

數(shù)值積分和數(shù)值微分第一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

5.1NumericalIntegrationBasedonInterpolation

數(shù)值積分的基本思想

許多實(shí)際問題需要計(jì)算定積分。如一塊鋁合金板，壓成波紋板，其截面為正弦曲線，已知波紋板長(zhǎng)度，求原材料鋁合金板的長(zhǎng)度(假設(shè)沖壓過程鋁合金板尺寸不變)，這就是求f(x)=sinx，叢x=0到x=l的曲線弧長(zhǎng)L,即第2類橢圓積分

(5.1.1)

另外解微分方程和積分方程也涉及計(jì)算定積分。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分第二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

如果存在被積函數(shù)的原函數(shù)，則可由

(5.1.2)

計(jì)算定積分。 這僅適用于簡(jiǎn)單的或特殊的場(chǎng)合。大量的定積分中的被積函數(shù)，諸如第2類橢圓積分以及sinx2， ， ， ，等等，不存在用初等函數(shù)表示的原函數(shù)，或原函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)有無定義點(diǎn)，以及大部分無窮積分，另外，當(dāng)f(x)由離散數(shù)據(jù)給出時(shí)，也無法用Newton-Leibniz公式。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分插值型求積公式第三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

積分中值定理告訴我們，在積分區(qū)間[a,b]內(nèi)存在一點(diǎn)，使得 即底為(b-a)，高為f()的矩形面積恰等于所求曲邊梯形的面積I，f()稱為區(qū)間[a,b]上f(x)的平均高度。問題是不知道點(diǎn)的具體位置，難以算出f()的準(zhǔn)確值。因此，只要對(duì)平均高度f()提供一種算法，相應(yīng)的就有一種求積方法。 如果用積分區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b),或

作為f(x)的近似值，則求積近似公式分別為

(ba)f(a)，(ba)f(b)，(ba)

后者稱為中矩形公式。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分插值型求積公式第四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

如果以區(qū)間兩端點(diǎn)函數(shù)值的算術(shù)平均值作為f()的近似值，則求積公式為

(5.2.1)

它是以直線代替曲線，用梯形面積近似曲邊梯形面積，故稱梯形公式。 一般的，可以在區(qū)間[a,b]上適當(dāng)選取某些節(jié)點(diǎn)xk，將f(xk)加權(quán)平均得到平均值f()的近似值，如此構(gòu)造出的求積公式具有如下形式 式中xk為求積節(jié)點(diǎn)，Ak為求積系數(shù)，即伴隨節(jié)點(diǎn)xk的權(quán)系數(shù)。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分插值型求積公式第五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 這類數(shù)值積分的方法通常稱作機(jī)械求積，其特點(diǎn)是將定積分求值問題歸結(jié)為被積函數(shù)值的計(jì)算，這就避開了Newton-Leibniz公式需要原函數(shù)的困難。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分插值型求積公式第六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

插值型求積公式 設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)

ax0<x1<<xnb， 且已知函數(shù)f(x)在這組節(jié)點(diǎn)的值，作Lagrange插值函數(shù)

由于代數(shù)多項(xiàng)式Ln(x)的原函數(shù)易求，用Ln(x)代替f(x)即可得到 的近似值

(5.1.4)第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分插值型求積公式第七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

(5.2.4)

為插值型求積公式，式中

(5.2.5)

為求積系數(shù)。因此，Ak僅與節(jié)點(diǎn)xk的選取有關(guān)，不依賴于被積函數(shù)f(x)的的具體形式。 由插值余項(xiàng)定理，若f(x)Cn+1[a,b]，插值余項(xiàng)為 x[a,b]

x(a,b)

于是插值型求積公式的余項(xiàng)為

(5.2.6)第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分插值型求積公式第八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

5.2梯形公式和Simpson公式

若取積分區(qū)間[a,b]的2個(gè)端點(diǎn)(a,f(a))和(b,f(b)作為插值節(jié)點(diǎn)，1次Lagrange插值基函數(shù)為 代入式(5.2.5)，有 ，代入式(5.2.4)，得

(5.2.1)

稱為梯形公式。插值余項(xiàng)為

第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分第九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 代入式(5.2.6)，有 因?yàn)?x-a)(x-b)在[a,b]上不變號(hào)，由積分中值定理得

(5.2.2)

