數(shù)學(xué)思想與方法

數(shù)學(xué)思想與方法第一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日教學(xué)安排1．教材:《數(shù)學(xué)思想方法》2．共五次課（單周周日13:00-18:00）1）第一、二章數(shù)學(xué)史2）第三至五章數(shù)學(xué)發(fā)展趨勢(shì)及抽象與概括3）第六、七章猜想與反駁；演繹與化歸4）第八至十章算法、建模及其他方法5）第十一至十三章數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)及案例第二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日教學(xué)安排３．網(wǎng)上答疑（一小時(shí)，4月24日）４．小組活動(dòng)（4月17日）５．E-mail：

第三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日課程綜述數(shù)學(xué)思想與方法:是研究數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)的一門課程。小學(xué)教育專業(yè)必修課。本課程的目標(biāo)：1）了解數(shù)學(xué)思想的發(fā)展脈絡(luò)2）靈活掌握各種數(shù)學(xué)方法3）體會(huì)這門課程對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教育的意義

第四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日課程綜述本課程的內(nèi)容：介紹數(shù)學(xué)思想發(fā)展的概貌、重要的數(shù)學(xué)方法，最后將數(shù)學(xué)思想與方法落實(shí)到教學(xué)過(guò)程中。本課程的意義：1）培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力2）指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐3）有意識(shí)地指導(dǎo)自己的教育行為

第五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義數(shù)學(xué)：是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門學(xué)科。1）數(shù)學(xué)無(wú)處不在2）數(shù)學(xué)是自然科學(xué)和人文科學(xué)的基礎(chǔ)3）數(shù)學(xué)有利于提高個(gè)人能力

第六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的意義數(shù)學(xué)史：研究數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的學(xué)科。主要研究數(shù)學(xué)分支的原始創(chuàng)新、重要概念和思想的產(chǎn)生、發(fā)展和完善的歷史過(guò)程，以及主要代表人物的思想方法和治學(xué)做人。

“若想預(yù)見數(shù)學(xué)的將來(lái)，正確的方法是研究它的歷史和現(xiàn)狀”（龐加萊）第七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第一章

數(shù)學(xué)思想方法的兩個(gè)源頭1．希臘的《幾何原本》：古希臘數(shù)學(xué)概況；《幾何原本》的形成、基本內(nèi)容、特點(diǎn)和意義。2．中國(guó)的《九章算術(shù)》：中國(guó)古代數(shù)學(xué)概況；《九章算術(shù)》的形成、基本內(nèi)容、特點(diǎn)和意義。

第八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

古希臘數(shù)學(xué)

——現(xiàn)代理論數(shù)學(xué)的搖籃１．古希臘概況２．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派３．歐幾里得與《幾何原本》４．阿基米德第九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日１．古希臘概況第十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日１．古希臘概況希臘的數(shù)學(xué)內(nèi)容包括算術(shù)（含代數(shù)）、幾何學(xué)和三角形?！八阈g(shù)、“幾何”、“三角學(xué)”名稱均來(lái)自希臘

希臘人善于通過(guò)精細(xì)的思考和嚴(yán)密的推理去認(rèn)識(shí)世界

解決了“為什么要這樣做”的問(wèn)題，“經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)”

“理論數(shù)學(xué)

第十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日２．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（1）畢達(dá)哥拉斯(Phthagoras，公元前580?一501年？

)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派第十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日２．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（2）畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）：

1）它的證明是論證數(shù)學(xué)的發(fā)端；

2）它是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形（代數(shù)與幾何）聯(lián)系起來(lái)的定理；

3）它導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，由此引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)；4）它是歐氏（歐幾里得）幾何的基礎(chǔ)定理。

第十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日２．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（3）“萬(wàn)物皆數(shù)”——畢派的信念第一次數(shù)學(xué)危機(jī)——不可公度量：1）幾何量不能完全由整數(shù)及其比表示，幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位2）直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，推理證明才可靠。從此,希臘人開始由“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理，建立起幾何學(xué)體系。第十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

２．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（4）

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將抽象的數(shù)與形結(jié)合起來(lái)，使數(shù)學(xué)逐漸成為一門獨(dú)立的學(xué)科。他們?cè)跀?shù)學(xué)中引入邏輯因素，對(duì)命題加以證明，是歐幾里得公理化體系的先驅(qū)。

第十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日３．歐幾里得與《幾何原本》（1）

歐幾里得(Euclid，約公元前330—275)偉大的數(shù)學(xué)家、教育家。歐幾里得使幾何脫離哲學(xué)而獨(dú)立成為真正的演繹科學(xué)。

