數(shù)字譜分析第一講

數(shù)字譜分析第一講第一頁，共四十七頁，2022年，8月28日主要內(nèi)容連續(xù)時間信號與離散時間信號；離散時間信號的譜分析－DFT；模擬頻率與數(shù)字頻率；物理分辨率與計算分辨率頻域的采樣定理第二頁，共四十七頁，2022年，8月28日1.連續(xù)時間信號與離散時間信號

連續(xù)時間信號，，離散時間信號，。那么一個連續(xù)時間信號通過采樣率為（采樣周期或者采樣間隔）的采樣器的采樣離散化為一個離散時間信號。借助于沖激函數(shù)序列采樣的過程為：第三頁，共四十七頁，2022年，8月28日

采樣后的信號和原始信號之間滿足將采樣后信號的自變量用離散時間的索引來代替，那么離散時間信號在每個離散時間點上滿足第四頁，共四十七頁，2022年，8月28日模擬信號的離散化處理的過程第五頁，共四十七頁，2022年，8月28日

分析理想采樣主要有兩個作用：首先使分析簡化，集中反映問題的本質(zhì)；其次從模擬信號變成數(shù)字信號，只在一個脈沖間取一個值，這是符合實際情況的。那么信號采樣后，信號的頻譜發(fā)生怎樣的變化，信號內(nèi)容會不會丟失？由離散信號恢復(fù)成連續(xù)信號應(yīng)該具備哪些條件呢？我們知道這可以由Nyquist采樣定理來保證，若是一個帶限信號，其最高頻率為，那么只要采樣的頻率就可以實現(xiàn)信號無失真的恢復(fù)。第六頁，共四十七頁，2022年，8月28日信號時域的乘積對應(yīng)于頻域的卷積若一個連續(xù)時間信號的頻譜為而那么，采樣后信號的頻譜為

第七頁，共四十七頁，2022年，8月28日信號采樣前后的頻譜

第八頁，共四十七頁，2022年，8月28日2.離散時間信號的譜分析

以上我們闡明了連續(xù)時間信號和離散時間信號在時域和頻域的區(qū)別，下面說明連續(xù)時間傅立葉變換（CTFT）和離散時間傅立葉變換（DTFT）之間的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)而導(dǎo)出離散傅立葉變換（DFT）。

以代表模擬角頻率，一個連續(xù)時間信號的傅立葉變換對可以表示為第九頁，共四十七頁，2022年，8月28日以代表數(shù)字角頻率，若一個離散時間信號是對采樣得到的，則其傅立葉變換對（DTFT）將代入第十頁，共四十七頁，2022年，8月28日得到該式在數(shù)值上與相等

進(jìn)一步考慮Z變換第十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日當(dāng)時，Z變換等價于DTFT，這也就是說DTFT等價于單位圓上的Z變換數(shù)字譜分析的一個重要任務(wù)就是實現(xiàn)對于DTFT的計算，也就是如何由時間序列來計算其頻譜一個無限長的序列，對于實際的計算是不可能的。實際的信號絕大多數(shù)屬于有限長的信號，因此考慮是否能夠由部分信號樣本來計算DTFT呢？這也就產(chǎn)生了所謂的窗口傅立葉變換，也就是有限長序列的DTFT。第十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日窗口傅立葉變換

窗口傅立葉變換對離散時間信號序列加窗截取會造成兩個影響：降低了頻率分辨率，也稱為物理分辨率；造成頻率的泄漏。

對離散時間信號截取有限長度為L的信號過程可以表示為：第十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日

那么的頻譜就是的頻譜同的頻譜在頻域的卷積，即

第十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日使用窗口傅立葉變換使得DTFT的計算大大前進(jìn)了一步，那么對于頻率如何處理呢？畢竟還是一個連續(xù)的量，上式只能便于計算出單一頻率點的傅立葉變換，難于計算一個頻率區(qū)間上的頻譜。一個很自然的想法就是對頻率的采樣，也稱為頻率采樣，這就相應(yīng)地產(chǎn)生了離散傅立葉變換（DFT）。

第十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日離散傅立葉變換DFT

設(shè)是一個長度為L的有限長序列，的N點DFT：觀察DTFT：以及采樣信號的頻譜可以看出DTFT關(guān)于是以為周期的。那么N點DFT相當(dāng)于對頻率在周期內(nèi)作N點的采樣，采樣的間隔為1/N。第十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日令代表頻率采樣的單位，則其相應(yīng)的反變換為DTFT第十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日

Sampling時域第十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日

頻域第十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日

頻域采樣第二十頁，共四十七頁，2022年，8月28日N和L對DFT的影響第二十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日第二十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日由于DTFT等價于單位圓上的Z變換，那么DFT也必然和Z變換有相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系。不難看出當(dāng)時，

第二十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日3.模擬頻率與數(shù)字頻率

連續(xù)時間信號通過采樣轉(zhuǎn)換為離散時間信號后，對應(yīng)于連續(xù)時間信號的模擬角頻率和對應(yīng)于離散時間信號數(shù)字角頻率之間滿足關(guān)系對于理想采樣信號，其連續(xù)時間傅立葉變換滿足