稱為梯形公式的余項(xiàng)，其中h=ba。 若在積分區(qū)間[a,b]上取的3個(gè)插值節(jié)點(diǎn)x0=a， 和x2=b，2次Lagrange插值基函數(shù)為 代入式(5.2.5)，有第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分梯形公式和Simpson公式第十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 其中h=(ba)/2。代入式(5.2.4)，有

(5.2.3)

稱為Simpson求積公式。插值余項(xiàng)為 代入式(5.2.6)，有 該式不能用積分中值定理。定理解決這個(gè)問題。

第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分梯形公式和Simpson公式第十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日定理

設(shè)插值節(jié)點(diǎn)距離h=(ba)/n，有求積公式

(1) 若n為偶數(shù)，f(x)Cn+2[a,b]，則存在(a,b)，使

(5.2.7)

(2) 若n為奇數(shù)，f(x)Cn+1[a,b]，則存在(a,b)，使

(5.2.8)

由式(5.2.8)，令n=1，得到梯形公式的余項(xiàng)(5.2.2)； 由式(5.2.7)，令n=2，得到Simpson公式的余項(xiàng) 余項(xiàng)可以衡量數(shù)值求積公式的精確度。衡量數(shù)值求積公式精度的另一個(gè)概念是代數(shù)精確度。 第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分梯形公式和Simpson公式第十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 數(shù)值求積方法是近似方法，如用插值多項(xiàng)式代替被積函數(shù)，為保證精度，希望求積公式能對(duì)‘盡可能多的’函數(shù)準(zhǔn)確成立。這就提出了代數(shù)精確度的概念。

定義

如果定積分I(f)的某個(gè)近似求積公式In(f)對(duì)于一切不高于m次的代數(shù)多項(xiàng)式Pm準(zhǔn)確成立，即I(Pm)=In(Pm)，而對(duì)于某個(gè)m+1次多項(xiàng)式并不準(zhǔn)確成立，即I(Pm+1)In(Pm+1)，則說近似求積公式In(f)具有m次代數(shù)精確度。 根據(jù)定理，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Pn+1的n+2階導(dǎo)數(shù)為0,因此求積公式對(duì)不超過n+1次的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，求積公式的代數(shù)精確度為n。 易驗(yàn)證梯形公式的代數(shù)精確度為1，Simpson的為3。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分梯形公式和Simpson公式第十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 例5.2.1 求積公式 已知其余項(xiàng)的表達(dá)式為R(f)=kf(),(0,1)，試確定系數(shù)A0，A1，B0使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精確度，并給出該求積公式的余項(xiàng)和代數(shù)精確度的次數(shù)。 解 分別令f(x)=1,x,x2，代入求積公式，有

f(x) In(f) = I(f) R(f) f(0) f(1) f(0) 1 A0+A1 = 1 0 1 1 0

x

A1+B0 = ? 0 0 1 1

x2

A1 = ? 0 0 1 0

x3

?

?? 6k

0 1 0第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分梯形公式和Simpson公式第十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 解方程組得A1=?，A0=?，B0=1/6，于是有 然后驗(yàn)證f(x)=x3時(shí)求積公式是否準(zhǔn)確成立，見上頁(yè)表底行，顯然不準(zhǔn)確成立，代數(shù)精確度是2。 同時(shí)得到6k=1/4

?=1/12，余項(xiàng) 一般的，欲使求積公式具有m次代數(shù)精確度，令其對(duì)于f(x)=1,x,x2,,xm都能準(zhǔn)確成立，這就是m+1個(gè)方程。若正好有m+1個(gè)待定參數(shù)，則由此解出這m+1個(gè)待定參數(shù)所得之求積公式至少具有m次代數(shù)精確度。若對(duì)f(x)=xm+1仍準(zhǔn)確成立，但對(duì)f(x)=xm+2不準(zhǔn)確成立，則具有m+1次代數(shù)精確度。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分梯形公式和Simpson公式第十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

eg.Problem5.1(2)。此時(shí)令f(x)=1,x,x2,,xm+1所得m+2個(gè)方程不是矛盾方程組。若是，則無解，代數(shù)精確度小于m+1次。

