數(shù)字電路邏輯函數(shù)及其簡化

數(shù)字電路邏輯函數(shù)及其簡化JHR第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR第一節(jié)邏輯函數(shù)式的最簡形式一、邏輯函數(shù)的最簡形式

同一個邏輯函數(shù)可以寫成不同形式的邏輯表達式。在邏輯電路設(shè)計中，邏輯函數(shù)最終要用邏輯電路來實現(xiàn)。因此，化簡和變換邏輯函數(shù)可以簡化電路、節(jié)省器材、降低成本、提高系統(tǒng)的可靠性。邏輯函數(shù)有五種基本表達式：與或式、或與式、與非－與非式、與－或－非式。第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR例如第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR與或式和或與式是最常用的邏輯表達式。最簡與或式的標準是：①含的與項最少；②各與項中含的變量數(shù)最少。最簡或與項的標準是：①含的或項最少；②各或項中含的變量數(shù)最少。與或式可變換成與非－與非式第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR或與式變換成或非－或非式二、最小項邏輯函數(shù)的最小項是構(gòu)成邏輯函數(shù)的最小因子。在n變量邏輯函數(shù)中，每一變量都作為一個因子第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR相乘而得到的n因子乘積項稱為該函數(shù)的最小項。在一個最小項中，每個變量不是以原變量就是以反變量形式出現(xiàn)并僅出現(xiàn)一次。在n變量邏輯函數(shù)中，n個變量可以構(gòu)成2n個最小項。如3變量A、B、C構(gòu)成的任何邏輯函數(shù)，都有23＝8個最小項；同理4變量的邏輯函數(shù)有24＝16個最小項。第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR三變量最小項、編號及符號第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR

第二節(jié)邏輯函數(shù)的化簡一、代數(shù)法化簡代數(shù)法化簡是利用邏輯代數(shù)的公式、和有關(guān)定理、規(guī)則，對邏輯表達式進行化簡。1.并項法利用并項公式并兩項為一項，并消去一個互補因子?！纠}1】第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR【例題2】【例題3】⊙第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR2.吸收法利用公式A＋AB＝A，吸收多余與項?！纠}4】【例題5】第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR3.消去法利用吸收律:【例題6】第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR4.配項法函數(shù)式增加適當?shù)捻?，進而可消去原來函數(shù)中的某些項?！纠}7】化簡函數(shù)解：第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR歸納簡化任意邏輯函數(shù)的方法：第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR

第三節(jié)邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

用代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)，需要依賴經(jīng)驗和技巧，有些復(fù)雜函數(shù)還不容易求得最簡形式。下面介紹的卡諾圖化簡法，是一種更加系統(tǒng)并有統(tǒng)一規(guī)則可循的邏輯函數(shù)化簡法。

（一）卡諾圖的構(gòu)成1.基本原理對應(yīng)于一組N個邏輯變量，則函數(shù)共有2N個最小項。如果把每個最小項用一個小方格表示，再將這些小方格以格雷碼順序排列，就可以構(gòu)成N個變量的卡諾圖。第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR卡諾圖的特點是：在幾何位置上相鄰的最小項小方格在邏輯上也必定是相鄰，即相鄰兩項中有一個變量是互補的。2.構(gòu)圖（1）二變量卡諾圖二變量有22＝4個最小項第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR（2）三變量卡諾圖第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR（3）四變量卡諾圖第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR（二）邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示1.將邏輯函數(shù)變換成標準“與或”式（最小項表達式）2.在表達式中含有最小項所對應(yīng)的小方格填入“1”，其余位置則填入“0”，便得該函數(shù)的卡諾圖。【例題1】則在四變量卡諾圖中對應(yīng)m1、m7、m12的小方格中填入“1”，其余位置填入“0”。如圖所示的卡諾圖。第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR【例題2】函數(shù)解：卡諾圖第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR（二）卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的原理卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的基本原理，是依據(jù)關(guān)系式即兩個“與”項中，如果只有一個變量互反，其余變量均相同，則這兩個“與”項可以合并成一項，消去其中互反的變量。相鄰最小項用矩形圈圈起來，稱為卡諾圈。在合并項（卡諾圈）所處位置上，若某變量的代碼有0也有1，則該變量被消去，否則該變量被保留，并按0為反變量，1為原變量的原則寫成乘積項形式的合并項中。第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHRC+BA12第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR123第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR畫卡諾圈所遵循的規(guī)則：（1）必須包含所有的最小項；（2）按照“從小到大”順序，先圈孤立的“1”，再圈只能兩個組合的，再圈只能四個組合的……；（3）圈的圈數(shù)要盡可能少（乘積項總數(shù)要少）；（4）圈要盡可能大（乘積項中含的因子最少）不論是否與其它圈相重，也要盡可能地畫大，相重是指同一塊區(qū)域可以重復(fù)圈多次，但每個圈至少要包含一個尚未被圈過的“1”。第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR【例題1】用卡諾圖化簡函數(shù)F（A,B,C,D）＝∑m（0,3,4,6,7,9,12,14,15）1111111110001111000011110ABCD第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR【例題2】用卡諾圖化簡函數(shù)F（A,B,C,D）＝∑m（1,5,6,7,11,12,13,15）111111110001111000011110ABCD第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR【例題3】用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR三、包含無關(guān)項（don，tcare）的邏輯函數(shù)的化簡（1）無關(guān)項的含意

