水文學(xué)第三章

水文學(xué)第三章第一頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日2第三章水文統(tǒng)計研究內(nèi)容頻率計算相關(guān)分析包括隨機(jī)變量及其概率分布、水文頻率曲線、水文頻率計算適線法。包括兩變量直線相關(guān)、兩變量曲線相關(guān)、復(fù)相關(guān)第二頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日3第一節(jié)水文統(tǒng)計的意義及基本概念

第二節(jié)頻率計算

第三節(jié)相關(guān)分析

第三頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日4第一節(jié)水文統(tǒng)計的意義及基本概念第四頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日5一、水文統(tǒng)計及其意義（一）水文現(xiàn)象的特性

水文現(xiàn)象是一種自然現(xiàn)象，它具有必然性的一面，也具有偶然性的一面。

1.必然現(xiàn)象是指事物在發(fā)展、變化中必然會出現(xiàn)的現(xiàn)象；水文學(xué)中稱水文現(xiàn)象的這種必然性為確定性。

2.偶然現(xiàn)象是指事物在發(fā)展、變化中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，偶然現(xiàn)象也稱隨機(jī)現(xiàn)象；偶然現(xiàn)象仍然是有規(guī)律的，一般稱為統(tǒng)計規(guī)律。第五頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日必然：一盒中有十個完全相同的白球,攪勻后從中摸出一白球在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,純水加熱到100攝氏度時必然沸騰.地球上向上拋一塊石頭必然下落偶然（隨機(jī)）：在相同的條件下,向上拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,其結(jié)果可能是正面朝上,也可能是反面朝上,不論如何控制拋擲條件,在每次拋擲之前無法肯定拋擲的結(jié)果是什么,這個試驗多于一種可能結(jié)果,但是在試驗之前不能肯定試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.第六頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日布萊士·帕斯卡（1623年6月19日－1662年8月19日），法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、思想家，散文大師，神學(xué)家。第七頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日費馬是法國數(shù)學(xué)家，議會議員，真正的事業(yè)是學(xué)術(shù)，尤其是數(shù)學(xué)，他生前極少發(fā)表自己的論著，連一部完整的著作也沒有出版。他發(fā)表的一些文章，也總是隱姓埋名。他是解析幾何的發(fā)明者之一；對于微積分誕生的貢獻(xiàn)僅次于牛頓、萊布尼茨，概率論的主要創(chuàng)始人，以及獨承17世紀(jì)數(shù)論天地的人，業(yè)余數(shù)學(xué)家之王。第八頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日9（二）水文統(tǒng)計

數(shù)學(xué)中研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的學(xué)科稱為概率論。由隨機(jī)現(xiàn)象的一部分試驗資料去研究總體現(xiàn)象的數(shù)學(xué)特征和規(guī)律的學(xué)科稱為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)應(yīng)用到水文分析與計算上，稱為水文統(tǒng)計。

第九頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日10（三）水文統(tǒng)計的任務(wù)

水文統(tǒng)計的任務(wù)就是研究和分析水文隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計變化特性。并以此為基礎(chǔ)對水文現(xiàn)象未來可能的長期變化作出在概率意義下的定量預(yù)估，以滿足工程規(guī)劃、設(shè)計、施工以及運營期間的需要。第十頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日11水文統(tǒng)計的基本方法和內(nèi)容具體有以下三點：

1、根據(jù)已有的資料（樣本），進(jìn)行頻率計算，推求指定頻率的水文特征值；

2、研究水文現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系，應(yīng)用這種關(guān)系延長、插補(bǔ)水文特征值和作水文預(yù)報；

3、根據(jù)誤差理論，估計水文計算中的隨機(jī)誤差范圍。第十一頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日12二、基本概念1.事件：對隨機(jī)現(xiàn)象觀測（隨機(jī)試驗）的結(jié)果，即：在一定的組合條件下，在試驗的結(jié)果中，所有可能發(fā)生（或可能不發(fā)生）的事情。（必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件）第十二頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日132.隨機(jī)變量：受隨機(jī)因素的影響，遵循統(tǒng)計規(guī)律的變量。

