數(shù)字譜分析第一講

數(shù)字譜分析第一講第一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日主要內(nèi)容連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)；離散時(shí)間信號(hào)的譜分析－DFT；模擬頻率與數(shù)字頻率；物理分辨率與計(jì)算分辨率頻域的采樣定理第二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日1.連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)

連續(xù)時(shí)間信號(hào)，，離散時(shí)間信號(hào)，。那么一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)通過(guò)采樣率為（采樣周期或者采樣間隔）的采樣器的采樣離散化為一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)。借助于沖激函數(shù)序列采樣的過(guò)程為：第三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

采樣后的信號(hào)和原始信號(hào)之間滿足將采樣后信號(hào)的自變量用離散時(shí)間的索引來(lái)代替，那么離散時(shí)間信號(hào)在每個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)上滿足第四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日模擬信號(hào)的離散化處理的過(guò)程第五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

分析理想采樣主要有兩個(gè)作用：首先使分析簡(jiǎn)化，集中反映問(wèn)題的本質(zhì)；其次從模擬信號(hào)變成數(shù)字信號(hào)，只在一個(gè)脈沖間取一個(gè)值，這是符合實(shí)際情況的。那么信號(hào)采樣后，信號(hào)的頻譜發(fā)生怎樣的變化，信號(hào)內(nèi)容會(huì)不會(huì)丟失？由離散信號(hào)恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)應(yīng)該具備哪些條件呢？我們知道這可以由Nyquist采樣定理來(lái)保證，若是一個(gè)帶限信號(hào)，其最高頻率為，那么只要采樣的頻率就可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)無(wú)失真的恢復(fù)。第六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日信號(hào)時(shí)域的乘積對(duì)應(yīng)于頻域的卷積若一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜為而那么，采樣后信號(hào)的頻譜為

第七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日信號(hào)采樣前后的頻譜

第八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日2.離散時(shí)間信號(hào)的譜分析

以上我們闡明了連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)在時(shí)域和頻域的區(qū)別，下面說(shuō)明連續(xù)時(shí)間傅立葉變換（CTFT）和離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）之間的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)而導(dǎo)出離散傅立葉變換（DFT）。

以代表模擬角頻率，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換對(duì)可以表示為第九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日以代表數(shù)字角頻率，若一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)是對(duì)采樣得到的，則其傅立葉變換對(duì)（DTFT）將代入第十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日得到該式在數(shù)值上與相等

進(jìn)一步考慮Z變換第十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，Z變換等價(jià)于DTFT，這也就是說(shuō)DTFT等價(jià)于單位圓上的Z變換數(shù)字譜分析的一個(gè)重要任務(wù)就是實(shí)現(xiàn)對(duì)于DTFT的計(jì)算，也就是如何由時(shí)間序列來(lái)計(jì)算其頻譜一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的序列，對(duì)于實(shí)際的計(jì)算是不可能的。實(shí)際的信號(hào)絕大多數(shù)屬于有限長(zhǎng)的信號(hào)，因此考慮是否能夠由部分信號(hào)樣本來(lái)計(jì)算DTFT呢？這也就產(chǎn)生了所謂的窗口傅立葉變換，也就是有限長(zhǎng)序列的DTFT。第十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日窗口傅立葉變換

窗口傅立葉變換對(duì)離散時(shí)間信號(hào)序列加窗截取會(huì)造成兩個(gè)影響：降低了頻率分辨率，也稱為物理分辨率；造成頻率的泄漏。

對(duì)離散時(shí)間信號(hào)截取有限長(zhǎng)度為L(zhǎng)的信號(hào)過(guò)程可以表示為：第十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

那么的頻譜就是的頻譜同的頻譜在頻域的卷積，即

第十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日使用窗口傅立葉變換使得DTFT的計(jì)算大大前進(jìn)了一步，那么對(duì)于頻率如何處理呢？畢竟還是一個(gè)連續(xù)的量，上式只能便于計(jì)算出單一頻率點(diǎn)的傅立葉變換，難于計(jì)算一個(gè)頻率區(qū)間上的頻譜。一個(gè)很自然的想法就是對(duì)頻率的采樣，也稱為頻率采樣，這就相應(yīng)地產(chǎn)生了離散傅立葉變換（DFT）。

第十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日離散傅立葉變換DFT

設(shè)是一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的有限長(zhǎng)序列，的N點(diǎn)DFT：觀察DTFT：以及采樣信號(hào)的頻譜可以看出DTFT關(guān)于是以為周期的。那么N點(diǎn)DFT相當(dāng)于對(duì)頻率在周期內(nèi)作N點(diǎn)的采樣，采樣的間隔為1/N。第十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日令代表頻率采樣的單位，則其相應(yīng)的反變換為DTFT第十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

Sampling時(shí)域第十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

頻域第十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

頻域采樣第二十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日N和L對(duì)DFT的影響第二十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日由于DTFT等價(jià)于單位圓上的Z變換，那么DFT也必然和Z變換有相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。不難看出當(dāng)時(shí)，

第二十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日3.模擬頻率與數(shù)字頻率

連續(xù)時(shí)間信號(hào)通過(guò)采樣轉(zhuǎn)換為離散時(shí)間信號(hào)后，對(duì)應(yīng)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)的模擬角頻率和對(duì)應(yīng)于離散時(shí)間信號(hào)數(shù)字角頻率之間滿足關(guān)系對(duì)于理想采樣信號(hào)，其連續(xù)時(shí)間傅立葉變換滿足

