數(shù)字譜分析第一講

數(shù)字譜分析第一講第一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日主要內(nèi)容連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)；離散時(shí)間信號(hào)的譜分析－DFT；模擬頻率與數(shù)字頻率；物理分辨率與計(jì)算分辨率頻域的采樣定理第二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)

連續(xù)時(shí)間信號(hào)，，離散時(shí)間信號(hào)，。那么一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)通過采樣率為（采樣周期或者采樣間隔）的采樣器的采樣離散化為一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)。借助于沖激函數(shù)序列采樣的過程為：第三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

采樣后的信號(hào)和原始信號(hào)之間滿足將采樣后信號(hào)的自變量用離散時(shí)間的索引來代替，那么離散時(shí)間信號(hào)在每個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)上滿足第四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日模擬信號(hào)的離散化處理的過程第五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

分析理想采樣主要有兩個(gè)作用：首先使分析簡(jiǎn)化，集中反映問題的本質(zhì)；其次從模擬信號(hào)變成數(shù)字信號(hào)，只在一個(gè)脈沖間取一個(gè)值，這是符合實(shí)際情況的。那么信號(hào)采樣后，信號(hào)的頻譜發(fā)生怎樣的變化，信號(hào)內(nèi)容會(huì)不會(huì)丟失？由離散信號(hào)恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)應(yīng)該具備哪些條件呢？我們知道這可以由Nyquist采樣定理來保證，若是一個(gè)帶限信號(hào)，其最高頻率為，那么只要采樣的頻率就可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)無(wú)失真的恢復(fù)。第六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日信號(hào)時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)于頻域的卷積若一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜為而那么，采樣后信號(hào)的頻譜為

第七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日信號(hào)采樣前后的頻譜

第八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日2.離散時(shí)間信號(hào)的譜分析

以上我們闡明了連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)在時(shí)域和頻域的區(qū)別，下面說明連續(xù)時(shí)間傅立葉變換（CTFT）和離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）之間的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)而導(dǎo)出離散傅立葉變換（DFT）。

以代表模擬角頻率，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換對(duì)可以表示為第九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日以代表數(shù)字角頻率，若一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)是對(duì)采樣得到的，則其傅立葉變換對(duì)（DTFT）將代入第十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日得到該式在數(shù)值上與相等

進(jìn)一步考慮Z變換第十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，Z變換等價(jià)于DTFT，這也就是說DTFT等價(jià)于單位圓上的Z變換數(shù)字譜分析的一個(gè)重要任務(wù)就是實(shí)現(xiàn)對(duì)于DTFT的計(jì)算，也就是如何由時(shí)間序列來計(jì)算其頻譜一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的序列，對(duì)于實(shí)際的計(jì)算是不可能的。實(shí)際的信號(hào)絕大多數(shù)屬于有限長(zhǎng)的信號(hào)，因此考慮是否能夠由部分信號(hào)樣本來計(jì)算DTFT呢？這也就產(chǎn)生了所謂的窗口傅立葉變換，也就是有限長(zhǎng)序列的DTFT。第十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日窗口傅立葉變換

窗口傅立葉變換對(duì)離散時(shí)間信號(hào)序列加窗截取會(huì)造成兩個(gè)影響：降低了頻率分辨率，也稱為物理分辨率；造成頻率的泄漏。

對(duì)離散時(shí)間信號(hào)截取有限長(zhǎng)度為L(zhǎng)的信號(hào)過程可以表示為：第十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

那么的頻譜就是的頻譜同的頻譜在頻域的卷積，即

第十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日使用窗口傅立葉變換使得DTFT的計(jì)算大大前進(jìn)了一步，那么對(duì)于頻率如何處理呢？畢竟還是一個(gè)連續(xù)的量，上式只能便于計(jì)算出單一頻率點(diǎn)的傅立葉變換，難于計(jì)算一個(gè)頻率區(qū)間上的頻譜。一個(gè)很自然的想法就是對(duì)頻率的采樣，也稱為頻率采樣，這就相應(yīng)地產(chǎn)生了離散傅立葉變換（DFT）。

第十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日離散傅立葉變換DFT

設(shè)是一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的有限長(zhǎng)序列，的N點(diǎn)DFT：觀察DTFT：以及采樣信號(hào)的頻譜可以看出DTFT關(guān)于是以為周期的。那么N點(diǎn)DFT相當(dāng)于對(duì)頻率在周期內(nèi)作N點(diǎn)的采樣，采樣的間隔為1/N。第十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日令代表頻率采樣的單位，則其相應(yīng)的反變換為DTFT第十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

Sampling時(shí)域第十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

頻域第十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

頻域采樣第二十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日N和L對(duì)DFT的影響第二十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日由于DTFT等價(jià)于單位圓上的Z變換，那么DFT也必然和Z變換有相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。不難看出當(dāng)時(shí)，

第二十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日3.模擬頻率與數(shù)字頻率

連續(xù)時(shí)間信號(hào)通過采樣轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間信號(hào)后，對(duì)應(yīng)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)的模擬角頻率和對(duì)應(yīng)于離散時(shí)間信號(hào)數(shù)字角頻率之間滿足關(guān)系對(duì)于理想采樣信號(hào)，其連續(xù)時(shí)間傅立葉變換滿足