由定理，n越大(h越小)，插值型求積公式的余項(xiàng)越小，代數(shù)精確度越高。但是，由于高階插值會(huì)出現(xiàn)Lunge現(xiàn)象，因此高階插值型求積公式存在不穩(wěn)定問題。所以，當(dāng)積分區(qū)間大時(shí)，通常不用高階求積公式，而是將區(qū)間分段，在每一段上用低階求積公式，稱為復(fù)化求積公式。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分梯形公式和Simpson公式第十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式

將[a,b]等分成n個(gè)子區(qū)間：a=x0<x1<<xn=b。 每個(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度h=hk=(ba)/n，分點(diǎn)的坐標(biāo)為xk=a+kh，k=0,1,2,,n，則 在每個(gè)子區(qū)間上，用梯形公式，則有

(5.2.9)

稱Tn(f)為復(fù)化梯形公式。其余項(xiàng)為第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分梯形公式和Simpson公式第十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

(5.2.10)

將[a,b]等分成n個(gè)子區(qū)間： a=x0<x2<x4<<x2n=b

每個(gè)子區(qū)間[x2k,x2k+2]的長(zhǎng)度為2h，h=(ba)/2n，子區(qū)間端點(diǎn)的坐標(biāo)為x2k=a+2kh，k=0,1,2,,n，子區(qū)間中點(diǎn)的坐標(biāo)為

x2k+1=a+(2k+1)h，k=0,1,2,,n1，則 在每個(gè)子區(qū)間上，用Simpson公式，則有第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分梯形公式和Simpson公式第十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

(5.2.11)

稱Sn(f)為復(fù)化Simpson公式。其余項(xiàng)為

(5.2.12)

例5.2.2分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算 使誤差不超過210-5，問分別需取若干個(gè)節(jié)點(diǎn)？第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分梯形公式和Simpson公式第十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

解 分別由復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式的余項(xiàng)從理論上作事前估計(jì)：{f()=-sin

，f(4)()=sin}

因此，復(fù)化梯形公式需取361個(gè)節(jié)點(diǎn)(即須計(jì)算361次函數(shù)值)，復(fù)化Simpson公式需取19個(gè)節(jié)點(diǎn)。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分梯形公式和Simpson公式第二十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

復(fù)化求積公式的收斂性和收斂階

定義5.2.2

若 ，則稱求積公式In是p階收斂的。 顯然，復(fù)化梯形公式是2階收斂的，復(fù)化Simpson公式是4階收斂的(根據(jù)余項(xiàng)I(f)In中的h方次)。

定理5.2.2 設(shè)f(x)在[a,b]上黎曼可積，則當(dāng)分點(diǎn)無限增多，即n且h0時(shí)，復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式收斂到積分 。

證 對(duì)于復(fù)化梯形公式(5.2.9)，可表示為第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分梯形公式和Simpson公式第二十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 因?yàn)閒(x)在[a,b]上黎曼可積，并注意到，當(dāng)n時(shí)，由于h=(ba)/n，有h=(xk+1xk)=x0，所以 這就證明了復(fù)化梯形公式的收斂性。 用同樣的方法證明復(fù)化Simpson公式的收斂性(Note：h=x/2)

第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分梯形公式和Simpson公式第二十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

5.3Gauss求積公式 前面構(gòu)造的插值型求積公式中，如梯形公式，由于求積節(jié)點(diǎn)x0、x1給定為區(qū)間端點(diǎn)a、b，因而只有2個(gè)待定參數(shù)A0、A1

，對(duì)應(yīng)2個(gè)方程，代數(shù)精確度只有1。 若x0、x1、A0、A1

這4個(gè)參數(shù)皆由f(x)=1,x,x2,x3對(duì)應(yīng)的4個(gè)方程確定，則至少可達(dá)3次代數(shù)精確度。

例

第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第二十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 一般的，帶權(quán)定積分

(5.3.1)

其中(x)0為權(quán)函數(shù)。當(dāng)(x)=1時(shí)，即是普通積分。 若以n階多項(xiàng)式近似被積函數(shù)，則有n+1個(gè)求積節(jié)點(diǎn)和n+1個(gè)求積系數(shù)，共有2n+2個(gè)參數(shù)待定。利用代數(shù)精確度的概念，可建立2n+2個(gè)方程，即令f(x)=1,x,x2,,x2n+1，使求積公式

(5.3.2)