3.總體、樣本、樣本容量

：總體：隨機(jī)變量所能取值的全體;樣本：從總體中抽取的一部分;樣本容量：樣本包括的項數(shù)，樣本大小。第十三頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日14三、數(shù)理統(tǒng)計法對水文資料的要求1.資料的可靠性2.資料的一致性3.資料的代表性4.資料的隨機(jī)性5.資料的獨立性第十四頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日15第二節(jié)頻率計算一、頻率和概率

二、隨機(jī)變量的統(tǒng)計參數(shù)

三、經(jīng)驗頻率曲線

四、理論頻率曲線

五、水文頻率計算適線法第十五頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日16一、頻率和概率

(一)頻率和概率1.頻率

隨機(jī)事件A在重復(fù)n次試驗中出現(xiàn)了m次，則稱

為事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率。第十六頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日172.概率

在同等可能的條件下，隨機(jī)事件在試驗的結(jié)果中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，其出現(xiàn)或不出現(xiàn)的可能性大小稱為概率。事先概率事后概率第十七頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日18概率的基本特性是：第十八頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日19

當(dāng)試驗次數(shù)n無限增大時，隨機(jī)事件的頻率穩(wěn)定在某一個數(shù)附近，此時頻率趨于概率。

頻率是實測值，概率是理論值，當(dāng)試驗次數(shù)足夠多時，可以通過實測樣本的頻率分析來推論事件總體概率特性。第十九頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日20(二)概率運算定律1、概率相加定理：互斥的各個事件中，至少一個事件出現(xiàn)的概率等于各個事件出現(xiàn)的概率之和。互斥事件：在一次試驗中，只有一個事件發(fā)生，其他事件均不能發(fā)生。

第二十頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日212、概率相乘定理：幾個獨立事件一并（先后）出現(xiàn)的概率等于各事件出現(xiàn)的概率之積，即:

P(A1?A2?…?An)=P(A1)?P(A2)?…?P(An)獨立事件：多個事件中某一事件的出現(xiàn)并不影響其他事件的出現(xiàn)。第二十一頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日223、條件概率：兩個事件A、B，在事件B發(fā)生的前提下，事件A發(fā)生的概率為事件A在條件B下的條件概率,記為:P（A︱B）第二十二頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日23

兩事件積的概率，等于其中一事件的概率乘以另一事件在已知前一事件發(fā)生的條件下的條件概率，即

P（AB）=P（A）×P（B︱A），P（A）≠0P（AB）=P（B）×P（A︱B），P（B）≠0

P（A︱B）=P（AB）/P（B）P（B︱A）=P（AB）/P（A）第二十三頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日241.隨機(jī)變量:若隨機(jī)事件的試驗結(jié)果可用一個數(shù)X來表示，X隨試驗結(jié)果的不同而取得不同的數(shù)值，它是帶有隨機(jī)性的，則將這種隨機(jī)試驗結(jié)果X稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量可分為兩類：即離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。

(三)隨機(jī)變量的概率分布2.概率分布:隨機(jī)變量可以取所有可能值中的任何一個值，但是取某一可能值的機(jī)會是不同的，有的機(jī)會大，有的機(jī)會小，隨機(jī)變量的取值與其概率有一定的對應(yīng)關(guān)系。一般將這種對應(yīng)關(guān)系稱為概率分布。

第二十四頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日25通常隨機(jī)變量用大寫字母X表示，它的種種可能取值用相應(yīng)的小寫字母x表示。若取n個，則X＝x1，X=x2

，……，X＝xn。一般將x1，x2

，……，xn稱為系列。而可能取值出現(xiàn)的概率用P表示。1、離散型隨機(jī)變量的概率分布一般以分布列表示，如表Xx1x2……xi

……P(X=xi)p1p2……pi……第二十五頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日262、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布對于連續(xù)型隨機(jī)變量，無法研究個別值的概率，只能研究某個區(qū)間的概率，或是研究事件X≥x的概率，以及事件X≤x的概率，后面二者可以相互轉(zhuǎn)換，水文統(tǒng)計中常用X≥x的概率及其分布第二十六頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日273.密度函數(shù)對于連續(xù)型隨機(jī)變量，通常以區(qū)間的概率來分析其分布規(guī)律。水文中習(xí)慣以縱坐標(biāo)表示變量x,橫坐標(biāo)表示概率密度函數(shù)值f(x)，這樣繪制的幾何曲線稱密度曲線。對于連續(xù)型變量的任一分組區(qū)間，都有一個確定的概率密度相對應(yīng)，取其極限值有：第二十七頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日28第二十八頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日294.分布函數(shù)