無關(guān)項是約束項和任意項的統(tǒng)稱。

約束項：在分析某些具體的邏輯函數(shù)時，會遇到這樣一種情況，即輸入的變量取值不是任意的。對輸入變量取值所加的限制稱為約束。同時把這一組變量稱為具有約束的一組變量。例如，有三個邏輯變量A、B、C，分別表示一臺電動機的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止的命令，A=1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止。因為電動機第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR一個n變量的邏輯函數(shù)并不一定與2n個最小項都有關(guān)，有時，它僅與其中一部分有關(guān)，而與另一部分無關(guān)。也就是說這另一部分最小項為“1”或為“0”均與邏輯函數(shù)的邏輯值無關(guān)，我們稱這些最小項為無關(guān)最小項，用“d”來表示。具有無關(guān)最小項的邏輯函數(shù)常常稱為具有約束條件的邏輯函數(shù)。任何時候只能執(zhí)行其中一種命令，所以不允許兩個以上的變量同時為1。ABC的取值只可能是：001、010、100，當中的一種，而不能是000、011、101、110、111中的任何一種。第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR例如用8421BCD碼表示十進制數(shù)，則四位BCD碼輸入B3B2B1B0只有0000,0001……1000,1001十種輸入組合，其余1010,1011,1100,1110，1111六種組合不可能出現(xiàn)，它們是8421BCD碼的無關(guān)組合，與這些組合相對應(yīng)的最小項：與邏輯函數(shù)輸出數(shù)值無關(guān)，因此它們是無關(guān)最小項。

第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR

第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR（2）包含無關(guān)最小項的邏輯函數(shù)化簡由于無關(guān)最小項為“1”為“0”對實際輸出無影響，因此在化簡邏輯函數(shù)時，可以根據(jù)化得最簡函數(shù)式的需要來處理無關(guān)最小項。【例題12】化簡邏輯函數(shù)F（A、B、C、D）＝∑m（1,3,5,7,9）＋∑d（10,11,12,13,14,15）【解】作四變量卡諾圖：第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR【例題】P934.7（3）用卡諾圖化簡下列函數(shù)為最簡與或表達式。［解］畫四變量卡諾圖第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR【例題】P934.9（3）用卡諾圖法化簡下列具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)。11××11×11ABCD0001111000011110第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR【例題1】試用卡諾圖法化簡下列函數(shù)為最簡與或表達式。F（A、B、C、D、E）＝∑（4，5，6，7，13，15，20，21，22，23，25，27，29，31）［解］這是一個五變量邏輯函數(shù)，所對就的卡諾圖屬多變量的卡諾圖。由于5個變量具有25＝32個最小項，對應(yīng)的卡諾圖有32個小方格，其結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，使得最小項之間的相鄰關(guān)系，不是能直觀看出。下面我們先對五變量卡諾圖的結(jié)構(gòu)作介紹：第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR013267548911101415131224252726303129281617191822232120ABCDE00011110000001011010110111101100第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR五變量卡諾圖四邏輯變量卡諾圖以紅線為軸向右翻轉(zhuǎn)而成。其相鄰最小項，除了“左鄰右舍，同根同祖”外，紅線兩邊對應(yīng)項也是相鄰項。相當于以紅線對折。第三十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR00001111000001100110011000001111ABCDE00011110000001011010110111101100第四十頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR【例題2】用卡諾圖化簡下列5變量邏輯函數(shù)為最簡與或式。Y（A、B、C、D、E）＝ABDE＋ABD＋BE＋ABCD＋ACDE＝∑m（2、6、8、9、11、12、13、15、16、17、25、27、29、31）第四十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR11111111111111ABCDE00011110000001011010110111101100第四十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日JHR本章小結(jié)邏輯函數(shù)的建立和表示、邏輯函數(shù)的化簡是邏輯函數(shù)分析和設(shè)計的基礎(chǔ)，它的數(shù)學(xué)工具就是第2章所介紹的邏輯代數(shù)的內(nèi)容。

通過本章的學(xué)習(xí)，要求做到：1.理解邏輯函數(shù)的建立過程，理解同一個邏輯函數(shù)可由真值表、邏輯函數(shù)表達式、卡諾圖、邏輯電路圖四種不同形式來表示。2.了解邏輯函數(shù)化簡的含意，也就是說了解