成立。從而可使求積公式至少達(dá)到2n+1次代數(shù)精確度，這種求積公式稱為Gauss型的。與等距插值節(jié)點(diǎn)的一般插值型求積公式至少有n次代數(shù)精確度相比，其代數(shù)精確度次數(shù)大幅提高第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第二十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

定義5.3.1 選互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,,xn，使插值型求積公式(5.3.2)的代數(shù)精確度為2n+1，則稱該求積公式為Gauss型的。稱這些節(jié)點(diǎn)為Gauss點(diǎn)。 如果像例那樣直接利用代數(shù)精確度的概念列出2n+2個(gè)非線性方程組聯(lián)立求解得到n+1個(gè)求積節(jié)點(diǎn)和n+1個(gè)求積系數(shù)，雖然方程組是可解的，但當(dāng)n稍大，就非常困難。 由于Gauss型求積公式是插值型求積公式，只要Gauss點(diǎn)確定了，利用插值原理就可確定求積系數(shù)

(5.3.3)

其中l(wèi)k(x)是關(guān)于Gauss點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第二十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

這就得到了插值型Gauss求積公式

(5.3.4)

因此，構(gòu)造Gauss型求積公式的關(guān)鍵是求Gauss點(diǎn)。

定理及其推論給出了求Gauss點(diǎn)的方法：利用正交多項(xiàng)式

5.3.1Gauss點(diǎn)與正交多項(xiàng)式零點(diǎn)的關(guān)系

定理

5.3.1

對(duì)于插值型求積公式(5.3.4)，其節(jié)點(diǎn)x0,x1,,xn是Gauss點(diǎn)的充分必要條件是wn+1(x)=(xx0)(xx1)(xxn)與任意不超過n次的多項(xiàng)式P(x)帶權(quán)正交，即第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第二十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

證 先證必要性，即

x0,x1,,xn是Gauss點(diǎn)

因?yàn)閤0,x1,,xn是Gauss點(diǎn)，由Gauss點(diǎn)的定義，它們使求積公式

(5.3.4)具有2n+1次代數(shù)精確度。因此，對(duì)于不超過2n+1次的多項(xiàng)式P(x)wn+1(x)，求積公式(5.3.4)準(zhǔn)確成立，即

右邊和式中wn+1(xk)=0(k=0,1,2,,n)

，所以

第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第二十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 再證充分性，即

x0,x1,,xn是Gauss點(diǎn)

由Gauss點(diǎn)的定義(定義5.3.1)，Gauss點(diǎn)是使求積公式

(5.3.4)具有2n+1次代數(shù)精確度的點(diǎn)，而要說明求積公式具有2n+1次代數(shù)精確度，只要證明在條件 成立時(shí)，當(dāng)f(x)是任意不超過2n+1次的多項(xiàng)式時(shí)，求積公式準(zhǔn)確成立。 設(shè)f(x)是任意不超過2n+1次的多項(xiàng)式，用wn+1(x)除f(x)，其商為P(x)，余項(xiàng)為Q(x)，即

(5.3.5)

其中P(x)和Q(x)均是不超過n次的多項(xiàng)式。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第二十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 對(duì)上式帶權(quán)積分：

由定理?xiàng)l件，等式右端第1個(gè)積分等于0。 對(duì)于(n+1)插值節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式，根據(jù)定義和定理5.2.1(代數(shù)精確度)，至少具有n次代數(shù)精確度，所以，對(duì)于不超過n次的多項(xiàng)式Q(x)，求積公式準(zhǔn)確成立： 由于wn+1(xk)=0(k=0,1,2,,n)， 所以第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第二十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 即，對(duì)于不超過2n+1次的多項(xiàng)式f(x)，求積公式

(5.3.4)準(zhǔn)確成立，x0,x1,,xn是Gauss點(diǎn)。 定理得證

推論

5.3.1 [a,b]上帶權(quán)(x)的正交多項(xiàng)式n+1(x)的零點(diǎn)就是Gauss點(diǎn)。

(1) 根據(jù)定理(P.140)的第2個(gè)結(jié)論，正交多項(xiàng)式n+1(x)與比其次數(shù)低的任意多項(xiàng)式P(x)均正交。

(2) 根據(jù)定理(P.143)，n+1次正交多項(xiàng)式n+1(x)正好有n+1個(gè)互異的實(shí)的單根，且都在[a,b]