設(shè)事件X≥xi

的概率用P（X≥xi）來表示，它是隨隨機(jī)變量取值xi而變化的，所以p（X≥xi）是xi的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量xi的分布函數(shù)，記為F（x），即:它代表隨機(jī)變量X大于等于某一取值x的概率。其幾何圖形如下圖（b）所示，圖中縱坐標(biāo)表示變量x，橫坐標(biāo)表示概率分布函數(shù)值F（x），在數(shù)學(xué)上稱此曲線為分布曲線，水文統(tǒng)計中稱為隨機(jī)變量的累積頻率曲線，簡稱頻率曲線。第二十九頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日30第三十頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日31

實際上，分布函數(shù)與密度函數(shù)是微分與積分的關(guān)系。因此，已知f(x)，則:【例3.6】第三十一頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日32(四)累積頻率和重現(xiàn)期1.累積頻率:水文特征值屬于連續(xù)型隨機(jī)變量，累積頻率是指等于及大于（或等于及小于）某水文要素出現(xiàn)可能性的量度。第三十二頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日33----不及制累積概率當(dāng)研究事件X≤xi

的概率時，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中常用分布函數(shù)G（xi）表示：

稱不及制累積概率形式，----超過制累積概率相應(yīng)的水文統(tǒng)計用的分布函數(shù)F（x）稱為超過制累積概率形式，兩者之間有如下關(guān)系：第三十三頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日342.重現(xiàn)期（T）：指隨機(jī)事件平均的重現(xiàn)時間間隔。在水文學(xué)上指等于及大于（或等于及小于）一定量級的水文要素值出現(xiàn)一次的平均間隔年數(shù)，以該量級頻率的倒數(shù)計。

頻率P與重現(xiàn)期T的關(guān)系有兩種表示方法：

（1）當(dāng)為了防洪研究暴雨洪水問題時，一般設(shè)計頻率P＜50％，則:

例如，當(dāng)某一洪水的頻率為p=1%時，則T=100年，稱此洪水為百年一遇洪水，表示大于等于這樣的洪水平均100年會遇到一次，并非每隔100年一定遇到1次。第三十四頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日35

（2）當(dāng)考慮水庫興利調(diào)節(jié)研究枯水問題時，設(shè)計頻率P＞50％，則:例如，對于p=90%的枯水流量，則T=10年，稱此為十年一遇枯水流量，表示小于等于這樣的流量平均10年會遇到一次。設(shè)計保證率：P>50%的設(shè)計頻率，即來水的可靠程度。第三十五頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日36(五)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)水文現(xiàn)象具有明顯的地區(qū)性和隨機(jī)性，因而無法用水文特征值的具體量值作為工程設(shè)計的標(biāo)準(zhǔn)。在各行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)或工程設(shè)計規(guī)范中規(guī)定各種水文特征值的設(shè)計頻率（或重現(xiàn)期）作為工程設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)。第三十六頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日37二、隨機(jī)變量的統(tǒng)計參數(shù)

說明隨機(jī)變量數(shù)值大小、變化幅度、對稱程度等統(tǒng)計規(guī)律的數(shù)量特征值，稱為隨機(jī)變量的統(tǒng)計參數(shù)。