第十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日３．歐幾里得與《幾何原本》（2）《幾何原本》（Elements）是世界數(shù)學(xué)史上最偉大的著作之一?？偨Y(jié)前人工作，并作了許多修訂和補(bǔ)充

重視數(shù)學(xué)命題的邏輯證明，力求把數(shù)學(xué)知識(shí)建立在必然性的理論基礎(chǔ)上，追求嚴(yán)密的公理化體系第十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日３．歐幾里得與《幾何原本》（3）公理化體系：

23個(gè)定義，5個(gè)公設(shè)、5個(gè)公理

465個(gè)定理

《幾何原本》僅次于《圣經(jīng)》，大約成為西方世界歷史中翻版和研究最廣的書。（斯威克）第十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日３．歐幾里得與《幾何原本》（4）《幾何原本》的主要貢獻(xiàn)在于：

1）成功地將零散的數(shù)學(xué)理論編輯為一個(gè)從基本假定到最復(fù)雜結(jié)論的整體結(jié)構(gòu)；

2）對(duì)命題作了公理化演繹。從定義、公理、公設(shè)出發(fā)建立了幾何學(xué)的邏輯體系；

3）為人們提供了使知識(shí)條理化和嚴(yán)密化的強(qiáng)有力的手段，成為訓(xùn)練邏輯推理的最有力的教育手段。第十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日３．歐幾里得與《幾何原本》（5）《幾何原本》的不足：1）定義并不嚴(yán)格2）公理并不總是自明的：如第五公設(shè)第二十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日３．歐幾里得與《幾何原本》（6）第五公設(shè)的等價(jià)公設(shè)：過(guò)已知直線外一點(diǎn)能且只能作一條直線與已知直線平行

高斯、羅巴切夫斯基、波約

——?jiǎng)?chuàng)立非歐幾何這場(chǎng)幾何學(xué)的革命沖破了歐氏幾何傳統(tǒng)的束縛，從此幾何學(xué)呈現(xiàn)出更加精彩紛呈的局面

第二十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日３．歐幾里得與《幾何原本》（7）歐幾里得有史以來(lái)第一次總結(jié)了以往希臘人的數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化的演繹體系。這對(duì)數(shù)學(xué)乃至哲學(xué)、自然科學(xué)的影響一直延續(xù)到19世紀(jì)。歐幾里得結(jié)束了開創(chuàng)初等幾何學(xué)和使幾何學(xué)成為邏輯體系的時(shí)代。第二十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

４．阿基米德（1）阿基米德（Archimedes，公元前287—212）把科學(xué)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合

第二十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

４．阿基米德（2）第一個(gè)提出了圓周長(zhǎng)、圓面積和扇形面積的準(zhǔn)確公式得出圓周率的近似值3．14（阿基米德值）微積分的鼻祖：利用窮竭法和微分三角形

第二十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

古希臘數(shù)學(xué)的偉大成就1）使數(shù)學(xué)成為一門抽象性科學(xué)

2）建立了演繹證明

3）創(chuàng)立幾何學(xué)、三角學(xué)，奠定數(shù)論基礎(chǔ)4）萌芽了一些高等數(shù)學(xué)5）發(fā)現(xiàn)定理及證明

第二十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

中國(guó)古代數(shù)學(xué)

——中華民族的智慧精粹

1．中國(guó)古代數(shù)學(xué)概況2．《九章算術(shù)》3．《幾何原本》與《九章算術(shù)》比較第二十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

1．中國(guó)古代數(shù)學(xué)概況注重實(shí)際應(yīng)用

從解決實(shí)際問(wèn)題中發(fā)明了各種算法

數(shù)學(xué)精英：劉徽、祖沖之、楊輝等第二十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日2．《九章算術(shù)》（1）流傳至今的最早著作

采取問(wèn)題集的形式：提出問(wèn)題具體算法一類問(wèn)題的普遍方法

《九章算術(shù)》共收錄246個(gè)問(wèn)題，包括算術(shù)、代數(shù)和幾何的許多算法

第二十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

2．《九章算術(shù)》（2）第一章“方田”：面積和分?jǐn)?shù)計(jì)算；第二章“粟米”：比例問(wèn)題；第三章“衰分”：比例分配；第四章“少?gòu)V”：開方問(wèn)題；第五章“商功”：幾何體體積的計(jì)算；第六章“均輸”：處理輸送和征稅問(wèn)題；第七章“盈不足”：商業(yè)中的盈虧和比例；第八章“方程”：多元一次方程組的解法；第九章“勾股”：勾股定理的應(yīng)用。第二十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