第二十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日又由于，再將替換成數(shù)字頻率則上式同DTFT具有相同的形式模擬角頻率和數(shù)字角頻率之間的關(guān)系也可以通過理想采樣信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)之間在時(shí)間自變量之間的關(guān)系來說明第二十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日時(shí)間自變量之間相差一個(gè)因子T，那么在頻域，頻率之間必相差

進(jìn)一步，考察數(shù)字頻率和模擬頻率之間的關(guān)系第二十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日又令，則

因此，數(shù)字頻率實(shí)際上是模擬頻率和采樣頻率的比值。總結(jié)：1、時(shí)間上：連續(xù)——離散 2、頻率上：模擬——數(shù)字

角頻率頻率

第二十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日4.物理分辨率與計(jì)算分辨率

窗口傅立葉變換對(duì)離散時(shí)間信號(hào)序列加窗截取會(huì)造成兩個(gè)影響：降低了頻率分辨率，也稱為物理分辨率；造成頻率的泄漏。

對(duì)離散時(shí)間信號(hào)截取有限長(zhǎng)度為L(zhǎng)的信號(hào)過程可以表示為：第二十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

那么的頻譜就是的頻譜同的頻譜在頻域的卷積，即

第二十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日第三十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日若只包含了一個(gè)頻率，如正弦信號(hào)原來的單一的譜線延展成成了具有一定主瓣寬度和具有高頻旁瓣的頻譜。那么對(duì)于兩個(gè)正弦信號(hào)，其角頻率的距離，相應(yīng)的頻率的距離，因此加窗截取后，若要保持頻率的可分性，則要求（物理分辨率）即頻率的距離應(yīng)該至少等于主瓣寬度的一半

第三十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算分辨率DFT相當(dāng)于對(duì)單位圓上Z變換所作的等間隔的采樣，也就是說對(duì)于DTFT在頻率上作了N點(diǎn)的采樣。那么其頻率的分辨率這就是所謂的計(jì)算分辨率。若一定，則要求的采樣點(diǎn)的數(shù)目N應(yīng)該滿足第三十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日三個(gè)周期的矩形窗的DTFT和DFT計(jì)算的頻譜

第三十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日不同的窗函數(shù)漢寧窗第三十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日非矩形窗函數(shù)對(duì)應(yīng)頻譜的主瓣寬度相比矩形窗函數(shù)的要寬，也即降低了頻率的分辨率；同時(shí)副瓣得到了抑制。主瓣的寬度同窗口的寬度成反比關(guān)系或者弧度/樣本常數(shù)c同使用的窗口的類型有關(guān)，通常c≥1矩形窗的主瓣寬度最窄c＝1；漢寧窗的c≈2在同樣的頻率分辨率的條件下，漢寧窗的長(zhǎng)度是矩形窗的兩倍！也即c倍！第三十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日窗口傅立葉變換由于引入了窗函數(shù)截取數(shù)據(jù)，頻域上引入了高頻分量。壓制高頻分量的手段是采用非矩形的窗函數(shù)，然而非矩形的窗函數(shù)卻降低了頻率的分辨率。保證頻率分辨率的手段是增加窗口的長(zhǎng)度，也就是提高數(shù)據(jù)記錄的長(zhǎng)度。第三十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日5.頻域的采樣定理

頻率的采樣點(diǎn)的數(shù)目N同窗口長(zhǎng)度L之間的關(guān)系由下面的頻率采樣定理來規(guī)范DTFT關(guān)于是以為周期的，對(duì)于DFT而言頻域的采樣相應(yīng)的也會(huì)帶來時(shí)域的延拓。這種周期性的時(shí)域延拓如圖所示

第三十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日第三十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日第三十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于有限長(zhǎng)序列的DFT，是周期延拓序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)主值序列，也即第四十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日DFT對(duì)于頻率的采樣將降低計(jì)算分辨率。相對(duì)于時(shí)域信號(hào)的采樣，頻域信號(hào)的采用也有相應(yīng)的采樣定理由于，所以

由得到的是原非周期序列的周期延拓，時(shí)域周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù)N

第四十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日可以得出以下結(jié)論：（頻域采樣定理）1、若為無(wú)限長(zhǎng)序列，采樣后必產(chǎn)生混疊；2、若序列的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，當(dāng)N<L，產(chǎn)生混疊；3、若序列的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N≥L，

其中代表截取長(zhǎng)度為N的窗口函數(shù)。即頻域采樣后可恢復(fù)原序列，這就是頻域采樣定理。若，這可以由對(duì)作補(bǔ)零處理來解決第四十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)零處理若，補(bǔ)零的方式有兩種，分別為前補(bǔ)零和后補(bǔ)零后補(bǔ)零也即在信號(hào)序列的尾部補(bǔ)上個(gè)0第四十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日這種補(bǔ)零的方式并不改變信號(hào)的DTFT相應(yīng)的N點(diǎn)的DFT也保持一致！第四十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日前補(bǔ)零這種補(bǔ)零的方式相當(dāng)于信號(hào)延遲了D個(gè)樣本，相應(yīng)的DTFT和DFT多了一個(gè)附加的相移第四十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)卷積和乘積的時(shí)頻對(duì)應(yīng)關(guān)系數(shù)