內(nèi)。

所以推論成立。

例

第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第三十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

5.3.2常用的Gauss型求積公式

0．常用于Gauss型求積公式的正交多項(xiàng)式

Legendre多項(xiàng)式

Legendre多項(xiàng)式是在區(qū)間[-1,1]上權(quán)函數(shù)為(x)=1的正交多項(xiàng)式，由式(4.5.23)定義

(4.5.23)

三項(xiàng)遞推公式

(4.5.24)第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第三十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 前幾個(gè)Legendre多項(xiàng)式

(4.5.26)

正交關(guān)系是

(4.5.25)

它們的根都是單根，在區(qū)間(-1,1)內(nèi)，并且對(duì)稱于原點(diǎn)。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第三十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 求出它們的根，根據(jù)推論，就分別得到n=0,1,2,的Gauss點(diǎn)，用于構(gòu)造Gauss-Legendre求積公式。

Chebyshev多項(xiàng)式

Chebyshev多項(xiàng)式是由

Tn(x)=cos(narccosx), n=0,1,2, (4.5.18)

定義的，在區(qū)間[-1,1]上權(quán)函數(shù)為 的正交多項(xiàng)式， 并且有三項(xiàng)遞推公式

(4.5.19)

令=arccosx(x=-1,=；x=1,=0)，則Tn(x)=cos(n)，于是有第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第三十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

由三角函數(shù)的正交性得

(4.5.20)

另一方面，由三角函數(shù)和差與積的關(guān)系

2coscos(n)=cos(n+1)+cos(n-1)

(x) (Tn(x))

(Tn+1(x)) (Tn-1(x))

得到三項(xiàng)遞推公式(4.5.19)。 前幾個(gè)Chebyshev多項(xiàng)式 第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第三十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

(4.5.21)

它們的根都是單根，在區(qū)間(-1,1)內(nèi)，并且對(duì)稱于原點(diǎn)。求出它們的根，就分別得到n=0,1,2,的Gauss點(diǎn)，用于構(gòu)造Gauss-Chebyshev求積公式。 由Tn(x)=cos(n)和x=cos

很容易得到Tn(x)的n個(gè)根為

(4.5.22)

使用時(shí)要注意權(quán)函數(shù)(x)匹配。n=/2,3/2,=(k1/2),k=1,2,,n第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第三十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

1．Gauss-Legendre求積公式。

p2(x)=(3x2-1)/2的零點(diǎn) 是n=1時(shí)的Gauss點(diǎn)，由求積系數(shù)公式式(5.3.3)或式(5.2.5)有

其中， ，求得A0=A1=1，構(gòu)造出2點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式

(5.3.9)

與例結(jié)果相同，所以代數(shù)精確度為3=2n+1。得到Gauss點(diǎn)后，也可利用代數(shù)精確度的概念，分別令f(x)=1,x，代入下式

(5.3.8)第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第三十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 使它準(zhǔn)確成立，同樣得到A0=A1=1。再分別令f(x)=x2,x3，代入式(5.3.8)，該式準(zhǔn)確成立，代數(shù)精確度的確不小于3。

p3(x)=(5x3-3x)/2的零點(diǎn) ，是n=2時(shí)的Gauss點(diǎn)，用與n=1時(shí)同樣的方法求出求積系數(shù)A0=A2=5/9，A1=8/9，構(gòu)造出代數(shù)精確度為5的3點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式

(5.3.10)

當(dāng)n=3,4,5,可求出相應(yīng)的xk和Ak。為便于應(yīng)用，可將其制成表，如表5-1。只要查表就可方便地寫出n+1點(diǎn)的Gauss-Legendre求積公式。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第三十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 由于Gauss-Legendre求積公式的積分區(qū)間固定為[-1,1]，因此，對(duì)于任意區(qū)間[a,b]上的積分，套用Gauss-Legendre求積公式時(shí),需要作變量置換

x=(a+b)/2+(ba)t/2

使x[a,b]時(shí)，t[-1,1]，于是有

(5.3.11)

式中tk是Gauss點(diǎn)，Ak是求積系數(shù)，用表5-1中相應(yīng)的值。

例第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第三十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

