數值分析對稱正定矩陣的收斂性

數值分析對稱正定矩陣的收斂性第一頁，共十八頁，2022年，8月28日例1常微分方程邊值問題

在x1=0.1,x2=0.2,···,x9=0.9處的數值解解:令h=0.1,記yj=y(xj)(j=1,2,···,9),將代入微分方程,整理得–yj-1+(2–h2)yj–yj+1

=xjh2(j=1,2,···,9)

2/18第二頁，共十八頁，2022年，8月28日yj=[xjh2+yj-1+yj+1]/

(2–h2),(j=1,2,···,9)–yj-1+(2–h2)yj–yj+1

=xjh2高斯-賽德爾迭代格式:3/18第三頁，共十八頁，2022年，8月28日程序h=0.1;x=0:h:1;y=zeros(size(x));r1=h*h;r=2-r1;er=1;k=0;whilee>0.0001er=0;forj=2:10s=(y(j-1)+y(j+1)+r1*x(j))/r;er=max(er,abs(s-y(j)));y(j)=s;endk=k+1end準確解:y(x)=sinx/sin1-x-----y(x)o

yj4/18第四頁，共十八頁，2022年，8月28日正方形區(qū)域上第一邊值問題

準確解:O1x1y5/18第五頁，共十八頁，2022年，8月28日取正整數n,記對區(qū)域做網格剖分:

xi=ih(i=0，1，……，n+1

)yj=jh(j=0，1，……，n+1)在點(xi，yj)處記uij=u(xi,yj),五點差分格式整理6/18第六頁，共十八頁，2022年，8月28日邊界條件:u0,j

=0(j=1,···,n);un,j=(j=1,···,n);ui,0=0(i=1,···,n);ui,n=0(i=1,···,n)結點數n2102202

402迭代次數91303978CPU時間(s)0.141.84324.6720誤差0.00285.6995e-46.6671e-4高斯-賽德爾迭代法實驗:7/18第七頁，共十八頁，2022年，8月28日定理4.4方程組Ax=b中,若A是實對稱正定矩陣,則Gauss-Seidel迭法收斂證明:由

A=D–L–LT

BG-S=(D–L)-1LT設λ為BG-S的任一特征值,x為其特征向量,則(D–L)-1LTx=λx

LTx=λ(D–L)x

A正定,故p=xTDx>0,記

xTLTx=a,則有xTLTx=λxT(D–L)xxTAx=xT(D–L–LT)x=p–a–a=p–2a>08/18第八頁，共十八頁，2022年，8月28日所以,迭代矩陣BG-S的譜半徑ρ(BG-S)<1,從而當方程組Ax=b的系數矩陣A是實對稱正定矩陣時,Gauss-Seidel迭代法收斂稱

R=–lnρ(B)為迭代法的漸近收斂速度9/18第九頁，共十八頁，2022年，8月28日(i=1,2,···,n;k=1,2,3,··········)超松馳(SOR)迭代法Gauss-Seidel迭代格式10/18第十頁，共十八頁，2022年，8月28日定理4.8

若A是對稱正定矩陣,則當0<ω<2時SOR迭代法解方程組

Ax=b是收斂的定理4.9

若A是嚴格對角占優(yōu)矩陣,則當0<ω<1時SOR迭代法解方程組

Ax=b是收斂的迭代矩陣11/18第十一頁，共十八頁，2022年，8月28日例4.3用SOR方法解方程組(ω=1.4)w=input('input:w:=');A=[2-10;-12-1;0-12];b=[1;0;1.8];x=[1;1;1];er=1;k=0;whileer>0.0005er=0;k=k+1;fori=1:3s=0;t=x(i);x(i)=0;forj=1:3s=s+A(i,j)*x(j);endx(i)=(1-w)*t+w*(b(i)-s)/A(i,i);er=max(abs(x(i)-t),er);endendkk=10x=1.19991.39991.5999ω=1.2,只需k=612/18第十二頁，共十八頁，2022年，8月28日塊迭代法簡介設

A∈Rn×n,x∈Rn,b∈Rn將方程組Ax=b中系數矩陣A分塊其中,Aii∈Rni×ni,Aij∈Rni×nj

,xi∈Rni,bi∈Rni13/18第十三頁，共十八頁，2022年，8月28日將A分解,A=DB–LB–UB

Jacobi塊迭代

DBX(k+1)=(LB+UB)X(k)+bi=1,2,···,r(2)Gauss-Seidel塊迭代DBX(k+1)=LBX(k+1)+UBX(k)+bi=1,2,···,r14/18第十四頁，共十八頁，2022年，8月28日塊迭代求解X1=[x1

x2

x3]TX2=[x4

x5

x6]Tb1=[050]Tb2=[6–26]TDX1–X2=b1–X1+DX2=b2DX1(k+1)=b1+X2(k)DX2(k+1)=b2+X1(k)15/18第十五頁，共十八頁，2022年，8月28日(i,j=1,···,n)邊值問題:(i,j=1,···,n;k=1,2,3,······）保留三對角塊16/18第十六頁，共十八頁，2022年，8月28日取正整數n