第二十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日又由于，再將替換成數(shù)字頻率則上式同DTFT具有相同的形式模擬角頻率和數(shù)字角頻率之間的關(guān)系也可以通過理想采樣信號和離散時間信號之間在時間自變量之間的關(guān)系來說明第二十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日時間自變量之間相差一個因子T，那么在頻域，頻率之間必相差

進(jìn)一步，考察數(shù)字頻率和模擬頻率之間的關(guān)系第二十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日又令，則

因此，數(shù)字頻率實際上是模擬頻率和采樣頻率的比值。總結(jié)：1、時間上：連續(xù)——離散 2、頻率上：模擬——數(shù)字

角頻率頻率

第二十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日4.物理分辨率與計算分辨率

窗口傅立葉變換對離散時間信號序列加窗截取會造成兩個影響：降低了頻率分辨率，也稱為物理分辨率；造成頻率的泄漏。

對離散時間信號截取有限長度為L的信號過程可以表示為：第二十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日

那么的頻譜就是的頻譜同的頻譜在頻域的卷積，即

第二十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日第三十頁，共四十七頁，2022年，8月28日若只包含了一個頻率，如正弦信號原來的單一的譜線延展成成了具有一定主瓣寬度和具有高頻旁瓣的頻譜。那么對于兩個正弦信號，其角頻率的距離，相應(yīng)的頻率的距離，因此加窗截取后，若要保持頻率的可分性，則要求（物理分辨率）即頻率的距離應(yīng)該至少等于主瓣寬度的一半

第三十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日計算分辨率DFT相當(dāng)于對單位圓上Z變換所作的等間隔的采樣，也就是說對于DTFT在頻率上作了N點的采樣。那么其頻率的分辨率這就是所謂的計算分辨率。若一定，則要求的采樣點的數(shù)目N應(yīng)該滿足第三十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日三個周期的矩形窗的DTFT和DFT計算的頻譜

第三十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日不同的窗函數(shù)漢寧窗第三十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日非矩形窗函數(shù)對應(yīng)頻譜的主瓣寬度相比矩形窗函數(shù)的要寬，也即降低了頻率的分辨率；同時副瓣得到了抑制。主瓣的寬度同窗口的寬度成反比關(guān)系或者弧度/樣本常數(shù)c同使用的窗口的類型有關(guān)，通常c≥1矩形窗的主瓣寬度最窄c＝1；漢寧窗的c≈2在同樣的頻率分辨率的條件下，漢寧窗的長度是矩形窗的兩倍！也即c倍！第三十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日窗口傅立葉變換由于引入了窗函數(shù)截取數(shù)據(jù)，頻域上引入了高頻分量。壓制高頻分量的手段是采用非矩形的窗函數(shù)，然而非矩形的窗函數(shù)卻降低了頻率的分辨率。保證頻率分辨率的手段是增加窗口的長度，也就是提高數(shù)據(jù)記錄的長度。第三十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日5.頻域的采樣定理

頻率的采樣點的數(shù)目N同窗口長度L之間的關(guān)系由下面的頻率采樣定理來規(guī)范DTFT關(guān)于是以為周期的，對于DFT而言頻域的采樣相應(yīng)的也會帶來時域的延拓。這種周期性的時域延拓如圖所示

第三十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日第三十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日第三十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日對于有限長序列的DFT，是周期延拓序列的離散傅立葉級數(shù)的系數(shù)主值序列，也即第四十頁，共四十七頁，2022年，8月28日DFT對于頻率的采樣將降低計算分辨率。相對于時域信號的采樣，頻域信號的采用也有相應(yīng)的采樣定理由于，所以

由得到的是原非周期序列的周期延拓，時域周期為頻域采樣點數(shù)N

第四十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日可以得出以下結(jié)論：（頻域采樣定理）1、若為無限長序列，采樣后必產(chǎn)生混疊；2、若序列的長度為L，當(dāng)N<L，產(chǎn)生混疊；3、若序列的長度為L，則只有當(dāng)頻域采樣點數(shù)N≥L，

其中代表截取長度為N的窗口函數(shù)。即頻域采樣后可恢復(fù)原序列，這就是頻域采樣定理。若，這可以由對作補(bǔ)零處理來解決第四十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日補(bǔ)零處理若，補(bǔ)零的方式有兩種，分別為前補(bǔ)零和后補(bǔ)零后補(bǔ)零也即在信號序列的尾部補(bǔ)上個0第四十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日這種補(bǔ)零的方式并不改變信號的DTFT相應(yīng)的N點的DFT也保持一致！第四十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日前補(bǔ)零這種補(bǔ)零的方式相當(dāng)于信號延遲了D個樣本，相應(yīng)的DTFT和DFT多了一個附加的相移第四十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日小結(jié)卷積和乘積的時頻對應(yīng)關(guān)系數(shù)