復(fù)化Gauss-Legendre求積公式 將積分區(qū)間[a,b]等分為n個(gè)子區(qū)間[xk,xk+1]，每個(gè)子區(qū)間長(zhǎng)度為h=(ba)/n，分點(diǎn)為xk=a+kh(k=0,1,2,,n)，在每個(gè)子區(qū)間上，用2點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式

在區(qū)間[a,b]上的復(fù)化積分公式為

第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第三十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

(5.3.12)

稱為復(fù)化Gauss-LegendreI型求積公式。

將[a,b]等分成n個(gè)子區(qū)間：a=x0<x2<x4<<x2n=b。每個(gè)子區(qū)間[x2k,x2k+2]的長(zhǎng)度為2h，h=(ba)/2n，子區(qū)間端點(diǎn)的坐標(biāo)為x2k=a+2kh，k=0,1,2,,n，子區(qū)間中點(diǎn)的坐標(biāo)為x2k+1=a+(2k+1)h,k=0,1,2,,n1，在每個(gè)子區(qū)間上用3點(diǎn)Gauss-Legendre公式第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第四十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 在區(qū)間[a,b]上的復(fù)化積分公式為

(5.3.13)

稱為復(fù)化Gauss-LegendreII型求積公式。

例

5.3.4 給定積分 ，分別用

3段復(fù)化梯形公式， 2段復(fù)化Simpson公式

4點(diǎn)Gauss-Legendre公式， 2段Gauss-LegendreI型公式 計(jì)算，并比較計(jì)算結(jié)果。

解

(1) 3段4點(diǎn)復(fù)化梯形公式：h=/6,x0=0,x1=/6,x2=/3,x3=/2第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第四十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

1位有效數(shù)字。

(2) 2段5點(diǎn)復(fù)化Simpson公式：h=/8,x0=0,x1=/8,x2=/4,

x3=3/8,x4=/2

2位有效數(shù)字。0.0005108第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第四十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

(3)4點(diǎn)Gauss-Legendre公式：x=(1+t)/4，dx=(/4)dt；由表5-1-t0=t3=0.861136,t2=-t1=0.339981,A0,3=0.34758，A1,2=0.652145

4位有效數(shù)字。0.0000279 (4)2段復(fù)化Gauss-LegendreI型公式：h=/4,A0=A1=1,t1=-t0=

x0=0，x1+h/2=/4+/8，x2=/2，代入式(5.3.12)第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第四十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

3位有效數(shù)字。0.00034

顯然，Gauss求積公式精度最高，特別是4點(diǎn)Gauss公式。

2．Gauss-Chebyshev求積公式

Chebyshev多項(xiàng)式

Tn(x)=cos(narccosx), n=0,1,2, (4.5.18)

的零點(diǎn)，式(4.5.22)，重現(xiàn)于此

可證明相應(yīng)的求積系數(shù)

(5.3.14)

其中，lk(x)是關(guān)于所選Gauss點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第四十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

Gauss-Chebyshev求積公式

(5.3.15)

當(dāng)n=1時(shí)，Gauss點(diǎn)為2次Chebyshev多項(xiàng)式T2(x)=2x21的零點(diǎn)

由式(5.3.14)，A0=A1=/2，得到2點(diǎn)Gauss-Chebyshev求積公式

(5.3.16)

當(dāng)n=2時(shí)，可用同樣方法構(gòu)造出3點(diǎn)Gauss-Chebyshev求積公式

(5.3.17)

n=1,2,3,4,5,,Chebyshev多項(xiàng)式的零點(diǎn)如表5-2.第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第四十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

5.3.3Gauss型求積公式的余項(xiàng)

定理

5.3.2 設(shè)f(x)C2n+2[a,b]，則Gauss求積公式 的余項(xiàng)是

(4.5.18)

證 因?yàn)镚auss求積公式也是插值型的，可用插值原理證明。 由于Gauss點(diǎn)是使求積公式達(dá)到2n+1次代數(shù)精確度的點(diǎn)，因此構(gòu)造在Gauss點(diǎn)滿足插值條件

H(xk)=f(xk)，H(xk)=f(xk)，k=0,1,2,,

n

的不超過2n+1次的Hermite插值多項(xiàng)式H(x)，其插值余項(xiàng)是第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第四十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

代入定積分則有

(5.3.19)

根據(jù)Gauss求積公式的定義和插值條件有

(5.3.20)