統(tǒng)計參數(shù)有總體統(tǒng)計參數(shù)與樣本統(tǒng)計參數(shù)之分。水文計算中常用的樣本統(tǒng)計參數(shù)有均值、均方差、變差系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)。第三十七頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日38(一)均值（）表示系列中隨機(jī)變量的平均情況。1.加權(quán)平均法：第三十八頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日39令為模比系數(shù)或變率，則2.算術(shù)平均法：第三十九頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日40均值是隨機(jī)變量最基本的特征值，它的位置在頻率密度曲線與x軸所包圍面積的形心處，說明隨機(jī)變量所有可能取值是圍繞此中心分布的，故稱為分布中心；它能代表整個隨機(jī)變量的水平高低，故也稱為數(shù)學(xué)期望。第四十頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日41根據(jù)均值的數(shù)學(xué)特性，可利用均值推求設(shè)計頻率的水文特征值；也可以用均值表示各水文特征值的空間分布情況，繪制各種等值線圖。第四十一頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日42對于一個隨機(jī)變量系列，反映其分布中心的特征數(shù)字還有眾數(shù)和中位數(shù)。眾數(shù)：具有最大概率的隨機(jī)變量值，反映隨機(jī)系列中經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)值；中位數(shù)（中值）：滿足F(x)=1/2的隨機(jī)變量值，即該系列P=50%時隨機(jī)變量值。第四十二頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日43(二)均方差（s）和變差系數(shù)(Cv)反映整個系列的變化幅度，或系列在均值兩側(cè)分布的離散程度。離差：均方差：第四十三頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日44反映系列中各隨機(jī)變量離均差的平均情況，均方差大，說明系列在均值兩旁的分布比較分散，均方差小表示系列的離散長度小。均方差可反映兩個均值相同系列的離散程度。第四十四頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日45對于兩個均值不同的系列，用均方差比較離散程度的大小是無效的，例如甲51015=10s甲=4.08

乙99510001005=1000s乙=4.08

顯見甲系列比乙系列離散程度大的多。第四十五頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日46變差系數(shù)，又稱離差系數(shù)或離勢系數(shù)，它是均方差與均值之比，是衡量系列的相對離散程度的一個參數(shù)，稱為用Cv表示，其計算式為:

其用模比系數(shù)Ki代入上式，得第四十六頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日47說明甲系列離散程度遠(yuǎn)比乙系列的離散程度大【例3.8】第四十七頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日48各種水文現(xiàn)象的Cv具有一定的的空間分布規(guī)律，我國降雨量和徑流量的Cv分布，大致是南方小，北方大；沿海小，內(nèi)陸大；平原小，山區(qū)大。第四十八頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日49(三)偏態(tài)系數(shù)（Cs）反映系列在均值兩邊的對稱程度。第四十九頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日50當(dāng)Cs＝0時，系列在均值旁呈對稱分布；Cs>0，屬正偏分布；Cs<0，屬負(fù)偏分布。Cs對密度曲線的影響第五十頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日51(四)矩（1）原點矩隨機(jī)變量X對原點離差的r次冪的數(shù)學(xué)期望，稱為隨機(jī)變量X的r階原點矩。r=1時，就是算術(shù)平均數(shù)第五十一頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日52（2）中心矩隨機(jī)變量X對分布中心E(X)離差的r次冪的數(shù)學(xué)期望，稱為隨機(jī)變量X的r階中心矩。r=1時，一階中心矩為0；第五十二頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日53三、經(jīng)驗頻率曲線