第二十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日又由于，再將替換成數(shù)字頻率則上式同DTFT具有相同的形式模擬角頻率和數(shù)字角頻率之間的關(guān)系也可以通過(guò)理想采樣信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)之間在時(shí)間自變量之間的關(guān)系來(lái)說(shuō)明第二十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日時(shí)間自變量之間相差一個(gè)因子T，那么在頻域，頻率之間必相差

進(jìn)一步，考察數(shù)字頻率和模擬頻率之間的關(guān)系第二十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日又令，則

因此，數(shù)字頻率實(shí)際上是模擬頻率和采樣頻率的比值?？偨Y(jié)：1、時(shí)間上：連續(xù)——離散 2、頻率上：模擬——數(shù)字

角頻率頻率

第二十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日4.物理分辨率與計(jì)算分辨率

窗口傅立葉變換對(duì)離散時(shí)間信號(hào)序列加窗截取會(huì)造成兩個(gè)影響：降低了頻率分辨率，也稱為物理分辨率；造成頻率的泄漏。

對(duì)離散時(shí)間信號(hào)截取有限長(zhǎng)度為L(zhǎng)的信號(hào)過(guò)程可以表示為：第二十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日

那么的頻譜就是的頻譜同的頻譜在頻域的卷積，即

第二十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日第三十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日若只包含了一個(gè)頻率，如正弦信號(hào)原來(lái)的單一的譜線延展成成了具有一定主瓣寬度和具有高頻旁瓣的頻譜。那么對(duì)于兩個(gè)正弦信號(hào)，其角頻率的距離，相應(yīng)的頻率的距離，因此加窗截取后，若要保持頻率的可分性，則要求（物理分辨率）即頻率的距離應(yīng)該至少等于主瓣寬度的一半

第三十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日計(jì)算分辨率DFT相當(dāng)于對(duì)單位圓上Z變換所作的等間隔的采樣，也就是說(shuō)對(duì)于DTFT在頻率上作了N點(diǎn)的采樣。那么其頻率的分辨率這就是所謂的計(jì)算分辨率。若一定，則要求的采樣點(diǎn)的數(shù)目N應(yīng)該滿足第三十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日三個(gè)周期的矩形窗的DTFT和DFT計(jì)算的頻譜

第三十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日不同的窗函數(shù)漢寧窗第三十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日非矩形窗函數(shù)對(duì)應(yīng)頻譜的主瓣寬度相比矩形窗函數(shù)的要寬，也即降低了頻率的分辨率；同時(shí)副瓣得到了抑制。主瓣的寬度同窗口的寬度成反比關(guān)系或者弧度/樣本常數(shù)c同使用的窗口的類(lèi)型有關(guān)，通常c≥1矩形窗的主瓣寬度最窄c＝1；漢寧窗的c≈2在同樣的頻率分辨率的條件下，漢寧窗的長(zhǎng)度是矩形窗的兩倍！也即c倍！第三十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日窗口傅立葉變換由于引入了窗函數(shù)截取數(shù)據(jù)，頻域上引入了高頻分量。壓制高頻分量的手段是采用非矩形的窗函數(shù)，然而非矩形的窗函數(shù)卻降低了頻率的分辨率。保證頻率分辨率的手段是增加窗口的長(zhǎng)度，也就是提高數(shù)據(jù)記錄的長(zhǎng)度。第三十六頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日5.頻域的采樣定理

頻率的采樣點(diǎn)的數(shù)目N同窗口長(zhǎng)度L之間的關(guān)系由下面的頻率采樣定理來(lái)規(guī)范DTFT關(guān)于是以為周期的，對(duì)于DFT而言頻域的采樣相應(yīng)的也會(huì)帶來(lái)時(shí)域的延拓。這種周期性的時(shí)域延拓如圖所示

第三十七頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日第三十八頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日第三十九頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于有限長(zhǎng)序列的DFT，是周期延拓序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)的系數(shù)主值序列，也即第四十頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日DFT對(duì)于頻率的采樣將降低計(jì)算分辨率。相對(duì)于時(shí)域信號(hào)的采樣，頻域信號(hào)的采用也有相應(yīng)的采樣定理由于，所以

由得到的是原非周期序列的周期延拓，時(shí)域周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù)N

第四十一頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日可以得出以下結(jié)論：（頻域采樣定理）1、若為無(wú)限長(zhǎng)序列，采樣后必產(chǎn)生混疊；2、若序列的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，當(dāng)N<L，產(chǎn)生混疊；3、若序列的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N≥L，

其中代表截取長(zhǎng)度為N的窗口函數(shù)。即頻域采樣后可恢復(fù)原序列，這就是頻域采樣定理。若，這可以由對(duì)作補(bǔ)零處理來(lái)解決第四十二頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)零處理若，補(bǔ)零的方式有兩種，分別為前補(bǔ)零和后補(bǔ)零后補(bǔ)零也即在信號(hào)序列的尾部補(bǔ)上個(gè)0第四十三頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日這種補(bǔ)零的方式并不改變信號(hào)的DTFT相應(yīng)的N點(diǎn)的DFT也保持一致！第四十四頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日前補(bǔ)零這種補(bǔ)零的方式相當(dāng)于信號(hào)延遲了D個(gè)樣本，相應(yīng)的DTFT和DFT多了一個(gè)附加的相移第四十五頁(yè)，共四十七頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)卷積和乘積的時(shí)頻對(duì)應(yīng)關(guān)系數(shù)