另一方面， 在[a,b]內(nèi)保號(hào)且可積，因此對(duì)于(5.3.19)式右端項(xiàng)積分利用積分中值定理有

(5.3.21)

將(5.3.20)式和(5.3.21)式代入(5.3.19)式，即得(5.3.18)式。 定理得證第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第四十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 例如，2點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式，Gauss點(diǎn) 代入(5.3.18)式，得到n=1的Gauss-Legendre求積公式的余項(xiàng)

n=1的Gauss-Chebyshev求積公式，Gauss點(diǎn) 代入(5.3.18)式，得到2點(diǎn)Gauss-Chebyshev求積公式的余項(xiàng)

其中積分第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第四十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

5.3.4Gauss型求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性 如果在求積公式 中函數(shù)有舍入誤差 令 ，并記求積公式的誤差 。

定義

5.3.2 如果C，其中C是與無關(guān)的常數(shù)， 則說求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的。 由于Gauss求積公式的穩(wěn)定性與Gauss求積系數(shù)密切相關(guān)(見定理的證明過程)，首先研究Gauss求積系數(shù)的性質(zhì)。 由表5-1和式(5.3.14)可知Gauss-Legendre求積公式和Gauss-Chebyshev求積公式的Ak都大于零，且Ak都有界，分別為2和。事實(shí)上，Gauss求積公式Ak大于零和Ak有界不是特例。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第四十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 一般的，Gauss求積系數(shù)公式(5.3.3)中l(wèi)k(x)(k=0,1,2,,n)是關(guān)于Gauss點(diǎn)xi(i=0,1,2,,n)的n次Lagrange插值基函數(shù)，根據(jù)Gauss型求積公式的定義，n+1個(gè)點(diǎn)的Gauss型求積公式對(duì)2n次多項(xiàng) 準(zhǔn)確成立，即 其中第2個(gè)等號(hào)的根據(jù)是式(4.2.5)lk(x)=ik。由于積分>0，所以Ak>0，即Gauss求積系數(shù)都是正的。

定理

5.3.3 Gauss求積公式 是數(shù)值穩(wěn)定的。

證 因?yàn)镚auss求積系數(shù)Ak>0，顯然第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第五十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 其中C是常數(shù)，倒數(shù)第2個(gè)等號(hào)根據(jù)式(4.2.7)

。所以 根據(jù)求積公式穩(wěn)定性定義，Gauss型求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的。

定理

5.3.4 設(shè)fC

[a,b]，則Gauss求積公式收斂，即

(證明略)第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分Gauss求積公式第五十一頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

5.5外推技巧和自適應(yīng)技術(shù)

自動(dòng)變步長(zhǎng)的Simpson方法

對(duì)于插值型求積公式(非Gauss型)，n=1，是梯形公式，n=2，是Simpson公式，n還可以繼續(xù)增加，但是若n8，則由于求積系數(shù)Ak有正有負(fù)，導(dǎo)致穩(wěn)定性得不到保證。因此一般不用n8的求積方法，而是采用復(fù)化求積方法，如復(fù)化Simpson公式，即把積分區(qū)間[a,

b]等分為n份，在每一小區(qū)間上用Simpson公式，于是 (xk+1=a+(k+1)2h)

第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分第五十二頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 由復(fù)化Simpson求積公式的余項(xiàng)，有事前誤差估計(jì)式

(5.2.12)

也可以事后估計(jì)誤差。分別把[a,b]分為n份和2n份(即步長(zhǎng)分別為h和h/2)，用復(fù)化Simpson公式計(jì)算定積分的值Sn和S2n，并進(jìn)行比較，看是否滿足|SnS2n|

。若不滿足，則不斷折半步長(zhǎng)，直到滿足|SnS2n|

。 變步長(zhǎng)的過程中Simpson法的計(jì)算規(guī)律： 將[a,b]分為n

個(gè)子區(qū)間用復(fù)化Simpson求積公式，需計(jì)算2n+1個(gè)函數(shù)值；hn折半為h2n，即將[a,b]分為2n

個(gè)子區(qū)間，則原子區(qū)間端點(diǎn)仍是端點(diǎn)，則原子區(qū)間中點(diǎn)也成為端點(diǎn)，第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分外推技巧和自適應(yīng)技術(shù)第五十三頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

hn折半前這些點(diǎn)的函數(shù)值均已計(jì)算出 新的中點(diǎn)為

記 于是，變步長(zhǎng)的復(fù)化Simpson公式計(jì)算定積分的方法： 為什么可以用|SnS2n|是否小于判斷是否達(dá)到要求的精度？ 本來是要求|RSn|=|I(f)Sn|