水文分析計算中使用的概率分布曲線俗稱水文頻率曲線，習(xí)慣上把由實測資料（樣本）繪制的頻率曲線稱為經(jīng)驗頻率曲線，對水文樣本資料，由大→小排列（超過制）,如:x1，x2，…，xnp1，p2，…，pn(x1,p1)……(xi,pi)第五十三頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日54（一）經(jīng)驗頻率公式1.純經(jīng)驗頻率公式P——≥xm的經(jīng)驗頻率；m–Xm的序號，即等于和大于Xm的項數(shù)；n——觀測資料的總項數(shù)第五十四頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日552.數(shù)學(xué)期望公式:對于純經(jīng)驗頻率公式，當(dāng)m=n時，p=100%，即樣本的末項就是總體的最小值，顯然不合理。為了由樣本比較好的估計總體概率，我國采用數(shù)學(xué)期望公式:第五十五頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日56(二)經(jīng)驗頻率曲線的繪制設(shè)某一隨機(jī)變量實測系列X，則其經(jīng)驗頻率曲線繪制步驟如下：（1）xi由大→小排列，排列序號m表示大小次序，即表示x≥xi的累積次數(shù)；（2）用經(jīng)驗頻率公式計算系列中x≥xi各項的頻率，稱為經(jīng)驗頻率；（3）以水文變量X為縱坐標(biāo)，以經(jīng)驗頻率P為橫坐標(biāo)，點繪經(jīng)驗頻率點據(jù)；（4）根據(jù)點群趨勢繪出一條平滑的曲線，稱為經(jīng)驗頻率曲線。第五十六頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日57第五十七頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日58正態(tài)頻率曲線在普通格紙上是一條規(guī)則的S形曲線，它在P=50%前后的曲線方向雖然相反，但形狀完全一樣，如下圖中的①線。水文計算中常用的一種"頻率格紙"，其橫坐標(biāo)的分劃就是按把標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)頻率曲線拉成一條直線的原理計算出來的，正態(tài)分布與頻率格紙第五十八頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日59第五十九頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日60第六十頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日61有了經(jīng)驗頻率曲線，即可在曲線上求得指定頻率P的水文變量。

（三）經(jīng)驗頻率曲線存在的問題

經(jīng)驗頻率曲線計算工作量小，繪制簡單，查用方便，但受實測資料所限,往往難以滿足設(shè)計上的需要。為此，提出用理論頻率曲線來配合經(jīng)驗點據(jù)，這就是水文頻率計算適線（配線）法。第六十一頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日62四、理論頻率曲線

（一）理論頻率曲線及線型由數(shù)學(xué)方程式所表示的、符合經(jīng)驗點據(jù)分布規(guī)律的頻率曲線稱為理論頻率曲線?！袄碚摗钡暮x第六十二頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日63通常在實測資料中選取或計算處2～3個有代表性的特征值作參數(shù)，并據(jù)此選配一些數(shù)學(xué)方程作為總體系列頻率曲線的假想數(shù)學(xué)模型，再按照一定的方法確定累計頻率曲線。第六十三頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日64

水文頻率分布線型是指所采用的理論頻率曲線(頻率函數(shù))的型式（水文中常用線型為正態(tài)分布型、極值分布型、皮爾遜Ⅲ型分布型等），它的選擇主要取決于與大多數(shù)水文資料的經(jīng)驗頻率點據(jù)的配合情況。第六十四頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日65

分布線型的選擇與統(tǒng)計參數(shù)的估算，一起構(gòu)成了頻率計算的兩大內(nèi)容。

第六十五頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日66（二）皮爾遜Ⅲ型分布——P－Ⅲ型英生物學(xué)家皮爾遜，研究了13種概率曲線形式，第Ⅲ型曲線引入水文，與大多數(shù)的實際資料擬合比較好。第六十六頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日67d皮爾遜Ⅲ型曲線是一條一端有限一端無限的不對稱單峰、正偏曲線，數(shù)學(xué)上常稱伽瑪分布。皮爾遜Ⅲ型概率密度曲線第六十七頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日681.P－Ⅲ概率密度函數(shù)為:

式中：Γ（α）―α的伽瑪函數(shù)；

α、β、a0―分別為皮爾遜Ⅲ型分布的形狀尺度和位置未知參數(shù)，α﹥0，β﹥0。第六十八頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日69第六十九頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日702.皮爾遜Ⅲ型頻率曲線及其繪制

水文計算中，一般需要求出指定頻率P所相應(yīng)的隨機(jī)變量取值Xp，也就是通過對密度曲線進(jìn)行積分，即:

求出等于及大于Xp的累積頻率P值。

直接由上式計算P值非常麻煩，實際做法是通過變量轉(zhuǎn)換，根據(jù)擬定的Cs值進(jìn)行積分，并將成果制成專用表格，從而使計算工作大大簡化。

第七十頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日71令Ф

是標(biāo)準(zhǔn)化變量，稱為離均系數(shù)，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。

則有：第七十一頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日72

式中被積函數(shù)只含有一個待定參數(shù)CS，其它兩個參數(shù)