2．《九章算術(shù)》（3）1）成為中國(guó)古代學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要教科書。2）普及數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)人才3）許多人通過(guò)研究它深邃的思想方法而取得成就4）今日再研究它，希望能對(duì)現(xiàn)代的數(shù)學(xué)思想有所啟發(fā)

第三十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日3．《幾何原本》與《九章算術(shù)》相同之處：集數(shù)學(xué)成就之大成者，成書歷史久遠(yuǎn)，影響巨大，成為后世的教科書。不同之處：《幾何原本》是西方數(shù)學(xué)最早形成的演繹體系，采用“定義——公理、公設(shè)——定理”

的公理化方法，注重邏輯的嚴(yán)密性，開創(chuàng)了推理證明的先河?！毒耪滤阈g(shù)》：是中國(guó)由個(gè)別到一般的歸納體系，采用“問(wèn)題——答案——算法”的體例，追求實(shí)用、講究算法，但不注重邏輯結(jié)構(gòu)。

第三十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日總結(jié)

《幾何原本》的演繹體系、公理化方法和《九章算術(shù)》的歸納體系、算法化方法深刻影響著數(shù)學(xué)的發(fā)展，成為數(shù)學(xué)思想方法的兩大源泉。

第三十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日第二章

數(shù)學(xué)思想方法的幾次突破

1.從算術(shù)到代數(shù)：算術(shù)的局限性與代數(shù)產(chǎn)生的必然性。

2.從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)：常量數(shù)學(xué)的局限性，變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生及其意義。第三十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日１．從算術(shù)到代數(shù)

(1)算術(shù)：最初含義是“數(shù)和數(shù)數(shù)”，主要研究正整數(shù)、零、正分?jǐn)?shù)的性質(zhì)和四則運(yùn)算。代數(shù)：最初主要研究代數(shù)式的運(yùn)算和解方程。特點(diǎn)是用字母符號(hào)表示數(shù)?；舅枷耄侯}意方程求出未知數(shù)。

第三十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日１．從算術(shù)到代數(shù)

(2)代數(shù)學(xué)歷史悠久：古巴比倫、中國(guó)、古希臘、阿拉伯初等代數(shù)：方程（組）、求根（包括近似根）、根的各種性質(zhì)，只限于實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)等數(shù)系。

阿貝爾(Abel，1802—1829)證明了五次或五次以上的代數(shù)方程沒有一般的求根公式。

第三十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日１．從算術(shù)到代數(shù)

(3)伽羅瓦（Galois，1811—1832）引入“群”的概念，用群論徹底解決了代數(shù)方程可解性的問(wèn)題——伽羅瓦理論，使代數(shù)學(xué)進(jìn)入抽象代數(shù)階段。抽象代數(shù)：代數(shù)方程、各種抽象對(duì)象（如向量、矩陣等）的運(yùn)算關(guān)系，轉(zhuǎn)向代數(shù)結(jié)構(gòu)（群、環(huán)、域、摸、格等）的研究

第三十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日２．從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)（1）客觀世界的一切事物始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著用數(shù)學(xué)來(lái)描述運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象求面積、體積、速度、曲線的切線等問(wèn)題數(shù)學(xué)算法

解析幾何變量引進(jìn)數(shù)學(xué)微積分第三十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日２．從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)（2）解析幾何思想的萌芽

解析幾何：用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，第一次真正實(shí)現(xiàn)了幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合，使形與數(shù)統(tǒng)一起來(lái)。笛卡兒：引入運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)概念，引入變量和函數(shù)的概念，在平面曲線與二元方程之間建立起了聯(lián)系。

第三十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日２．從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)（3）笛卡兒（Descartes，1596—1650）

費(fèi)馬（Fermat，1601—1665）

第三十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日２．從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)（4）牛頓：1）符號(hào)“ο”表示x的無(wú)窮小增量——“瞬”2）發(fā)明“正流數(shù)法”（即微分法）3）建立“反流數(shù)法”（即積分法）

4）運(yùn)動(dòng)學(xué)背景：以速度形式引進(jìn)了“流數(shù)”（微商）的概念

5）建立微積分基本定理：微分與積分是互逆關(guān)系

第四十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日２．從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)（5）牛頓（Newton，1642—1727）

萊布尼茲（Leibniz，1646—1