或|RS2n|=|I(f)S2n|

。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分外推技巧和自適應(yīng)技術(shù)第五十四頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

若 ，則有 24(I(f)S2n)(I(f)Sn)

I(f)S2n I(f)S2n |SnS2n|

|I(f)

S2n|

第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分外推技巧和自適應(yīng)技術(shù)第五十五頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

數(shù)值積分的Romberg算法、Richardson外推加速算法 自動(dòng)變步長(zhǎng)的方法也可用于T型法，而且更簡(jiǎn)便。 將[a,b]分為n

個(gè)子區(qū)間，步長(zhǎng)hn=(ba)/n，復(fù)化T型求積公式 將[a,b]分為2n

個(gè)子區(qū)間，步長(zhǎng)h2n=(ba)/2n，

即hn折半為h2n，計(jì)算T2n時(shí)只需將Tn折半，再加上新增節(jié)點(diǎn)函數(shù)值之和乘以hn/2，即h2n即可。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分外推技巧和自適應(yīng)技術(shù)第五十六頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日

T2n，Tn與Sn的關(guān)系： 記 則 而

3Sn-4T2n

3Sn4T2n=Tn

即 由例知道 由T2n和Tn的線性組合即可成為Sn，大大提高了計(jì)算精度。

S2n和Sn的線性組合能否繼續(xù)提高計(jì)算精度？ 答案是肯定的。其根據(jù)是Richardson外推法。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分外推技巧和自適應(yīng)技術(shù)第五十七頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 微分定義 令 ，則 即 f(x0)是F(h)當(dāng)h

0時(shí)的極限值。Taylor展開

(5.4.1)

(5.5.1)

h折半h/2，有 (5.5.2)

(5.5.3)第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分外推技巧和自適應(yīng)技術(shù)第五十八頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 其中b2，b3顯然與h無關(guān)。 算法F1(h)的截?cái)嗾`差是O(h2)，F(xiàn)(h)的截?cái)嗾`差是O(h)，外推一次精度提高了。這就是外推法的基本思想。重復(fù)以上過程,不斷折半步長(zhǎng)，再線性組合，得到序列{Fk(h)}，隨著k增加，F(xiàn)k(h)的截?cái)嗾`差的階越來越高，計(jì)算精度越來越好。 一般的，設(shè)F

(h)是計(jì)算F(0)的一種近似算法，其截?cái)嗾`差為

F(h)F(0)=aphpO(hs)， sp

其中ap與h無關(guān)，用h和h/q(q1)兩種步長(zhǎng)分別計(jì)算F，有

F(h)=F(0)

aphpO(hs) (5.5.4) F(h/q)=F(0)

ap(h/q)pO(hs) (5.5.5)第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分外推技巧和自適應(yīng)技術(shù)第五十九頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 削去了截?cái)嗾`差的主項(xiàng)，得到新算法

(5.5.6)

這就是Richardson外推法。定理是關(guān)于Richardson外推法的定理，用歸納法證明。由T2n，TnSn是q=2，p=2的特例。這個(gè)過程繼續(xù)下去，構(gòu)成相應(yīng)的計(jì)算定積分的外推算法稱為Romberg算法。

記復(fù)化T型公式序列 其余項(xiàng)(由Euler-Maclaurin公式)表示為

(5.5.14)

其中，B2k為Bernoulli常數(shù)，B2=6，B4=30，。第5章 數(shù)值積分和數(shù)值微分外推技巧和自適應(yīng)技術(shù)第六十頁(yè)，共七十頁(yè)，2022年，8月28日 只要 就可以構(gòu)造新序列

h折半，h2項(xiàng)出現(xiàn)系數(shù)22，22T1(h/2l+1)T1(h/2l)，削去了余項(xiàng)中的h2項(xiàng)，使誤差階由O(h2)O(h4)

h再折半，h4項(xiàng)出現(xiàn)系數(shù)24，同理有 誤差階為O(h6)。h再折半，h6項(xiàng)出現(xiàn)系數(shù)26，于是

誤差階為