、Cv都包含在Ф

中。因此，只需要假定一個CS值，便可通過積分求出P與Ф

之間的關(guān)系。

對于若干個給定的CS值，

P與Ф

的對應(yīng)數(shù)值表，已先后由美國福斯特和前蘇聯(lián)雷布京制作出來——“皮爾遜Ⅲ型頻率曲線的離均系數(shù)Ф

值表”（見附錄3）。第七十二頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日73給定參數(shù)后，由

Ф就可以求出相應(yīng)頻率P的x值：

第七十三頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日74第七十四頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日75以頻率為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，點繪理論頻率曲線。下圖為其示意圖。頻率曲線繪制后，就可在頻率曲線上求出指定頻率p的設(shè)計值xp第七十五頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日76例：已知某站年最大洪峰流量系列的=825m3/s，Cv=0.4，Cs=1.0，求p=1%的設(shè)計值。=825×(0.4×3.02+1)=1822m3/s解：由Cs=1.0，查附錄3，得p=1%的Фp=3.02，則：第七十六頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日77例：某站年徑流深系列符合pⅢ型分布，已知該系列的平均徑流深R=650mm，s=162.5mm，Cs=2Cv，試結(jié)合下表計算設(shè)計保證率p=90%的設(shè)計年徑流深。解：Cv=s/R=162.5/650=0.25，∴Cs=2Cv=0.5查表得Ф=-1.22，代入R90%=650×(1-0.25×1.22)=650×0.695=541.8mm第七十七頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日783．統(tǒng)計參數(shù)對頻率曲線的影響(1)均值的影響隨著均值的增大，整個概率密度曲線成比例地向右移動，曲線的形狀發(fā)生了變化。

理論頻率曲線的縱坐標(biāo)和呈正比，均值不同的理論頻率曲線無交點。第七十八頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日79(2)變差系數(shù)的影響隨著Cv的增大，概率密度曲線變得矮而寬（離散度大）。隨著Cv的增大，整個理論頻率曲線變陡，不同Cv的理論頻率曲線在Kp＝1處有一交點。第七十九頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日80(3)偏態(tài)系數(shù)的影響隨著Cs的增大，眾值位置左移，眾值左側(cè)曲線變陡，右側(cè)曲線急劇下跌，概率密度曲線的形狀變得高而窄。隨著Cs的增大，理論頻率曲線的上段變陡；中段曲率變大，下段曲線變平緩，不同Cs的理論頻率曲線有兩個交點。第八十頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日81(三)頻率曲線參數(shù)估計方法

用有限的樣本觀測資料估計總體分布線型中的參數(shù)，如P—Ⅲ型的

隨機(jī)抽樣思路：總體→很多個同容量的樣本→計算各樣本統(tǒng)計參數(shù)→各樣本同名參數(shù)的平均值→該同名參數(shù)的總體平均值=該統(tǒng)計參數(shù)的不偏估計量統(tǒng)計參數(shù)的不偏估計量—由樣本估計總體參數(shù)第八十一頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日821.矩法用樣本矩估計總體矩，并通過矩與參數(shù)之間的關(guān)系，來估計頻率曲線的參數(shù)。Cv的無偏估計：均值的無偏估計：第八十二頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日83Cs的無偏估計：*注意：用不偏估計值算出的參數(shù)，仍不完全等于總體的參數(shù)，只是比較接近;當(dāng)樣本容量較小時，用矩法估計的參數(shù)將產(chǎn)生誤差，其中尤以Cs的計算誤差最大。

第八十三頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日842．三點法3．權(quán)函數(shù)法第八十四頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日85(四)抽樣誤差

1.抽樣誤差

(1)用樣本參數(shù)代替總體參數(shù)，存在誤差，稱抽樣誤差.誤差是由總體中隨機(jī)抽取的樣本與總體有差異引起的.

(2)抽樣的類型：

(3)均方誤差：抽樣誤差的大小由均方誤差(又稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差)來衡量:由各個樣本（這里為某個統(tǒng)計參數(shù)值）誤差的平方和的平均數(shù)再開方來表示。第八十五頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日862.抽樣誤差的分布抽樣誤差的分布近似看作正態(tài)分布.3.抽樣誤差的計算第八十六頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日87五、水文頻率計算——適線法

適線法是先在概率格紙上按經(jīng)驗頻率公式點繪出水文系列的經(jīng)驗頻率點，然后選定理論頻率曲線線型，取與經(jīng)驗點據(jù)擬合最佳的那條曲線和相應(yīng)參數(shù)作為最終的計算結(jié)果。如何判斷是否最佳？第八十七頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日88（一）目估適線法

目估適線法又稱目估配線法，是以經(jīng)驗頻率點據(jù)為基礎(chǔ)，給它們選配一條符合較好的理論頻率曲線，并以此來估計水文要素總體的統(tǒng)計規(guī)律。具體步驟如下：第八十八頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日89----將實測資料由大到小排列，計算各項的經(jīng)驗頻率，在頻率格紙上點繪經(jīng)驗點據(jù)（縱坐標(biāo)為變量的取值，橫坐標(biāo)為對應(yīng)的經(jīng)驗頻率）----選定水文頻率分布線型（一般選用皮爾遜Ⅲ型）。----估計出頻率曲線參數(shù)的初估值和Cv，而Cs憑經(jīng)驗初選為Cv的倍數(shù)。第八十九頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日90----根據(jù)擬定的Cv和Cs，查附錄3或附錄4，計算xp值。以xp

為縱坐標(biāo)，p為橫坐標(biāo)，即可得到頻率曲線。將此線畫在繪有經(jīng)驗點據(jù)的圖上，看與經(jīng)驗點據(jù)配合的情況。若不理想，可通過調(diào)整、Cv和Cs點繪頻率曲線。

----最后根據(jù)頻率曲線與經(jīng)驗點據(jù)的配合情況，從中選出一條與經(jīng)驗點據(jù)配合較好的曲線作為采用曲線，相應(yīng)于該曲線的參數(shù)便看作是總體參數(shù)的估值。----求指定頻率的水文變量設(shè)計值。第九十頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日91【例3.10】第九十一頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日92（二）優(yōu)化適線法

優(yōu)化適線法是在一定的適線準(zhǔn)則（即目標(biāo)函數(shù)）下，求解與經(jīng)驗點據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線的統(tǒng)計參數(shù)的方法。優(yōu)化適線法按不同的適線準(zhǔn)則分為三種，即離差平方和最小準(zhǔn)則（OLS）、離差絕對值和最小準(zhǔn)則（ABS）、相對離差平方和最小準(zhǔn)則（WLS），其中以離差平方和最小準(zhǔn)則（OLS）最為常用。第九十二頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日93第三節(jié)相關(guān)分析一、相關(guān)關(guān)系的概念

二、簡單直線相關(guān)（一元線性回歸）

三、曲線相關(guān)

四、復(fù)相關(guān)第九十三頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日94一、相關(guān)關(guān)系的概念

1．相關(guān)分析

按數(shù)理統(tǒng)計法建立兩個或多個隨機(jī)變量之間的聯(lián)系，稱之為近似關(guān)系或相關(guān)關(guān)系。把對這種關(guān)系的分析和建立稱為相關(guān)分析。第九十四頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日95

2．相關(guān)的種類（1）根據(jù)變量之間相互關(guān)系的密切程度，變量之間的關(guān)系有三種情況：完全相關(guān)、零相關(guān)、統(tǒng)計相關(guān)。第九十五頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日96---完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系）

兩變量x與y之間，如果每給定一個x值，就有一個完全確定的y值與之對應(yīng)。完全相關(guān)的形式有直線關(guān)系和曲線關(guān)系兩種。第九十六頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日97

----零相關(guān)（沒有關(guān)系）

兩變量之間毫無聯(lián)系，或某一現(xiàn)象（變量）的變化不影響另一現(xiàn)象（變量）的變化，這種關(guān)系則稱為零相關(guān)或沒有關(guān)系。第九十七頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日98----統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系

若兩個變量之間的關(guān)系界于完全相關(guān)和零相關(guān)之間，則稱為相關(guān)關(guān)系或統(tǒng)計相關(guān)。當(dāng)只研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，稱為簡相關(guān)；當(dāng)研究3個或3個以上變量的相關(guān)關(guān)系時，則稱為復(fù)相關(guān)。在相關(guān)的形式上，又可分為直線相關(guān)和非直線相關(guān)。第九十八頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日993．水文相關(guān)分析的依據(jù)

1）水文要素形成機(jī)制上的關(guān)聯(lián)性；

2）水文現(xiàn)象地區(qū)分布的相似性。4．水文相關(guān)分析的作用

1）相關(guān)分析可以用來延長和插補(bǔ)短系列；

2）直接用于水文預(yù)測。第九十九頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日1005．水文相關(guān)分析的內(nèi)容

相關(guān)分析（或回歸分析）的內(nèi)容一般包括三個方面：

（1）判定變量間是否存在相關(guān)關(guān)系，若存在，計算其相關(guān)系數(shù)，以判斷相關(guān)的密切程度；

（2）確定變量間的數(shù)量關(guān)系――回歸方程或相關(guān)線；

（3）根據(jù)自變量的值，預(yù)報或延長、插補(bǔ)倚變量的值，并對該估值進(jìn)行誤差分析。第一百頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日101二、簡直線相關(guān)（一元線性回歸）（一）相關(guān)圖解法

x、y同期（同步）觀測資料，點繪在圖上，根據(jù)相關(guān)點的分布趨勢，繪出相關(guān)線，使相關(guān)點均勻分布在相關(guān)線的兩旁?？山瓶闯鱿嚓P(guān)類型及程度。設(shè)xi

和yi

代表兩系列的觀測值共有n對：xi，yi——表示相關(guān)變量x（自變量）、y（倚變量）的實測值第一百零一頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日102步驟：1.點繪出實測點群（xi,yi）；2.目估通過點群中間和均值點(,)繪出一條直線；3.從該圖中量得直線得斜率a，直線與縱軸的截距b,則直線方程y=ax+b即為所求的相關(guān)的直線方程。第一百零二頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日103（二）相關(guān)分析法如果相關(guān)點據(jù)分布較散，目估定線存在一定的任意性。為此，最好采用分析法來確定相關(guān)線的方程。1．建立回歸方程第一步：確定線型——直線，設(shè)直線方程的形式為：第一百零三頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日104第二步：確定參數(shù)a、b

。離差Δyi的平方和為:根據(jù)最小二乘法原理，要使點群與直線配合最佳，應(yīng)有每個相關(guān)點（xi，yi）與相關(guān)線上的點（x,y）都有一個縱向離差第一百零四頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日105為此，對a,b求一階偏導(dǎo)數(shù)，并等于零另外，該最佳擬合曲線應(yīng)通過（）點，并有：第一百零五頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日106聯(lián)解，得:其中r為相關(guān)系數(shù):第一百零六頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日107聯(lián)解，得:其中sy和sx為y、x兩個系列的均方差:第一百零七頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日108將a、b代回式,得y倚x的回歸方程:（回歸直線的斜率）——y倚x的回歸系數(shù)

另外，x倚y的回歸方程為：第一百零八頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日109如下圖，兩回歸線在處相交：sx第一百零九頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日1102．回歸線的誤差分析回歸線僅是觀測點據(jù)的最佳配合線，通常觀測點據(jù)并不完全落在回歸線上，觀測值與回歸值之間就存在著誤差，如右圖，用均方誤來表示y倚x回歸線的均方誤：

yi

、y——分別為觀測值和回歸線上的對應(yīng)值；n——系列項數(shù)；n－2——自由度第一百一十頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日111

由統(tǒng)計推理可以證明，回歸線的標(biāo)準(zhǔn)誤差Sy和樣本系列均方差sy之間有下列關(guān)系：回歸線與觀測點的誤差（Sy

）一般近似服從正態(tài)分布：yi落在：概率：68.3％95.4％99.7％第一百一十一頁，共一百二十三頁，2022年，8月28日112相關(guān)系數(shù)r的隨機(jī)誤差：相關(guān)系數(shù)r的標(biāo)